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高一数学函数
一、知识结构

二、重点难点
重点：有关映射与函数的概念，要求会求函数的定义域和一些简单函数的值域；幂函数的图象和性质；单调性的概念；反函数的概念；要掌握函数的图象和性质；对数运算与指数运算的关系，对数式与指数式的互化；对数性质和运算法则；
难点：映射的概念；幂函数的应用；用定义判定函数的单调性与确定函数的单调区间；反函数的求法；利用指数函数的性质，结合有关幂函数以及函数的单调性、奇偶性和有关复合函数的知识解决函数值的比较与求值域问题；对数概念与各名称的意义的理解；注意法则应用的条件和推导。
三、知识点解析
1、函数：
（1）定义：1）传统定义：如果在某变化过程中有两个变量，并且对于在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，都有惟一确定的值和它对应，那么就是的函数，记为；2）近代定义：函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射。 ；
上述两个定义实质上是一致的，只不过传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发，侧重点不同，函数实质上是从集合A到集合B的一个特殊的映射，其特殊性在于集合A、B都是非空数集。自变量的取值集合叫做函数的定义域，函数值的集合C叫做函数的值域。这里应该注意的是，值域C并不一定等于集合B，而只能说C是B的一个子集；
（2）三要素：函数是由定义域、值域以及从定义域到值域的对应法则三部分组成的特殊的映射。
2、函数的单调性：
（1）定义：对于给定区间上的函数，1）如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在这个区间上是增函数；2）如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值，当，都有，那么就说在这个区间上是减函数；
（2）证明函数单调性的方法：1）用定义；2）利用已知函数的单调性；3）利用函数的图像；4）依据符合函数单调性有关结论；5）为增函数，为减函数；
（3）函数的周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数叫做这个函数的周期；对于一个周期函数，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数就把这个最小的正数叫做最小正周期：1）式子对定义域中的每一个值都成立，即对定义域中的任何，式子都成立，而不能是“一个”或“某些”；2）一个函数是周期函数，它并不一定就有最小正周期，如：（是常数)，显然，对任何一个正数T，都有；这就是说，任何一个正数都是的周期，由于正数中不存在最小的数，所以周期函数不存在最小正周期。③设是的周期，那么且)也一定是的周期。
3、反函数
（1）反函数的意义：一般地，式子表示是自变量的函数，设它的定义域为A，值域为B、我们从式子中解出，得到式子。如果对于在中的任何一个值，通过式子，在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子就表示是自变量的函数，这样的函数，叫做函数的反函数，记作，即，在函数式中，表示自变量，表示函数。习惯上，一般用表示自变量，用表示函数.为此对调函数式中的字母，把它改写成。1）与具有四性：A、互换性；B、对称性；C、奇偶性；D、单调性；2）和互为反函数，即或；3）求反函数的步骤：A、解出 ；B、交换，得；C、解出反函数的定义域(即原函数值域)；4）互为反函数的两个函数图像关于直线对称；
（2）反函数存在的条件：并不是所有函数都存在反函数.根据反函数的定义，只有原象具有唯一性的函数，即对任意的，能推断出成立的函数才具有反函数；
（3）反函数与原函数的关系：1）原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；2）与互为反函数设的定义域为A，值域为C，则有，；
（4）反函数的求法：可以根据反函数的定义求出已知函数的反函数，其步骤为：1）由解出；2）交换，得；3）根据的值域，写出的定义域。
4、幂函数、指数函数、对数函数
（1）幂、指数、对数式
1）同底数幂的运算性质：
①，②，③；
2）根式的运算性质：
①，②当是偶数时，当是奇数时；
3)分数指数幂与根式的关系规定：
①正分数指数幂，
②正分数指数幂；
4)对数及对数的运算性质：
①定义：如果且)，则数叫做以为底N的对数，记作，
②对数恒等式：(a＞0且a≠1，N＞0)，
③对数的性质：（ⅰ）负数和零没有对数，（ⅱ），（ⅲ）；
④对数的运算法则：（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ）；
⑤换底公式：（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）；
（2）幂函数
1）定义：形如(是常数)的函数叫幂函数；
2)幂函数的图像见图：

