【T】上海市2018届高三数学一轮复习专题突破训练：专题：圆锥曲线.doc

2017-2018年上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线

高 中 数 学

上海历年高考经典真题专题汇编

专 题： 圆锥曲线

姓 名 ：
学 号 ：
年 级 ：

专题7：圆锥曲线
一、填空、选择题
1、（2016年上海高考）已知平行直线，则的距离_______________
1、【答案】
【解析】试题分析：
利用两平行线间距离公式得

2、（2015年上海高考）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=　 　．

2、解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，
所以=1，所以p=2．故答案为：2．

3、（2014年上海高考）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，
则该抛物线的准线方程为 .
3、【解析】：椭圆右焦点为，即抛物线焦点，所以准线方程
4、（虹口区2016届高三三模）若双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，
则该双曲线的焦距等于

4、[答案]6　
5、（浦东新区2016届高三三模）抛物线的准线方程是
5、【答案】
【解析】，则其准线方程为

6、（杨浦区2016届高三三模）已知双曲线的两个焦点为、，为该双曲线上一点，满足，到坐标原点的距离为，且，则

6、[答案]4或9

7、（虹口区2016届高三三模）过抛物线的焦点F的直线与其相交于A，B两点，O为坐标原点．
若则的面积为

7、[答案]2

8、（浦东新区2016届高三三模）直线与抛物线至多有一个公共点，则的取值范围是
8、【答案】
【解析】由题意知：直线与抛物线的交点个数为0或1个。
由
①，显然满足；
②当时，由，由图像知：
所以，综上所述，的取值范围是。
9、（浦东新区2016届高三三模）设为双曲线上的一点，是左右焦点，，则的面积等于（ ）
A. B. C. D.

9、【答案】C
【解析】利用“焦点三角形的面积公式”。，求得面积
10、（崇明县2016届高三二模）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的标准方程为　　　　　　．

11、（奉贤区2016届高三二模）双曲线的一条渐近线与直线垂直，则________．

12、（虹口区2016届高三二模）如图, 的两个顶点，过椭圆的右焦点作轴的垂线，与其交于点C. 若(为坐标原点)，则直线AB的斜率为___________.

13、（黄浦区2016届高三二模）若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆短轴长为

14、（静安区2016届高三二模）已知双曲线的渐近线与圆没有公共点，

则该双曲线的焦距的取值范围为 .

15、（静安区2016届高三上学期期末）已知抛物线的准线方程是，则 .

16、（普陀区2016届高三上学期期末）设是双曲线上的动点，若到两条渐近线的距离分别为，则_________.

17、（杨浦区2016届高三上学期期末）抛物线的顶点为原点，焦点在轴正半轴，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于点，若AB中点的横坐标为3，则抛物线的方程为_______________.

18、（宝山区2016届高三上学期期末）抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 ．

19、（松江区2016届高三上学期期末）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为 ( )

10、　　11、　　12、　　13、　　14、 　15、1　　　
16、　 　17、　 18、　 　19、A

二、解答题
1、(2017年上海高考) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，为的上顶点，为上异于
上、下顶点的动点，为x正半轴上的动点.
（1）若在第一象限，且，求的坐标；
（2）设，若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；
（3）若，直线AQ与交于另一点C，且，，
求直线的方程.
【解析】（1）联立与，可得
（2）设，或

（3）设，线段的中垂线与轴的交点即，∵，
∴，∵，∴，代入并联立椭圆方程，
解得，，∴，∴直线的方程为

2、（2017年春考）（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；
（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；
（3）若m=2，求n关于b的表达式．
解：（1）∵双曲线（b＞0），点（2，0）是Γ的一个焦点，
∴c=2，a=1，∴b2=c2﹣a2=4﹣1=3，
∴Γ的标准方程为： =1，Γ的渐近线方程为．
（2）∵b=1，∴双曲线Γ为：x2﹣y2=1，P（﹣1，0），P′（1，0），
∵=，设Q（x2，y2），则有定比分点坐标公式，得：
，解得，∵，∴，
∴=．
（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），kPQ=k0，
则，
由，得（b2﹣k2）x2﹣4kx﹣4﹣b2=0，
，，
由，得（）x2﹣2k0nx﹣n2﹣b2=0，
﹣x1+x2=，﹣x1x2=，
∴x1x2==，即，即=，
====，
化简，得2n2+n（4+b2）+2b2=0，∴n=﹣2或n=，
当n=﹣2，由=，得2b2=k2+k02，
由，得，
即Q（，），代入x2﹣=1，化简，得：
，解得b2=4或b2=kk0，
当b2=4时，满足n=，
当b2=kk0时，由2b2=k2+k02，得k=k0（舍去），综上，得n=．

3、（2016年上海高考） 有一块正方形菜地,所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走。于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为（1,0），如图

（1） 求菜地内的分界线的方程
（2） 菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为。设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值
【答案】（1）（）．（2）五边形面积更接近于面积的“经验值”．
【解析】
试题分析：（1）由上的点到直线与到点的距离相等，知是以为焦点、以
为准线的抛物线在正方形内的部分．
（2）计算矩形面积，五边形面积．进一步计算矩形面积与“经验值”之差的绝对值，五边形面积与“经验值”之差的绝对值，比较二者大小即可．
试题解析：（1）因为上的点到直线与到点的距离相等，所以是以为焦点、以
为准线的抛物线在正方形内的部分，其方程为（）．
（2）依题意，点的坐标为． 
所求的矩形面积为，而所求的五边形面积为．
矩形面积与“经验值”之差的绝对值为，而五边形面积与“经验值”之差
的绝对值为，所以五边形面积更接近于面积的“经验值”．

考点：1.抛物线的定义及其标准方程；2.面积.

