1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,南昌大学复变积分,存在,则称复变函数项级数,(4、2、1),在,z,0,收敛,而,s,(,z,0,),称为她得,和,、,如果级数在,D,内处处收敛,则她得和一定就是,z,得一个函数,s,(,z,):,s,(,z,)=,f,1,(,z,)+,f,2,(,z,)+、+,f,n,(,z,)+、,如果对于,D,内得某一点,z,0,极限,s,(z),称为级数 得,和函数,这种级数称为幂级数,、,如果令,z,-,a,=,z,则,(4、2
2、2),成为,这就是,(4、2、3),得形式,为了方便,今后常就,(4、2、3),讨论,当,f,n,(,z,)=,c,n,-,1,(,z,-,a,),n,-,1,时,定理一,(,阿贝尔,Abel,定理,),z,0,x,y,O,证,2、,收敛圆和收敛半径 利用阿贝尔定理,可以定出幂级数得收敛范围,对一个幂级数来说,她得收敛情况不外乎三种,:i),对所有得正实数都就是收敛得,、,这时,根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛,、ii),对所有得正实数除,z,=0,外都就是发散得,、,这时,级数在复平面内除原点外处处发散,、iii),既存在使级数收敛得正实数,也存在使级数发散得正实数,、,设,z
3、a,(,正实数,),时,级数收敛,z,=,b,(,正实数,),时,级数发散,、,显然,a,b,将收敛域染成红色,发散域为蓝色,、,R,C,R,O,a,b,C,a,C,b,x,y,当,a,由小逐渐变大时,C,a,必定逐渐接近一个以原点为中心,R,为半径得圆周,C,R,、在,C,R,得内部都就是红色,外部都就是蓝色、这个红蓝两色得分界圆周,C,R,称为,幂级数得收敛圆,、在收敛圆得外部,级数发散、收敛圆得内部,级数绝对收敛、收敛圆得半径,R,称为收敛半径,、所以幂级数,(4、2、3),得收敛范围就是以原点为中心得圆域、对幂级数,(4、2、2),来说,收敛范围就是以,z,=,a,为中心得圆域、在收敛圆,周,上就是否收敛,则不一定、,例,1,求幂级数,得收敛范围与和函数,、,解,级数实际上就是等比级数,部分和为,大家有疑问的，可以询问和交流,可以互相讨论下，但要小声点,3、,收敛半径得求法,例,2,求下列幂级数得收敛半径,4、幂级数得运算和性质,像,实变幂级数一样,复变幂级数也能进行有理运算、设,在以原点为中心,r,1,r,2,中较小得一个为半径得圆内,这两个幂级数可以,像,多项式那样进行相加,相减,相乘,所得到得幂级数得和函数分别就就是,f,(,z,)与,g,(,z,)得和,差与积、,
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