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数学思想方法在教学中的作用

一般来说，数学教材中蕴含着两条主线：其一是按逻辑体系编排的知识所构成的显性主线，它是数学学科的外在形式，也是教师教和学生学的主要依据；另一条是蕴含于知识的发生、发展和应用过程中的思想方法所构成的隐性主线，它是数学发展的内在动力，是数学知识的“灵魂”。数学思想方法是数学最本质、最具价值的内容，因为它是现实世界的数量关系和空间形式反映到人脑中，经过思维活动而产生的对数学事实与数学理论的本质的认识。如：集合思想、数形结合思想、化归思想、整体思想、和极限思想等。在数学教学过程中，教师应注意挖掘和提炼知识的发生、发展和应用过程中所蕴涵的思想方法。数学教材中的每一章节，都体现着知识和思维的有机结合。由于认知能力及思维发展的限制，学生往往只注意数学知识的学习，而忽视了联结这些知识的观点和思想与方法。因此，在教学中若能挖掘出数学概念、定理中所蕴含的数学思想；在数学推理与问题解决中，有意识地展现数学方法，不仅可以开启思路、提高解题效率，还可以强化方法意识，使学生的思维品质得到升华。因此，数学的学习既是知识的学习又是方法的学习。在教学中探索数学思想方法的最终目的是提高学生的思维品质和整体素质。而实现这一目标的主要途径通常是课堂教学。那么我们就从学生认知的角度来看一下思想方法对数学教学的作用。
1.掌握了数学思想方法能够使数学知识更容易被理解
心理学认为：由于认知结构中原有的有关概念在概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的种种类属关系又称为下位关系，这种学习又称为下位学习，当学生掌握了一些数学思想和方法，再去学习相关的数学知识时，就属于下位学习了。下位学习所学的知识具有足够的稳定性，有利于巩固新学习的知识，即可使新知识能够顺利地纳入到学生已有的认知结构中去。因此学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握教学内容。
2.掌握了数学思想方法有利于数学知识的记忆
学习基本原理的目的，就在于保证记忆的丧失不是全部丧失，而是留下来的东西将使我们在需要的时候得以重新构思起来。高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具。由此可见，数学思想方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的。
3.掌握了数学思想方法有利于“原理和态度的迁移”
这种类型的迁移应该是教育过程的核心，是用基本的和一般观念来不断扩大和加深知识。如果学生认知结构中具有较高抽象、概括水平的观念，对于新学习是有利的。只有概括、巩固和清晰的知识才能实现迁移。学习迁移的发生应有个先决条件，就是学生需先掌握原理，形成类比，才能迁移到具体的类似学习中。学生学习数学思想方法有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习的质量和数学能力。
4.数学思想方法可以指导基础知识教学
基础知识的教学中要充分展现知识的形成、发展过程。并揭示其中所蕴涵的丰富的数学思想方法，如几何体体积公式的推导体系集转化思想、等积类比思想及割补转化方法之大成，是这些思想方法灵活运用的完美范例。只有通过体积问题展现解决问题的思路，并且同时形成系统、条理的体积公式的推导线索，才能把这些思想方法明晰地呈现在学生的眼前，学生才能从中领悟到数学家的创造性思维过程，这对激发学生形成数学思维、掌握数学方法的作用是不可低估的。
5.数学思想方法可指导解题练习
解题的过程就是在数学思想的指导下，合理联系并提取相关知识，处理题设条件及知识，逐步缩小题设与结论间差异的过程，也可以说是运用化归思想的过程，解题思想的寻求就自然是运用思想方法分析、解决问题的过程。运用数学思想，进行一题多解练习，可培养学生思维的发散性、灵活性；对习题的灵活变通、引申推广，可培养学生思维的深刻性、抽象性；组织、引导对解法简捷性的反思，不断优化思维品质，可培养学生思维的严谨性、批判性。丰富、合理的联想是对知识的深刻理解及类比、转化、数形结合、函数与方程等数学思想运用的必然。数学方法、数学思想的自觉运用往往使我们运算简捷、推理合理，是提高数学能力的必由之路。
转化教学片段说明
师：现在我们来研究一种新的立体图形（出示实物），它是什么？
生：圆柱。
（师板书：圆柱的认识）

师（出示实物）：同学们通过收集和观察有关实物，你发现生活当中哪些物体的形状是圆柱形的？
生（出示实物）：这个罐头是圆柱形的。
生（出示实物）：我这支铅笔是圆柱形的。
生：学校校门的不锈钢管是圆柱形的？
……
师（出示实物）：我们已经知道了长方体、正方体的特征，想不想知道圆柱的特征？
生：想。
师：现在就请同学们拿出圆柱形的物体，先独立观察、思考，然后分小组研究讨论圆柱的特征，再进行小组交流。
学生探究，老师穿梭于各个小组之间，或是指导，或是聆听，之后组织讨论。
师：请各小组派一位代表说说你们所发现的圆柱的特征。
小组1－A：我们发现圆柱体有3个面，上下两个面是圆形的，侧面是曲的。
师：还有补充吗？
小组1－B：上下两个面是相同的。
师：你们怎么知道上下两个面是相同的？
小组1－C：我们是观察出来的。
小组2：我们和1组的基本相同，只是我们不是通过观察发现上下两个面相同的，而是先把下面画下来，再同上面作比较，得出是相同的。
师：你们认为哪组的判断方法好？
生：2组的。
师：为什么？
生：用肉眼看可能会有偏差，通过测量后加以比较就准确了。
师：说得很好！有时我们不能光凭感觉，还要运用方法去证明一下是否正确。
小组3：我们还发现圆柱从上到下比较均匀，上、下之间的距离相等。
小组4：我们同意小组3的观点，就是不知圆柱的高在哪里？
师：圆柱上下两个面之间的距离就是圆柱的高。请同学看电脑演示画高，并观察圆柱有多少条高？
生：无数条。
小组5：老师，我们对小组3的看法有补充，有的圆柱从上到下是不均匀的，例如：腰鼓就是中间粗，两头细。
师：你们的发现很正确，不过你们所说的圆柱不是我们今天要研究的圆柱体，我们今天要研究的是小组3所讲的圆柱体。
小组6：我们还发现圆柱只有2条棱，没有顶点。
师：对呀！你们的发现很独到，老师在备课时也没想到。
师：通过刚才小组讨论、各组交流，请你闭上眼睛想想圆柱的特征，然后摸出课桌上的圆柱体。
师：学到这里，请同学们小结一下，你认识了圆柱的哪些特征？
生：我知道了……
分类讨论教学片段说明
师：前不久，李叔叔下岗了，于是他不得不再找工作，一天，他在街上看到了这样一则招聘信息：本超市现招聘员工若干名，，李叔叔一看条件不错，就应聘做了超市的一名工作人员。可第一个月他只拿到工资550元，第二个月也只有600元。他去对经理说：“我已经问过其他工人，没有一个工人的工资超过1000元，平均工资怎么可能是每月1000元呢？”超市的经理拿出了超市工作人员的工资表：