3）幂函数的性质：
①都过点(1，1)；
②除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数都不过第四象限；
③时，幂函数图像过(0，0)且在(0，+∞)上是增函数；时，幂函数图像不过(0，0)且在(0，+∞)上是减函数；
④任何两个幂函数图像最多有三个公共点，除(1，1)，(0，0)，(-1，1)外，其它任何一点都不是两个幂函数的公共点；
（3）指数函数
1）定义：形如(且)的函数叫指数函数；
2）指数函数的图像见图：

3）指数函数的性质
①都过(0，1)点；
②定义域为，值域为；
③时，在(-∞，+∞)上是增函数；时，在(-∞，+∞)上是减函数；
④时，；时，。
（4）对数函数
1）定义：形如(且)的函数叫对数函数；
2）对数函数图像见图。对数函数图像和指数函数图像关于直线对称(互为反函数)；

3）对数函数的性质：
①都过(1，0)点；
②定义域为，值域为；
③时，在(0，+∞)上是增函数；时，在(0，+∞)上是减函数；
④时，；时，。
四、例题
1、函数
例1  审查下面四个命题：（ⅰ）是函数；（ⅱ）函数是其定义域到值域的映射；（ⅲ）和表示同一函数；（ⅳ）和表示同一函数；其中正确的有  [    ]
A、1个            B、2个 C、3个             D、4个
解  B
注  高中数学中的函数是通过映射来定义的。
例2 函数的图像是[    ]

解 D 函数可化为。
例3  设ak＞0，bc＜0，在同一坐标系中y=ax2+c与y=kx+b的图象应是 [    ]

