华师大九年级(上)教案-第24章-解直角三角形(全).doc

第二十四章 解直角三角形
24.1 测 量
教学目标
1、 在探索基础上掌握测量。
2、 掌握利用相似三角形的知识
教学重难点
重点：利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两边可以求第三边。
难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。
教学过程
当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？
你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题．

如图24．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度．
如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识．

试一试
如图24．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．
你知道计算的方法吗？

实际上，我们利用图24．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容．
练习
1．　小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．
2．　请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度．
习题24．1
1．　如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30．0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目高1．5米．试利用相似三角形的知识，求出该建筑的高度．（精确到0．1米）

2．　在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？
3．　如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度．

小结与作业:
小结本节内容:利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两边可以求第三边
作业:一课一练
教学反思：

24.2 直角三角形的性质
【教学目标】：
  1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理。
  2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。
【教学重点】：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。
【教学难点】：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。
【教学过程】：
一、 引入   
复习提问：（1）什么叫直角三角形？
    （2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质?
    二、新授
    （一）直角三角形性质定理1    请学生看图形：
    1、提问：∠A与∠B有何关系？为什么？
    2、归纳小结：定理1：直角三角形的两个锐角互余。
    3、巩固练习：
练习1：（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数 （2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B=  。
  练习2 ：在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，（1）与∠B互余的角有（2）与∠A相等的角有         。（3）与∠B相等的角有          。
    （二）直角三角形性质定理2
    1、实验操作： 要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片
    （l）量一量斜边AB的长度（2）找到斜边的中点，用字母D表示    （3）画出斜边上的中线（4）量一量斜边上的中线的长度
 让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？
三、巩固训练：
  练习3 ： 在△ABC中， ∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。
练习4： 已知：∠ABC=∠ADC=90O，E是AC中点。求证：（1）ED=EB  (2)∠EBD=∠EDB
（3）图中有哪些等腰三角形？

练习5： 已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高， M是BC的中点。如果连接DE,取DE的中点 O,那么MO 与DE有什么样的关系存在?
四、小结：
    这节课主要讲了直角三角形的那两条性质定理？
    1、直角三角形的两个锐角互余？
   五、布置作业

24.3 锐角三角函数
第一课时.锐角三角函数

教学目标
3、 正弦、余弦、正切、余切的定义。
4、 正弦、余弦、正切、余切的应用
教学重难点
重点：正弦、余弦、正切、余切。
难点：正弦、余弦、正切、余切的应用。
教学过程
在§24．1中，我们曾经使用两种方法求出操场旗杆的高度，其中都出现了两个相似的直角三角形，即
△ABC∽△A′B′C′．
按的比例，就一定有
，
就是它们的相似比．
当然也有．
我们已经知道，直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别为∠A的对边与邻边，用a、b表示（如图24．2．1）．

前面的结论告诉我们，在Rt△ABC中，只要一个锐角的大小不变（如∠A＝34°），那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值．
思考
一般情况下，在Rt△ABC中，当锐角A取其他固定值时∠A的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？

观察图24．2．2中的Rt△、Rt△和Rt△，易知
Rt△∽Rt△_________∽Rt△________，
所以＝_________＝____________．
可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的．
我们同样可以发现，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是唯一确定的．
因此这几个比值都是锐角A的函数，记作sinA、cosA、tanA、cotA，即
sinA＝，cosA＝，
tanA＝，cotA＝．
分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数．
显然，锐角三角函数值都是正实数，并且
0＜sinA＜1，0＜cosA＜1．
根据三角函数的定义，我们还可得出
＝1，
tanA·cotA＝1．

例1 求出图24．2．3所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函数值．
解 ，
sinA＝，cosA＝，
tanA＝，cotA＝．
练习:P107.1.2.
小结本节内容: 正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数
作业:一课一练
教学反思：