4、（2016年上海高考）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点。
（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率.
【答案】（1）．（2）.
【解析】
试题分析：（1）设．根据是等边三角形，得到，解得．
（2）（2）设，，直线与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据与双曲线交于两点，可得，且．
设的中点为．由，计算，从而．
得出的方程求解．
试题解析：（1）设．
由题意，，，，
因为是等边三角形，所以，
即，解得．
故双曲线的渐近线方程为．
（2）由已知，，．
设，，直线．显然．
由，得．
因为与双曲线交于两点，所以，且．
设的中点为．
由即，知，故．
而，，，
所以，得，故的斜率为．

5、（2015年上海高考）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S．
（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；
（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．

6、（2014年上海高考）在平面直角坐标系中，对于直线和点，记. 若，则称点被直线分割. 若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分割，则称直线为曲线的一条分割线.
(1) 求证：点被直线分割；
(2) 若直线是曲线的分割线，求实数的取值范围；
(3) 动点到点的距离与到轴的距离之积为，设点的轨迹为曲线. 求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分割线.
【解析】：（1）将分别代入，得
∴点被直线分割
（2）联立，得，依题意，方程无解，
∴，∴或
（3）设，则，
∴曲线的方程为 ①
当斜率不存在时，直线，显然与方程①联立无解，
又为上两点，且代入，有，
∴是一条分割线；
当斜率存在时，设直线为，代入方程得：，
令，则，
，，
当时，，∴，即在之间存在实根，
∴与曲线有公共点
当时，，即在之间存在实根，
∴与曲线有公共点
∴直线与曲线始终有公共点，∴不是分割线，
综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分割线

7、（虹口区2016届高三二模）已知直线是双曲线的一条渐近线，都在双曲线上，直线与轴相交于点，设坐标原点为．
(1) 求双曲线的方程，并求出点的坐标（用、表示）；
(2) 设点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点．问：在轴上是否存在定点，
使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3) 若过点的直线与双曲线交于两点，且，试求直线 的方程．

解：（1）由已知，得故双曲线的方程为 ……3分
为直线AM的一个方向向量，
直线AM的方程为它与轴的交点为 ……5分

（2）由条件，得且为直线AN的一个方向向量，
故直线AN的方程为它与轴的交点为 ……7分
假设在轴上存在定点，使得,则
由及得

故即存在定点，其坐标为或满足题设条件. ……10分
(3) 由知，以为邻边的平行四边形的对角线的长相等，故此四边形为矩形，从而 ……12分
由已知，可设直线的方程为并设
则由 得
由及得 （*）
由 ……14分
得
故符合约束条件（*）.
因此，所求直线的方程为 ……16分

8、（黄浦区2016届高三二模）对于双曲线，若点满足，则称在的外部；若点满足，则称在的内部；
（1）若直线上的点都在的外部，求的取值范围；
（2）若过点，圆在内部及上的点构成的圆弧长
等于该圆周长的一半，求、满足的关系式及的取值范围；
（3）若曲线上的点都在的外部，求的取值范围；
[解]（1）由题意，直线上点满足，即求不等式的解为一切实数时的取值范围．（1分）
对于不等式，
当时，不等式的解集不为一切实数，（2分）
于是有解得．
故的取值范围为．（4分）
（2）因为圆和双曲线均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及、轴正半轴的情况．
由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为．
将，代入双曲线方程，得（*），（6分）
又因为过点，所以，（7分）
将代入（*）式，得．（9分）
由，解得．因此，的取值范围为．（10分）
（3）由，得．将代入，

由题设，不等式对任意非零实数均成立．（12分）
其中．
令，设，（）．
当时，函数在上单调递增，不恒成立；（14分）
当时，，
函数的最大值为，
因为，所以；（16分）
当时，．（17分）
综上，，解得．因此，的取值范围为．（18分）

9、（静安区2016届高三上学期期末）设P1和P2是双曲线上的两点，线段P1P2的中点为M，直线P1P2不经过坐标原点O.
(1)若直线P1P2和直线OM的斜率都存在且分别为k1和k2，求证:k1k2=；
(2)若双曲线的焦点分别为、，点P1的坐标为(2，1) ，直线OM的斜率为，
求由四点P1、 F1、P2、F2所围成四边形P1 F1P2F2的面积.
(1)解法1：设不经过点O的直线P1P2方程为，代入双曲线方程得：.
设 P1坐标为，P2坐标为，中点坐标为M (x,y),则，，
，所以，，k1k2=。
另解：设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，中点M (x,y),则 且
（1）-（2）得：。
因为,直线P1P2和直线OM的斜率都存在,所以(x1+x2)(x1-x2)¹0，
等式两边同除以(x1+x2)(x1-x2)，得：
即 k1k2=。…………6分
（2）由已知得,求得双曲线方程为，
直线P1 P2斜率为，
直线P1 P2方程为,
代入双曲线方程可解得 (中点M坐标为.
面积.
另解: 线段P1 P2中点M在直线上.所以由中点M((x,y),可得点P2的坐标为,
代入双曲线方程可得,
即，解得（），
所以，
面积.

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