3天津大学机械振动振动系统的运动微分方程.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,返回总目录,第,3,章 振动系统的运动微分方程,Mechanical and Structural Vibration,机械与结构振动,主讲 贾启芬,第,3,章 振动系统的运动微分方程,目录,3.1,牛顿定律和普遍定理,3.2,拉格朗日运动方程,3.3,刚度影响系数 作用力方程,3.4,柔度影响系数 位移方程,Mechanical and Structural Vibration,3.3,刚度影响系数 作用力方程,Mechanical and Structural Vibration,第,3,章 振动系统的运动微分方程,3.3,刚度影响系数 作用力方程,一般情况下，,n,个自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程具有以下形式,若用矩阵表示，则可写成,式中分别是系统的,坐标矢量,和,加速度矢量,0,方程中各项均为力的量纲，因此，称之为作用力方程。,Mechanical and Structural Vibration,质量矩阵,刚度矩阵,Mechanical and Structural Vibration,3.3,刚度影响系数 作用力方程,刚度矩阵中的元素称刚度影响系数,(,在单自由度系统中，简称,弹性常数,),。,它表示系统单位变形所需的作用力。,具体地说，,如果使第,j,个质量沿其坐标方向产生单位位移，沿其它质量的,坐标方向施加作用力而使它们保持不动，则沿第,i,个质量坐标,方向施加的力，定义为,刚度影响系数,k,ij,；在第,j,个质量坐标方,向上施加的力称刚度影响系数,k,jj,。由刚度影响系数的物理意,义，可直接写出刚度矩阵，从而建立作用力方程，这种方法,称为,影响系数法,。,刚度矩阵,Mechanical and Structural Vibration,3.3,刚度影响系数 作用力方程,现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。,画出各物块的受力图根据平衡条件，有,首先令,在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力,Mechanical and Structural Vibration,3.3,刚度影响系数 作用力方程,画出受力图，则有,同理，令,画出受力图，有,最后令,Mechanical and Structural Vibration,3.3,刚度影响系数 作用力方程,因此刚度矩阵为,刚度矩阵一般是对称的。,实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即,Mechanical and Structural Vibration,3.3,刚度影响系数 作用力方程,3.4,柔度影响系数 位移方程,Mechanical and Structural Vibration,第,3,章 振动系统的运动微分方程,在单自由度的弹簧,质量系统中，若弹簧常数是,k,，则 就是物块上作用单位力时弹簧的变形，称,柔度影响系数,，用 表示。,具体地说，仅在第,j,个质量的坐标方向上受到单位力作用时相应于在第,i,个质量的坐标方向上产生的位移，即定义为 。,n,自由度系统的柔度矩阵 为,n,阶方阵，其元素 称为柔度影响系数，表示单位力产生的位移。,3.4,柔度影响系数 位移方程,Mechanical and Structural Vibration,现分析求出图所示的三自由度系统的柔度影响系数。,当受到,F,1,作用后，第一个弹簧的变形为 ，第二和第三个弹簧的变形为零。,首先施加单位力,这时三物块所产生的静位移分别是,所以三物块的位移都是,F,1,Mechanical and Structural Vibration,3.4,柔度影响系数 位移方程,第三个弹簧不受力，故其变形为零。因此有,令,F,2,第一和第二弹簧均受单位拉力，其变形分别为,Mechanical and Structural Vibration,3.4,柔度影响系数 位移方程,F,3,再令,可得到,系统的柔度矩阵为,Mechanical and Structural Vibration,3.4,柔度影响系数 位移方程,柔度矩阵一般也是对称的。,实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即,系统的柔度矩阵为,Mechanical and Structural Vibration,3.4,柔度影响系数 位移方程,用柔度影响系数来建立其运动微分方程,系统运动时，质量的惯性力使弹簧产生变形,应用叠加原理可得到,Mechanical and Structural Vibration,3.4,柔度影响系数 位移方程,写成矩阵形式,位移方程,是非奇异的，即 的逆矩阵存在,与作用力方程比较,Mechanical and Structural Vibration,3.4,柔度影响系数 位移方程,即当刚度矩阵,是非奇异时,，刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵；,当刚度矩阵是奇异时，不存在逆矩阵即无柔度矩阵。,此时系统的平衡位置有无限多或者说它有刚体运动。,如图示系统具有刚体运动，柔度矩阵不存在。,柔度矩阵与刚度矩阵之间的关系,Mechanical and Structural Vibration,3.4,柔度影响系数 位移方程,例 试写出图所示刚体,AB,的刚度矩阵并建立系统的运动微分方程。,解：刚体,AB,在图面内的位置可以由其质心,C,的坐标,y,C,(,以水平位置,O,为坐标原点，且水平运动不计,),和绕,C,转角 确定。,Mechanical and Structural Vibration,3.4,柔度影响系数 位移方程,图为 时的受力图，分别表示保持系统在该位置平衡，应加在,C,点的力和力偶矩,由刚体,AB,的平衡条件得到,Mechanical and Structural Vibration,3.4,柔度影响系数 位移方程,图为 时的受力图，分别表示保持系统在该位置平衡，应加在铅直平面内的力偶矩和加在,C,点的力。,由平衡条件得,刚度矩阵,Mechanical and Structural Vibration,3.4,柔度影响系数 位移方程,例 试求图示悬臂梁的柔度影响系数，并建立其位移方程。,(,梁的弯曲刚度为,EI,，其质量不计,),解：取,y,1,、,y,2,为广义坐标，根据柔度影响系数的定义，表示在,m,1,处施加单位力,(,沿,y,1,方向,),并在,m,1,处产生的位移。,表示在,m,2,处施加单位力,(,沿,y,2,方向,),并在,m,2,处产生的位移。有,按材料力学的挠度公式，则有,Mechanical and Structural Vibration,3.4,柔度影响系数 位移方程,表示在,m,2,处施加单位力在,m,1,处产生的位移等于在,m,1,处施加单位力在,m,1,处产生的位移。有,柔度矩阵为,得系统的位移方程,Mechanical and Structural Vibration,3.4,柔度影响系数 位移方程,谢谢,