第二课时
教学目标
1、 探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。
2、 掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值。
3、掌握三角函数定义式：sin A=, cos A=,
tan A=, cot A=
教学重难点
重点：三角函数定义的理解。
难点：掌握三角函数定义式。
教学过程
探索
根据三角函数的定义，sin30°是一个常数．用刻度尺量出你所用的含30°角的三角尺中，30°角所对的直角边与斜边的长，与同伴交流，看看常数sin30°是多少．
通过计算，我们可以得出

sin30°＝，
即斜边等于对边的2倍．因此我们可以得到：　
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
思考
上述结论还可通过逻辑推理得到．如图25．2．4，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，作∠BCD＝60°，点D位于斜边AB上，容易证明△BCD是正三角形，△DAC是等腰三角形，从而得出上述结论．
做一做
在Rt△ABC中，∠C＝90°，借助于你常用的两块三角尺，或直接通过计算，根据锐角三角函数定义，分别求出下列∠A的四个三角函数值：　
（1）　∠A＝30°；（2）　∠A＝60°；（3）　∠A＝45°．
为了便于记忆，我们把30°、45°、60°角的三角函数值列表如下：
α
sinα
cosα
tanα
cotα
30°

45°

1
1
60°

练习　求值：　2cos60°＋2sin30°＋4tan45°．
四、学习小结:记忆特殊角的函数值
五、布置作业 习题：1
教学反思：

第三课时
教学目标
1、 进一步复习直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。
2、 进一步掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值。
3、掌握三角函数定义式：sin A=, cos A=,
tan A=, cot A=
教学重难点
重点：三角函数定义的理解。
难点：掌握三角函数定义式。
教学过程
例1 　求出如图所示的Rt△DEC（∠E＝90°）中∠D的四个三角函数值．

sin30゜是一个常数.用刻度尺量出你所用的含30゜的三角尺中，30゜所对的直角边与斜边的长，sin30゜=
即斜边等于对边的2倍.因此我们还可以得到：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30゜，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
做一做
在Rt△ABC中，∠C＝90゜，借助于你常用的两块三角尺，根据锐角三角函数定义求出∠A的四个三角函数值：
（1）∠A＝30゜　　（2）∠A＝60゜　　　（3）∠A＝45゜.
为了便于记忆，我们把30゜、45゜、60゜的三角函数值列表如下.（请填出空白处的值）

课堂练习
1. 如图，在Rt△MNP中，∠N＝90゜.
∠P的对边是__________,∠P的邻边是_______________;
　　∠M的对边是__________,∠M的邻边是_______________;

2. 求出如图所示的Rt△DEC（∠E＝90゜）中∠D的四个三角函数值.
3. 设Rt△ABC中，∠C＝90゜，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，根据下列所给条件求∠B的四个三角函数值.
（1）a=3,b=4; 　（2）a=6,c=10.

4. 求值：2cos60゜+2sin30゜+4tan45゜.
学习小结: 记忆特殊角的函数值
布置作业
习题：练习册习题：2

教学反思：

2.用计算器求锐角三角函数值
教学目标
学会计算器求任意角的三角函数值。
教学重难点
重点：用计算器求任意角的三角函数值。
难点：实际运用。
教学过程
拿出计算器，熟悉计算器的用法。

下面我们介绍如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角.
（1） 求已知锐角的三角函数值.
3、 求sin63゜52′41″的值.（精确到0.0001）
解　先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：
显示
再按下列顺序依次按键：

显示结果为0.897 859 012.
所以　　　sin63゜52′41″≈0.8979
例3　求cot70゜45′的值.（精确到0.0001）
解　在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出），按下列顺序依次按键：

显示结果为0.349 215 633.
所以　　　　　　cot70゜45′≈0.3492.
（2） 由锐角三角函数值求锐角
例4　已知tan x=0.7410,求锐角x.（精确到1′）
解　在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出），按下列顺序依次按键：