解  B  由同号排除D；由b，c异号排除A，C。
例4 已知函数满足，则c的               [    ]
A、3          B、-3 C、3或-3         D、不存在
解  B 。对任何成立，所以，即。而，故所求。
例5 函数的定义域是 [ ]
A、 B、 C、 D、无法确定
解  B  解不等式组得，此即所求定义域。
例6 已知函数，则的值               [    ]
A、2        B、-15 C、12          D、以上都不对
解  A  因为，所以，所以。
注  求分段函数的函数值时，首先应清楚自变量的值在定义域的哪一段上。
例7 如果函数的定义域是，那么函数的定义域是______。
解 0解不等式，得，所以所求函数定义域为。
例8 已知，则等于 。
解 15 令，解得。代入得。
例9 若，则满足等式的的值是______。
解 -2 因为，所以。由题设的。
例10 设。若的值域也为A，则b的值为______。
解  3  函数的对称轴为，而，故可令，即，解得，舍去。
例11  已知是的函数，，求函数的解析式及其定义域。
解  。因为，所以，即。所以所求函数为；其定义域为。
例12 设的值域为，求的值。
解 设，则。
因为，所以，即。易知是不等式，即的解。比较系数，得。
例13  求下列函数的值域：
（1） （2） （3） （4）
解 （1）因为，所以值域为。
（2）因为，所以值域为。
注 此题容易误解为。
（3）因为，所以，所以值域为。
（4）令，则，从而。因为，所以。于是，故值域为。
例14  已知是的二次函数，且，求。
解  设，则有，。所以 。又，比较系数，得，所以所求函数为。
例15  已知，且，求。
解  令，代入，得。又，所以。
2、函数单调性
例1  下列函数中，属于增函数的是 [    ]
A、 B、 C、 D、
解  D
例2  若一次函数在上是单调递减函数，则点在直角坐标平面的  [    ]
A、上半平面         B、下半平面 C、左半平面         D、右半平面
解  C  因为。
例3  函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是   [    ]
A、         B、 C、        D、
解  B  因抛物线开口向上，对称轴方程为，所以，即。
例4  已知，如果，那么 [    ]
A、在区间(-1，0)内是减函数 B、在区间(0，1)内是减函数
C、在区间(-2，0)内是增函数 D、在区间(0，2)内是增函数
解  A  。画出草图可知在(-1，0)上是减函数。
例5 若在上都是减函数，则在(0，+∞)上是______函数(选填“增”或“减”)。
解 减函数
由条件知，所以。
例6 函数的单调递增区间是 。
解  [-2，1]
已知函数的定义域是。设，可知当时，随增大时，也增大但值减小；当时，随增大时，减小，但值增大，此时是的单调增函数，即时，是增函数。
注  在求函数单调区间时，应先求函数的定义域。
例7  在定义域上是单调递增函数，且，那么在同一定义域上，是单调 函数；是单调 函数；y=[f(x)]2是单调______函数。
解  递减；递减；递增。
例8  已知，证明是定义域上的减函数，且满足等式的实数值至多只有一个。
解  设，且，则，所以。所以是上的减函数。
假设使成立的的值有两个，设为，且，则。但因为上的减数，故有。矛盾。所以使成立的的值至多有一个。
例9  定义域为的函数，对任意，都有，其中为常数。又知时，该函数为减函数，判断当时，函数的单调状况，证明自己的结论。
解  当时，函数是增函数。设，则。
因为函数在上是减函数，所以，注意到对任意，都有，可见对于实数，也有，即。
同理。所以，所以函数在上是增函数。
例10 是定义在上的递增函数，且。
（1）求证；(2)若，且，求的取值范围。
解（1）因为，所以。
(2)因为，，
于是。由题设有，解得。
3、反函数
例1  求下列函数的反函数
（1） （2） （3）
解 （1）由得，。原函数的反函数为。
（2）由，得。∵，∴。
又∵ ∴，即，
所求函数的反函数为。
（3）由，得。∴，∴。 ，故。又当时，，故。∴，所求函数的反函数为。
评注  对于用解析法表示的函数，求其反函数，实际上只要做三件事：①把给出的函数解析式中的自变量当作未知数，因变量当作系数的方程而解之；②求给出函数的值域，③把①②中的互换。
例2 如果点既在函数的图像上，又在函数的反函数的图象上，那么____ ____。
分析  确定，只要列出关于的两个方程，而由可得一方程，但直接用则需先求出反函数，应注意。
解 依题意可有：且，即，解得。
例3 给定实数，设函数，求证：这个函数的图象关于成轴对称图形。
分析  本题证明可有两种思路：①证明任何一点在这个函数图象上，则点关于直线的对称点也在这个函数的图象上。②证明此函数与反函数是同一个函数，下面只写出一种。
证明：先求所给出函数的反函数：由得：      ①
若，由，故得，此时又由①可有，于是得，即，这与已知矛盾，故。。即函数的反函数是。由于函数与的图像关于直线对称，故函数的图像关于直线成轴对称图像。
4、幂函数、指数函数、对数函数
（Ⅰ）幂函数
例1 函数的大致图像是 [    ]

分析  当函数中，当n＜1时，在第一象限的图象特征是上升上凸的，因而可排除A、C，而当取x的两个互为相反数自变量时，经计算结果y值也互为相反数，从而可排除B，故应选D。
例2 若上述函数中是幂函数的个数为[    ]
A、1个  B、2个 C、3个      D、4个
分析  幂函数是形如的函数，其结构特征是：函数右边为单项式，幂指数为常数，底数为自变量，前面的系数为1。从这四个特点，我们可以判数：中，前的系数为4，故不为幂函数，为二项式，底数为，而中自变量x在指数位置，故只有，为幂函数，应选B。
例3  下列函数中，以作为定义域的函数是                   [    ]
A、 B、 C、 D、
解 ，定义域为：；，定义域为：；，定义域为：；，定义域为：。
故应选D。
评注  幂函数定义域求法分两步，首先化为根式或分式形式，然后考虑分式中分母不为零，开偶次根时被开方数不能为负两个方面求出函数的定义域。
例4 设，且，则整数的值应为   [    ]
A、        B、 C、      D、不能确定
解 考察，当时，即在第一象限内，值随值增大而减小，而，即，而，。∴，故，选C。
例5 试比较的大小。
解 。
评注  多个数的大小比较问题是要观察数与数之间异同点，将它们进行分类(与1和0比)粗比，然后在每一类中利用有关结论进行细比，最后得出大小关系。
（Ⅱ）指数函数
例1 函数的图像是                                            [    ]