经理
副经理
员工A
员工B
员工C
员工D
员工E
员工F
员工G
工资
3000
2000
700
650
600
600
550
450
450

问题（投影呈现）：请大家仔细观察表中的数据，讨论回答下面的问题
⑴经理说月平均工资1000元是否欺骗了李叔叔？
⑵你有什么想法？
生1：刚才我算了一下，这11个数的平均数是1000元，所以月平均工资1000元没有欺骗。
师：对，我们学过平均数的知识，平均数是1000元是没有错的。
生2：我认为欺骗了，因为两位经理的工资很高，而员工的月平均工资不到1000元。
师：说说你的想法。
生2：因为两位经理的工资分别是3000元和2000元，而剩下的7人的工资最多的一个也只有700元，这样7位员工的平均工资肯定不到1000元，可以说他们欺骗了李叔叔。
师：你的分析有一定道理，看来这组数据中，由于出现了两个特别的数据，所以平均数1000不能真实反映多数员工的工资水平。那么，应该用怎样的数反映这个超市的工资水平比较合理呢？这就是我们这节课要来共同学习和研究的内容，揭示课题：中位数

数形结合教学片段说明  
小明乘车遇到一个函数问题，同学们能帮他解答吗？
     问题1：小明暑期第一次去北京，汽车驶上A地的高速公路后，小明观察里程碑，发现汽车的平均速度是95千米
/时，已知A地直达北京的高速公路里程为570千米，小明想知道汽车从A地驶出后，距离北京的路程和汽车在高速
公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己和北京的距离。
     学生独立后交流，尝试解决下列问题：
 ①常量是什么 ②变量有几个，分别是什么？ ③小明能得到一个什么样的关系式？
 ④你能用含有y与x的解析式表示出两个变量间的对应关系吗？
      全班交流，达成共识：汽车距北京的路程随着行车时间变化而变化。题中常量是两地距离570千米和汽车行
驶的平均速度95千米/时；变量是汽车距北京的路程与汽车行驶的时间；故可设汽车距北京的路程为y（千米），汽
车行驶的时间为x（小时），所以y与x的解析式为：y=570-95x(也可写作y= -95x+570)。教师追问这个函数是
正比例函数吗？你们想知道这是什么函数，它有哪些性质吗？

（二）合作交流探究新知
 1、一次函数的意义
问题2：思考下列问题中变量间的对应关系，可用怎样的函数表示？（教师出示图）
   ⑴ 有人发现，在20～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数c与温度t(单位：℃)有关，即c的值约是t的7倍于35的差；
    ⑵ 一种计算成年人标准体重G（单位：千克）的方法是，以厘米为单位量出身高值h减常数105，所得的差是G
的值；
   ⑶ 某城市的室内电话的月收费额y（单位：元）包括：月租费22元，拨打电话x分的计时费按0.1元/分收取；
    ⑷把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少x cm，宽不变，长方形的面积y（单位：cm2 ）随x的值而变化。
     学生独立思考后交流回答，教师板书：
   ⑴ c=7t-35
    ⑵ G=h-105
    ⑶ y=0.1x+22
    ⑷y=-5x+50
    追问①：上述函数解析式有什么共同特点？
    讨论归纳：上述5个函数的形式都是自变量与一个常数的乘积，在加上一个常数。
    追问②：你能用一个表达式表示这一共同特征吗？
      学生思考、讨论、交流，教师引导、点播达成共识，上述式子都是用含有自变量次数为1的正式表示的，因此，
可用形如y=kx+b来表示。
归纳概括一次函数的意义：一般地，形如y=kx+b（k 、b是常数，k≠0）的函数，叫一次函数。
     ③讨论：对于y=kx+b中的k可以等于0吗？b可以等于0吗？如b=0函数的式子是什么样的？师生共同归纳得
出：k可以等于0，若k=0,则y=b,有定义可知就不是一次函数了；b可以等于0，若b=0，函数式子变为y=kx
（ k≠0）,此时的函数就是正比例函数了，它是一种特殊的一次函数。

   用小黑板出示：一次函数的定义 一般地，形如y=kx+b（k 、b是常数，k≠0）的函数，叫一次函数。
当b=0时，y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。 已知一次一次函数Y=3X+5，你能画出它的图像吗？结合一次函数的取值与图像总结归纳它的性质。