高等数学(B)(1)作业2.doc

高等数学(B)(1)作业2
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导 数

一、名词解释(21分)
导数：设函数在点的某个领域内有定义，给以改变量，则函数的相应改变量为。如果当时，两个改变量比的极限：存在，则称这个极限值为函数在点的极限，并称函数在点可导，也称为在点可微或有微商。

平均变化率：称为平均变化率。
导函数：设对于区间（a，b）中的每一点,函数都有导数，那么对应于区间（a，b）中的每一点就有一个导数值，这样由导数值构成的函数，叫做函数的导函数，记作
，，或，
高阶导数：如果函数的一阶导函数仍是可导函数，对其继续求导，得到函数的二阶导函数，依次继续下去，可得到函数的三阶导数、四阶导数…
二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。
驻点：使等于零的点称为函数的稳定点或驻点。
极值：设函数在及其邻域内有定义，且在的邻域内恒成立，则称为极大值点，称为极大值。同理可定义极小值。极大值与极小值统称为函数的极值。
二、填空题(5分)
1．导数的物理意义是瞬时速度。
2．导数的几何意义是曲线在一点的切线斜率。
3．导数的第三种解释是变化率。
4．导数是一种特殊的极限，因而它遵循极限运算的法则。
5．可导的函数是连续的，但连续函数不一定可导。

三、回答题(27分)
1．什么是费马定理?
答：设函数在点的某邻域内有定义并且在点处可导，如果对任意的，有（或），那么，

2．什么是罗尔定理?
答：如果函数在闭区间［a，b］上连续，在开区间内（a，b）内可导，并且满足条件，那么至少存在一点，使得　

3．什么是拉格朗日中值定理，它的辅助函数甲(1)是怎样构造的?
答：拉格朗日中值定理是这样叙述的：如果函数在闭区间［a，b］上连续，在开区间内（a，b）内可导，那么至少存在一点，使得　
辅助函数为：
4．函数的性质有哪些?
答：函数的性质主要有奇偶性、单调性、有界性、周期性。

5．导数的绝对值大小告诉我们什么?它反映在函数曲线上情况又怎样?
答：导数的绝对值告诉我们变化率的大小，因此，我们可以从一个函数的导数情况判断出函数的性态。当绝对值较大时，函数曲线就陡峭；绝对值较小时，函数曲线就平坦一些。

6．什么是极大值(或极小值)?
答：设函数在点的某邻域内有定义，若对任意的，
（或）
则称为函数的极大值（或极小值），称为函数的一个极大值点（或极小值点）。
7．请举例说明费马定理只给出了极值的必要条件而不是充分条件。
答：函数的导数，是这个函数的稳定点，但不是极值点。所以，函数的极值点一定是稳定点，但稳定点不一定是极值点。

8．最大值与极大值是一回事吗?
答：不是。最大值是指函数在给定区间的全部函数值中最大值，而极值描述的只是在极值点附近的局部变化情况。在一个闭区间上连续的函数有且只有一个最大值，而极大可能有几个。极大值不一定是最大值。

9．解决最大或最小值问题通常要用哪几个步骤?
答：（1）找出驻点和那些连续但不可导的点来，并计算出这些点的函数值；（2）计算出此区间端点处的函数值；
（3）将以上个函数值进行比较，可得到最大值与最小值。
（4）如果是应用问题，则需先分析题意，设变量，列出函数关系，在求出唯一驻点，它就是答案。
四、计算题(30分)
1．求函数在点x=3处的导数(用定义做此题)。
解：当x=3时，y=9。当时，
故
因此
所以

2．求函数的导数
解：

3．求的导数
解：

4．求的导数
解：
5．求的导数
解：令　，

6．求的导数
解：
7．求的导数
解：当时，
当时， 综上所述，
　　8．求的导数
解：
9．求的二阶导数
解：

10．求的n阶导数
解：

　　……………..

五、应用题(17分)
1、气球充气时，半径R以1cm/s的速率增大，设充气过程中气球保持球形，求当半径R=10cm时体积V的速率。(5分)
解：
， 当时， ，，
答：体积V增加的速率为400cm/s.
2、把长为1的线段分成两段，使得以这两段分别作为长与宽所得的矩形面积最大。(5分)
解：设一边长为x,则另一边长为1-x,
矩形面积S=x(1-x)=, , 令，解得。
答：从中间截断，可得到最大矩形的面积。
　3、某工厂需要围建一个面积为512的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其它三边需要砌新的墙壁，问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最少？(7分)
解：设宽为米，则长为米，围墙长度为。
，令，
即，解得 x
舍掉， 512/x
答：当宽为16米，长为32米时，才能使材料最省。

微分
一、名词解释(12分)
微分: 设函数在点处可导，则称为函数在点处的微分，记作，即。
函数的一阶微分形式的不变性：设函数在点处可微，在对应点处可微，则复合函数在点处可微。且
其中
微分的线性化：借助微分使非线性函数在局部转化为线性函数，使自理问题时达到简单、方便、高效的目的。
二、填空题(16分)
1、微分有双重意义，一是表示一个微小的量，二是表示与求导密切相关的运算。
2、微分学包含两个系统：概念系统和运算系统。
3、导数是逐点定义的，它研究的是函数在一点附近局部性质。
4、微分中值定理建立了函数的局部性质和整体性质的联系，建立了微积分理论联系实际的桥梁。
三、回答题(15分)
1、微分学基本问题是什么？
答：微分学的基本问题是求非均匀变化量的变化率问题。
2、微分学的基本运算是什么？
答：求导运算与微分运算是微分学的基本运算.
3、微分的线性化有什么应用？
答：可进行近似计算等。
四、计算题(40分)
1、求下列函数的微分
①(5分)
解：因为
所以
②(5分)
解：因为
所以
③(5分)
解：因为
所以
④(5分)
解：因为
所以
2、半径为8cm的金属球加热以后，其半径伸长30.04cm，问它的体积增大了多少?(10分)
解：cm
3、计算近似值。(10分)
解：设
则，

五、证明题(17分)
当很小时，。
证明：令，
则，
，证毕。
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