解  A
例2  ，则的定义域是                    [    ]
A、    B、 C、         D、
解  B  因为，即的值域为，故的定义域为。
例3  下列函数中，值域是(0，+∞)的一个函数是                 [    ]
A、 B、 C、 D、
解  B。
例4  函数在上是减函数，则的取值范围是       [    ]
A、 B、 C、 D、
解 D。 由题设，有，所以。
例5  已知，审查下列不等式。
（ⅰ） （ⅱ） （ⅲ） （ⅳ） （ⅴ）
其中恒成立的                             [    ]
A、1个            B、2个          C、3个             D、4个
解  C。
例5 使函数递减的的取值范围是______。
解
因为的递增区间，而为增函数，故所求范围是。
例7  根据不等式确定正数a的取值范围：
（1），则∈______；（2），∈______；（3） 。
解  (1)   (2)   (3) 。
例8 已知
(1)指出函数的奇偶数，并予以证明；
(2)求证：对任何(且)，都有。
解 （1）的定义域为，关于原点对称。
又，
所以是偶函数。
（2）)当时，，所以。当时，由为偶函数，有，所以对一切，，恒有。
注  利用函数的奇偶性常可使解法简化。如本例(2)，当时，证明较繁。若注意到为偶函数，则只须证明，当时，而这是显然的。
例11 比较与的大小。
解 ，。
因为，所以。
由指数函数单调性，知当时， ；当时，。
（Ⅲ）对数函数
例1 函数的定义域是   [    ]
A、 B、 C、 D、
解  A。 解不等式，得或。
例2 函数的值域是          [    ]
A、        B、 C、       D、
解  B。 。
例3  若在内，则      [    ]
A、在单调递增 B、在内单调递减
C、在内单调递减 D、在内单调递增
解  D。  依题设，的图象关于直线对称，且，画出图象(略)即知D正确。
例4  函数，则的定义域为 。
解 。 由题设知，所以。
例5 函数的奇偶性是 。
解 奇函数。，为奇函数；
例6 已知
(1)判断的奇偶性；
(2)已知存在反函数，若，求的取值范围。
解 （1）因为，所以。由，得的定义域为。
另一方面，有，所以是奇函数。
（2）设，则，解得。所以。由得，而，故，所以。故当时，；当时，。
例7  已知常数满足，若，
(1)求的定义域；
(2)证明在其定义域内是增函数；
(3)若恰在上恒取正值，且，求的值。
解 （1）由，得。
因为，所以，所以是增函数。而由得，即函数的定义域是。
（2）任取，且。因为，所以是增函数，所以，于是，
即，故在内是增函数。
（3）因为在内为增函数，所以对于内每一个值，都有。要使恰在上恒取正值，即，只须，于是，得。
又，所以，所以，即，而，所以。由，解得。经检验知，为所求。
例8  设对所有实数，不等式恒成立，求的取值范围。
解  根据题意，可知原不等式(关于的二次不等式)应满足下列条件：

由（ⅲ）得，所以。又由（ⅱ），得，所以。由及解得。
例9 设函数，求使在内单调递减，而在内单调递增的所有实数组成的集合。
解 令。由题意知，在上，必须有，，且的图象的对称轴与x轴的交点的横坐标必须属于。于是确定于不等式组

所以 。
例14  在函数的图象上有A，B，C三点，它们的横坐标分别是。
(1)若面积为，求；(2)判断的增减性；(3)求的最大值。
解  (1)由A，B，C三点分别向轴作垂线，设垂足依次为，则
（2）当时，递增。又由，故为减函数。
（3）因为，所以，即，即，所以，所以所求最大值为。

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