显示结果为36.538 445 77.
　　再按键：

显示结果为36゜32′18.4.
所以，x≈36゜32′.
例5 已知cot x=0.1950,求锐角x.（精确到1′）
分析　根据tan x＝，可以求出tan x的值，然后根据例4的方法就可以求出锐角x的值.
四、课堂练习
1. 使用计算器求下列三角函数值.（精确到0.0001）
sin24゜,cos51゜42′20″,tan70゜21′,cot70゜.
2. 已知锐角a的三角函数值，使用计算器求锐角a.（精确到1′）
（1）sin a=0.2476; （2）cos a=0.4174;
（3）tan a=0.1890; （4）cot a=1.3773.
五、学习小结
内容总结
不同计算器操作不同，按键定义也不一样。
同一锐角的正切值与余切值互为倒数。
在生活中运用计算器一定要注意计算器说明书的保管与使用。
方法归纳
在解决直角三角形的相关问题时，常常使用计算器帮助我们处理比较复杂的计算。
六．布置作业
习题：3，4，5；练习册
教学反思：

24.4 解直角三角形
教学目标
1、 巩固勾股定理，熟悉运用勾股定理。
2、 学会运用三角函数解直角三角形。
3、 掌握解直角三角形的几种情况。
教学重难点
重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。
难点：运用三角函数解直角三角形。
教学过程
我们已经掌握了直角三角形边角之间的各种关系，这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的有效工具.
例1　如图19.4.1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？

解　利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为

26＋10＝36（米）.
所以，大树在折断之前高为36米.
在例1中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角.像这样，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.
例2　如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40゜的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）

解　在Rt△ABC中，因为
∠CAB＝90゜－∠DAC＝50゜，
＝tan∠CAB,
所以　　　　　　　　BC＝AB•tan∠CAB
=2000×tan50゜≈2384(米).
又因为　　　　　　　，
所以　　　　　　　AC＝
答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.
在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′.
解直角三角形，只有下面两种情况：
（1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角
课堂练习
1. 在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？
2. 海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30゜处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离.（画出图形后计算，精确到0.1海里）
学习小结
布置作业
习题：1；练习册
教学反思：

24.4 解直角三角形
第二课时
教学目标
1、 巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。
2、 学会运用三角函数解直角三角形。
3、 掌握解直角三角形的几种情况。
4、 学习仰角与俯角。
教学重难点：
重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。
难点：运用三角函数解直角三角形。
教学过程
一、 情境导入
读一读
如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.

二、合作探究
例3　如图4，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的高．（精确到0.1米）
解　 在Rt△BDE中，
BE＝DE×tan a
＝AC×tan a
＝22.7×tan 22°
≈9.17，
所以AB＝BE＋AE
　　　　　 ＝BE＋CD
　　　　　 ＝9.17＋1.20≈10.4（米）．
　　答： 电线杆的高度约为10.4米．
三、课堂练习
1. 如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看地面控制点B的俯角a＝16゜31′，求飞机A到控制点B的距离.（精确到1米）

2. 两座建筑AB及CD，其地面距离AC为50.4米，从AB的顶点B测得CD的顶部D的仰角β＝25゜，测得其底部C的俯角a＝50゜，求两座建筑物AB及CD的高.（精确到0.1米）
四、学习小结
内容总结
仰角是视线方向在水平线上方，这时视线与水平线的夹角。
俯角是视线方向在水平线下方，这时视线与水平线的夹角。
梯形通常分解成矩形和直角三角形（或分解成平行四边形与直角三角形）来处理。
方法归纳
认真阅读题目，把实际问题去掉情境转化为数学中的几何问题。把四边形问题转化为特殊四边形（矩形或平行四边形）与三角形来解决。
五、布置作业
习题：2，3；练习册
教学反思：

24.4 解直角三角形
第三课时
教学目标
1、 巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。
2、 学会运用三角函数解直角三角形。
3、 掌握解直角三角形的几种情况。
4、 学习仰角与俯角。
教学重难点
重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。
难点：灵活的运用有关知识在实际问题情境下解直角三角形。
教学过程
一、情境导入
读一读
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.
如图5，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即i=.
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有
i＝tan a
显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
二、课前热身
分组练习，互问互答，巩固勾股定理和锐角三角函数定义等内容，掌握仰角与俯角等概念。
三、合作探究
例4　如图6，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到
0.1米）
　　解　作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知
　　　　　　　　　　DE＝CF＝4.2（米），
　　　　　　　　　CD＝EF＝12.51（米）．
　　在Rt△ADE中，因为

