中考二次函数讲义(附练习及答案.doc

第三讲 二次函数的性质及其应用
² 相关概念及定义
Ø 二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
Ø 二次函数的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
² 二次函数各种形式之间的变换
Ø 二次函数用配方法可化成：的形式，其中.
Ø 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤.
² 二次函数解析式的表示方法
Ø 一般式：（，，为常数，）；
Ø 顶点式：（，，为常数，）；
Ø 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
Ø 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
² 二次函数的图像和性质

＞0
y
x
O
＜0

图 象

开 口

对 称 轴

顶点坐标

最 值
当x＝ 　 时，y有最 　 值
当x＝ 时，y有最 值
增减性
在对称轴左侧
y随x的增大而　
y 随x的增大而　
在对称轴右侧
y随x的增大而　
y随x的增大而　
² 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
Ø 的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；
相等，抛物线的开口大小、形状相同.
Ø 对称轴：平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.
Ø 顶点坐标：
Ø 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

│a│越大，开口越小，图像两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图像两边越靠近x轴
当时，，即抛物线的对称轴就是轴
当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
² 用待定系数法求二次函数的解析式
Ø 一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
Ø 顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
Ø 交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.
² 直线与抛物线的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点顶点在轴上）抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
Ø 平行于轴的直线与抛物线的交点
可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.

Ø 抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故
Ø
² 二次函数图象的平移
Ø 平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
Ø 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．

经验

² 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。
Ø 三点式。
1，已知抛物线y=ax2+bx+c 经过A（，0），B（，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。
2，已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A（2，3），求抛物线的解析式。
Ø 顶点式。
1，已知抛物线y=x2-2ax+a2+b 顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。
2，已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。
Ø 交点式。
1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。
2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=a(x-2a)(x-b)的解析式。
Ø 定点式。
1，在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线经过x 轴上一定点Q，直线经过点Q,求抛物线的解析式。
2，抛物线y= x2 +(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。
3，抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。
Ø 平移式。
1， 把抛物线y= -2x2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。
2， 抛物线向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.
Ø 距离式。
1，抛物线y=ax2+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。
2，已知抛物线y=m x2+3mx-4m(m﹥0)与 x轴交于A、B两点，与 轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。
Ø 对称轴式。
1、抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。
2、 已知抛物线y=-x2+ax+4, 交x轴于A,B（点A在点B左边）两点，交 y轴于点C,且OB-OA=OC，求此抛物线的解析式。
Ø 对称式。
1， 平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y 轴于E，将三角形ABC沿x 轴折叠，点B到B1的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。
2， 求与抛物线y=x2+4x+3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。
Ø 切点式。
1，已知直线y=ax-a2(a≠0) 与抛物线y=mx2 有唯一公共点，求抛物线的解析式。
2， 直线y=x+a 与抛物线y=ax2 +k 的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。
Ø 判别式式。
1、已知关于X的一元二次方程（m+1）x2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x2+(m+1)x+3解析式。
2、 已知抛物线y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。
3、已知抛物线y=(m+1)x2+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。

² 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
Ø 关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
Ø 关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
Ø 关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是
Ø 关于顶点对称
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
Ø 关于点对称
关于点对称后，得到的解析式是
总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

练习

1.抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（－2，3） C．（2－3） D．（－2，－3）
2.二次函数的最小值是（ ）．
A．2 B．1 C．－3 D．
3.抛物线（是常数）的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4.二次函数的图象的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
5.函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（ ）

A． 　B． C． 　　　　D．

6.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）
A、y=x2-x-2 B、y=
C、y= D、y=

7. 把抛物线y＝ax+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y＝x－3x+5，则a+b+c=__________

8.抛物线的对称轴是直线（ ）
A． B． C． D．
9.已知二次函数()的图象如图所示，有下列结论：

y
x
O

①；
②；
③；
④．
其中，正确结论的个数是
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
10.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：；方程的两根之和大于0；随的增大而增大；④，其中正确的个数（）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12
11
10
x
y
O
1

11.已知=次函数y＝ax+bx+c的图象如图．则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a－2b+c，
2a+b，2a－b中，其值大于0的个数为（ ）
A．2 B 3 C、4 D、5

12.二次函数的图象如图6所示，则下列关系式不正确的是
A．＜0 B.＞0

C.＞0 D.＞0
13.在同一直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能是

14.把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为__________
15.把抛物线y＝ax+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y＝x－3x+5，则a+b+c=__________
16.二次函数的图象如何平移就褥到的图像( )
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位．
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位．
C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位．
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位。
17.已知二次函数的图象如右图所示，下列结论
① ② ③④的实数)， 其中正确的结论有
A 1个 B．2个 C． 3个 D．4个

18.抛物线图像如图所示，则一次函数与反比例函数 在同一坐标系内的图像大致为
x

x

x

x

x

第15题图

19.抛物线的图象如图6所示，则此抛物线的解析式为 ．

y
x
O
3
x=1
图6
C
A
B
图7
20.已知抛物线（＞0）的对称轴为直线，且经过点，试比较和的大小：
_（填“>”，“<”或“=”）

21.在同一坐标平面内，下列4个函数：（1）y2（x+1）²-1，（2）y=2x²+3，
（3）y=-2x²-1，（4）y=0.5x²-1.期中图像不可能有函数y=2x²+1的图像通过平移变换，轴对称变换得到的函数是__________.
应用题：
1.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元．
（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？

2.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间
会全部住满。当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。宾馆需对游客
居住的每个房间每天支出20元的各种费用。根据规定，每个房间每天的房价不得高于340
元。设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)。
(1) 设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；

3.某村为增加蔬菜的种植面积，一年中修建了一些蔬菜大棚，平均修建每公顷大棚要用的支架，塑料膜等材料的费用为27000元，此外还要购置喷灌设备，这项费用（元）与大棚面积x（公顷）的平方成正比，比例系数为9000，每公顷大棚的年平均经济收益为75000元。
（1）一年中这个村修建了多少公顷蔬菜大棚，才能使蔬菜大棚而增加的收益（扣除修建费用后）为60000元
（2）修建3公顷大棚收益是否为该年的最大收益，请说明理由；

（3）修建大棚数量在什么范围内，该年年收益不低于63000元。

4.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每吨售价下降10元时，月销售量会增加7.5吨，综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元，设每吨材料售价为x元，该经销店的月利润为y元。
（1） 当每吨售价是240元时，计算此时的月份销售量
（2） 求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）
（3） 该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？

5.一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件，为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件。
（1）求出月销售利润w（万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x（元）之间的函数关系式。
（2）为获得最大销售利润，每件产品的售价应为多少元？此时，最大月销售利润是多少？
（3）请你通过（1）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480万元。

6.某加工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工，若进行粗加工，每吨加工费用为600元，需1/3天，每吨售价4000元，若进行精加工，每吨加工费为900元，需用1/2天，每吨售价4500元，，现将这50吨原料全部加工完，
⑴设其中粗加工x吨，获利y元，求y与x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）

⑵如果必须在20天内完成，如何安排生产才能获得最大利润？最大利润是多少？

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