矩阵的秩及向量组的极大无关组求法.ppt

线性代数,下页,结束,返回,一、矩阵的秩的概念,二、初等变换求矩阵的秩,三、向量组方面的一些重要方法,下页,第,7,节 矩阵的秩及向量组的极大无关组求法,向量组的秩的计算方法,极大无关组的确定方法,用极大无关组表示其它向量的方法,注意：第,6-7,节与教材内容及次序有所不同,请作笔记,.,定义,1,设,A,是,m,n,矩阵，在,A,中任取,k,行,k,列,(1,k,min,m,n,),，,位于,k,行,k,列交叉位置上的,k,2,个元素，按原有的次序组成的,k,阶行列,式，称为,A,的,k,阶子式,.,如矩阵,第,1,3,行及第,2,4,列交叉位置上的元素组成的一个二阶子式为,三阶子式共有,4,个,下页,7.1,矩阵的秩的概念,定义,2,若矩阵,A,有一个,r,阶子式不为零，而所有,r,+1,阶子式,(,如果存在的话,),全等于零，则,r,称为矩阵,A,的秩，记作,r,(,A,).,规定零矩阵的秩为零,.,易见：,（,1,）若,A,是,m,n,矩阵，则,r,(,A,),min,m,n,.,（,2,）若,m,n,矩阵,A,中,有一个,r,阶子式不等于零,，则,r,(,A,),r,；,若所有,r,+1,阶子式全等于零，,则,r,(,A,),r,.,（,3,）,r,(,A,)=,r,(,A,T,).,（,4,）,r,(,kA,)=,r,(,A,),，,k,0.,（,5,）对,n,阶方阵A,，若,|,A|,0,，,则,r,(,A,),=n,称,A,为,满秩矩阵,;,若,|,A,|=0,，则,r,(,A,),n,;,r,n,.,3,向量组,a,，,a,，,，,a,s,，线性无关的充要条件是（）,r,1;,它有一个部分向量组线性无关,;,r,0;,它所有的部分向量组线性无关,.,4,若矩阵,A,有一个,r,阶子式,D,0,，且,A,中有一个含有,D,的,r,阶子式等于零，则一定有（）,.,r,(,A,),r,;,r,(,A,),r,;,r,(,A,),=,r,;,r,(,A,),=,r,+1.,5,设向量组,a,，,a,，,a,，线性无关，则下列向量组中，,线性无关的是（）,.,a,+,a,，,a,+,a,，,a,-,a,a,+,a,，,a,+,a,，,a,+2,a,+,a,a,+2,a,，,2,a,+3,a,，,3,a,+,a,a,+,a,+,a,，,2,a,-3,a,+2,a,，,3,a,+5,a,-5,a,下页,作业：,77,页,13 14,结束,