所以

在Rt△BCF中，同理可得

因此 　　　　　　　AB＝AE＋EF＋BF
　　　　　　　　　≈6.72＋12.51＋7.90≈27.13（米）．
　　答： 路基下底的宽约为27.13米．
三、课堂练习
一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽6.2米，坝高23.5米，斜坡AB的坡度i1＝1∶3，斜坡CD的坡度i2=1∶2.5.求：
（1）斜坡AB与坝底AD的长度；（精确到0.1米）
（2）斜坡CD的坡角α.（精确到1°）
四、学习小结
内容总结
坡角是斜坡与水平线的夹角；坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比值。
坡角与坡度之间的关系是：i＝=tan a。
坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡。
方法归纳
在涉及梯形问题时，常常首先把梯形分割成我们熟悉的三角形、平行四边形，再借助这些熟悉图形的性质与特征来加以研究。
五、布置作业
习题：4；练习册
教学反思：

小结与复习1
教学目标
1、 了解本章的知识结构。
2、 回顾勾股定理的证明
教学重难点
重点：勾股定理。
难点：选择适当的知识解决具体问题。
教学过程
一、 情境导入
通过本章的学习，你学到了哪些知识？你有哪些收获？
二、课前热身
同学们交流、讨论、概括出本章所学的主要内容。
三、合作探究知识结构

概括
1. 了解勾股定理的历史，经历勾股定理的探索过程；
2. 理解并掌握直角三角形中边角之间的关系；
3. 能应用直角三角形的边角关系解决有关实际问题．
课堂练习
1. 求下列阴影部分的面积：
（1）阴影部分是正方形；　（2）阴影部分是长方形；　（3）阴影部分是半圆

　　　　　　　　　　　　　（第1题）
2.
3. 如图，以Rt△ABC的三边向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．

4. 已知直角三角形两条直角边分别为6、8，求斜边上中线的长．
5. 求下列各式的值．
　（1） 2cos 30°＋cot 60°－2tan 45°;
　（2） sin2 45°＋cos2 60°;
　（3） .
学习小结
内容总结
本节课主要复习了两个部分的内容：一部分是本章的知识结构；另一部分是直角三角形中勾股定理及锐角三角函数定义。
方法归纳
在测量时，要以构造直角三角形在实际生活中应用的实例，至少一个。
布置作业
习题：10，11；练习册
教学反思：

小结与复习2
教学目标
1、 通过复习，进一步理解勾股定理及三角函数的意义。
2、 通过复习，进一步掌握直角三角形的解法。
3、 学会运用勾股定理和三角函数解决简单的实际问题。
教学重难点
重点：灵活运用解直角三角形知识解决问题。
难点：选择恰当知识解决具体问题。
教学过程
一、 情境导入
三角函数是怎样定义的？如何把梯形分解成三角形？
二、课前热身
学生交流、讨论上述问题。
三、课堂练习
5. 求下列各直角三角形中字母的值．

（第5题）
6.　小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成39°角．他的风筝有多高？（精确到1米）
7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∠A平分线AM的长为15 cm，求直角边AC和斜边AB的长．
8. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，直角边AC是直角边BC的2倍，求∠B的四个三角函数值．
9. 如图，在直角坐标平面中，P是第一象限的点，其坐标是（3，y），且OP与x轴的正半轴的夹角a的正切值是，求：
（1） y的值；　　 （2） 角a的正弦值．

12. 一架25米的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物7米．如果梯子的顶部滑下4米，梯子的底部滑开多远？
13. 如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角a和坝底宽AD．（i＝CE∶ED，单位米，结果保留根号）

14. 如图，两建筑物的水平距离BC为24米，从点A测得点D的俯角a＝30°，测得点C的俯角b＝60°，求AB和CD两座建筑物的高．（结果保留根号）

四、学习小结
五、布置作业
习题：15，16，17；
教学反思：

16