1、2019年12月2日,Page,#,2025年8月27日,Page,1,清华大学航天航空学院,王天舒（,tswang,）,分析动力学,之,非完整系统,2025年8月27日,Page,2,本节内容,问题,1,：,对于刚体定点转动问题，如果用第二类拉氏方程求解，动能：,问题,2,：,非完整系统广义坐标不独立,？,内容,1,：非完整约束的例子,内容,2,：准速度和准坐标,问题,3,：,拉氏方程中的求导复杂,内容,3,：,Appell,方程,2025年8月27日,Page,3,非完整系统,-,例,1,：带横纹的小轮,X,Y,纯滚动。小轮半径,R,，轮心的位置为,(x,y),，小轮绕自身轴的转角为,。,
2、O,2,O,1,(,x,y,),轮与地面的接触点轴向的速度为,0,：,与理力中的纯滚动的不同？,2025年8月27日,Page,4,X,Z,O,Y,2,1,O,2,O,1,B,A,(,x,y,0),(,x,y,R,),车轮半径,R,，连轴,(O,1,O,2,),长,2a,，轮与地面的接触点位,A,和,B,。,A,和,B,的坐标：,X,Y,轮,A,在周向和轴向的速度为,0,：,描述系统位形的参数个数：,5,非完整系统,-,例,2,：两轮小车,2025年8月27日,Page,5,X,Y,轮,B,在周向和轴向的速度为,0,：,整理：,描述系统位形的参数个数：,4,非完整系统,-,例,2,：两轮小车,
3、2025年8月27日,Page,6,非完整系统,-,例,2,：两轮小车,X,Z,O,Y,2,1,O,2,O,1,B,A,(,x,y,0),(,x,y,R,),系统自由度数：,2,2025年8月27日,Page,7,非完整系统,-,例,3,：粗糙平面上滚动的圆球,1.,自由运动为,6,个自由度；,2.,在平面上运动，,1,个完整约束；,3.,纯滚动，球与平面的接触点速度为,0,，,2,个非完整约束,4.,圆球的广义坐标数,5,，自由度数,3,；,2025年8月27日,Page,8,非完整系统,-,例,4,：自动控制问题,引入球坐标：,质量为,m,的质点，受速度大小为常数的约束，在牛顿中心引力场中
4、运动；,速度的平方：,卫星的运动。,2025年8月27日,Page,9,非完整系统,-,例,5,：,Bottema,圆盘,系统角动量守恒：,是否是真正的约束。,2025年8月27日,Page,10,约束的嵌入问题,1895,年荷兰学者,Lindel,f利用非完整约束方程消去方程中的非独立的广义速度，代入拉氏方程求解。,O,x,y,v,C,利用约束消去 ：,代入拉氏方程：,结果：,Lindel,f错误,：非完整系统不能使用第二类拉氏方程。,2025年8月27日,Page,11,准速度和准坐标,对于刚体定点转动：,广义坐标,广义速度,准速度,定义,准坐标,满足：,准坐标已不具有物理意义；,准速度与
5、广义速度的变换关系为广义坐标的函数。,2025年8月27日,Page,12,准速度和准坐标,O,x,y,v,C,约束方程：,广义坐标：,广义速度：,广义坐标和广义速度不独立，无法直接利用第二类拉氏方程,定义准速度：,显然准速度为独立变量,准速度与广义速度的变换关系为广义坐标的函数；,准坐标具有物理意义。,对于非完整约束：,2025年8月27日,Page,13,准速度和准坐标,设在由,N,个质点组成的系统上作用有,r,个完整约束和,s,个非完整约束，选择,l,=3N-,r,个广义坐标,q,j,描述系统的位形，限制广义速度的约束方程为：,构造,f,=,l,-,s,个广义速度的线性组合，并要求其相互
6、独立：,其中的,f,v,j,为广义坐标,q,和时间的函数，,u,v,具有速度的量纲，称为,准速度,。,相应的准坐标定义为：,也可反解出：,2025年8月27日,Page,14,Appell,方程的推导,虚功率原理：,2025年8月27日,Page,15,虚功率原理的广义坐标形式,虚功率原理可改写为：,将广义速度的变分改写为准速度的变分：,2025年8月27日,Page,16,外力项,为对应于准速度的广义主动力。,2025年8月27日,Page,17,惯性力项,2025年8月27日,Page,18,Appell,方程,定义加速度能量函数：,Jourdian,原理改写为：,准速度相互独立：,加速度
7、能量函数又称,Gibbs,函数，不具有能量的意义,Appell,方程可应用于非完整系统,2025年8月27日,Page,19,例,1,：,Appell,方程,引入球坐标：,质量为,m,的质点，受速度大小为常数的约束，在牛顿中心引力场中运动。,非完整约束：,系统的加速度能量：,2025年8月27日,Page,20,例,1,：,Appell,方程,非完整约束：,求导：,嵌入约束：,广义力：,2025年8月27日,Page,21,例,2,：,Appell,方程,O,x,y,v,C,加速度：,广义坐标：,定义准速度：,约束方程：,求加,速度能量函数：,广义力：,2025年8月27日,Page,22,END,！,
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