八年级轴对称专题课讲义.doc

轴对称
【知识梳理】
一、 轴对称与轴对称图形的区别与联系：

轴对称图形
轴对称
图形

定义
把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做_______，两个图形中的对应点叫做______。
区别
①轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。
②轴对称图形是反映一个图形的特性。

①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，
②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；
联系
①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。
②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；
如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。

二、 轴对称的性质：
1. 关于某条直线对称的两个图形是_________。（全等图形一定轴对称吗？）
2. 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的__________。
3. 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在________上。

【典型题型】
轴对称、中心对称题型的识别：
例1、（2010•兰州）观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形也是中心对称图形的有（　　）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

练习1、写出以下轴对称图形的对称轴条数：
（1） 直线 _______
（2） 线段 _______
（3） 角 _______
（4） 圆 _______
（5） 等腰三角形 _______
（6） 等边三角形 _______
作已知图形的轴对称图形
例2、（2009 四川眉山，19）在的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在右面的备用图中画出所有这样的△DEF。

练习2、画出以下图形的轴对称图形:

L
轴对称的概念和性质应用
例3、下列命题中,说法正确的是( )
A两个全等三角形是关于某直线对称的轴对称图形
B两个全等的等腰三角形是关于某直线对称的轴对称图形
C关于某直线对称的两个三角形全等
D关于某直线对称的两个三角形不一定全等

练习3、1、下列说法中,正确的有（ ）
（1） .两个关于某直线对称的图形是全等形;
（2） 两个图形关于某直线对称,对称点一定在直线两旁;
（3） 两个对称图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴;
（4） 平面上两个完全相同的图形一定关于某直线对称.
A 0个 B 1个 C 2个 D 3个

图形的“折叠”问题
例4、（2009 江苏，26）将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中的大小．
E
DD

C
F
B
A
图③

E
D
C
A
B
F
G

A
D
E
C
B
F
G

图④

图⑤

A
BBB
C
D
E
G
F
（第11题）
F
练习4、矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色(如图)，则着色部分的面积为（ B ）
(A) 8
(B)
(C) 4
(D)

利用对称轴解决几何最值问题
例5、在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3 km和2 km，
AB= a km（a＞1）．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．
方案设计
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1是方案一的示意图设该方案中管道长度为d1，且d1=PB+BA（km）（其中BP⊥ l于点P）；图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2 ，且d2=PA+PB（km）（其中点与点A关于l对称，B与l交于点P）．

观察计算
（1）在方案一中，d1= ___________km（用含a的式子表示）；
（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2=__________________km（用含a的式子表示）．

练习5、如图,正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，DN+MN的最小值为__________________。

全等三角形解题能力提升
1.全等三角形的性质
（1）全等三角形中，对应边相等，对应角相等。
2）全等三角形的对应线段（对应边上的中线，对应边上的高，对应角的平分线）相等。
（3）全等三角形的周长相等，面积相等。
2. 全等三角形的五种判定公理：
（1）三边对应相等的两个三角形全等，“边边边”（SSS）；
（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，“边角边”（SAS）；
（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，“角边角”（ASA）；
（4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，“角角边”（AAS）；
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，“斜边，直角边”（HL）
一、挖掘“隐含条件”判全等
【提示】：公共边，公共角，对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件
1.如图（1），AB=CD，AC=BD，则△ABC≌△DCB吗?说说理由

二、添条件判全等
【提示】：添加条件的题目.首先要找到已具备的条件,这些条件有些是题目已知条件 ,有些是图中隐含条件.
如图，已知AD平分∠BAC，
要使△ABD≌△ACD，需要哪些条件？

三、熟练转化“间接条件”判全等
如图（4）AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE，△AFD与△ CEB全等吗？为什么？

图3

四、条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线
如图3，AB=AC，∠1=∠2．
求证：AO平分∠BAC

构造全等三角形的主要方法
常见的构造三角形全等的方法有以下三种：
①涉及三角形的中线问题时，采用延长中线一倍来构造一对全等三角形；
②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线来构造一对全等三角形；
③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法来构造一对全等三角形；
（1）利用中点（中线）构造全等
若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
例1：如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。

（2）利用角平分线构造全等
遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。
例2：已知，如图，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。
求证：∠B+∠ADC=180°。

（3）用“截长补短”法构造全等
证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形。具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例3：如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。
求证：CD=AD+BC。