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高等数学(B)(1)作业2.doc

1、高等数学(B)(1)作业2姓名:_学号:_得分:_教师签名:_导 数 一、名词解释(21分)导数:设函数在点的某个领域内有定义,给以改变量,则函数的相应改变量为。如果当时,两个改变量比的极限:存在,则称这个极限值为函数在点的极限,并称函数在点可导,也称为在点可微或有微商。平均变化率:称为平均变化率。导函数:设对于区间(a,b)中的每一点,函数都有导数,那么对应于区间(a,b)中的每一点就有一个导数值,这样由导数值构成的函数,叫做函数的导函数,记作,或,高阶导数:如果函数的一阶导函数仍是可导函数,对其继续求导,得到函数的二阶导函数,依次继续下去,可得到函数的三阶导数、四阶导数二阶及二阶以上的导数

2、统称高阶导数。驻点:使等于零的点称为函数的稳定点或驻点。极值:设函数在及其邻域内有定义,且在的邻域内恒成立,则称为极大值点,称为极大值。同理可定义极小值。极大值与极小值统称为函数的极值。 二、填空题(5分) 1导数的物理意义是瞬时速度。 2导数的几何意义是曲线在一点的切线斜率。3导数的第三种解释是变化率。4导数是一种特殊的极限,因而它遵循极限运算的法则。5可导的函数是连续的,但连续函数不一定可导。 三、回答题(27分) 1什么是费马定理?答:设函数在点的某邻域内有定义并且在点处可导,如果对任意的,有(或),那么, 2什么是罗尔定理?答:如果函数在闭区间a,b上连续,在开区间内(a,b)内可导,

3、并且满足条件,那么至少存在一点,使得 3什么是拉格朗日中值定理,它的辅助函数甲(1)是怎样构造的?答:拉格朗日中值定理是这样叙述的:如果函数在闭区间a,b上连续,在开区间内(a,b)内可导,那么至少存在一点,使得辅助函数为: 4函数的性质有哪些?答:函数的性质主要有奇偶性、单调性、有界性、周期性。 5导数的绝对值大小告诉我们什么?它反映在函数曲线上情况又怎样?答:导数的绝对值告诉我们变化率的大小,因此,我们可以从一个函数的导数情况判断出函数的性态。当绝对值较大时,函数曲线就陡峭;绝对值较小时,函数曲线就平坦一些。 6什么是极大值(或极小值)?答:设函数在点的某邻域内有定义,若对任意的,(或)则

4、称为函数的极大值(或极小值),称为函数的一个极大值点(或极小值点)。 7请举例说明费马定理只给出了极值的必要条件而不是充分条件。答:函数的导数,是这个函数的稳定点,但不是极值点。所以,函数的极值点一定是稳定点,但稳定点不一定是极值点。 8最大值与极大值是一回事吗?答:不是。最大值是指函数在给定区间的全部函数值中最大值,而极值描述的只是在极值点附近的局部变化情况。在一个闭区间上连续的函数有且只有一个最大值,而极大可能有几个。极大值不一定是最大值。9解决最大或最小值问题通常要用哪几个步骤?答:(1)找出驻点和那些连续但不可导的点来,并计算出这些点的函数值;(2)计算出此区间端点处的函数值;(3)将

5、以上个函数值进行比较,可得到最大值与最小值。(4)如果是应用问题,则需先分析题意,设变量,列出函数关系,在求出唯一驻点,它就是答案。 四、计算题(30分) 1求函数在点x=3处的导数(用定义做此题)。解:当x=3时,y=9。当时, 故 因此 所以 2求函数的导数解:3求的导数解:4求的导数解:5求的导数解:令,6求的导数解: 7求的导数解:当时,当时, 综上所述, 8求的导数解:9求的二阶导数解:10求的n阶导数解:.五、应用题(17分) 1、气球充气时,半径R以1cm/s的速率增大,设充气过程中气球保持球形,求当半径R=10cm时体积V的速率。(5分)解: , 当时, , 答:体积V增加的速

6、率为400cm/s. 2、把长为1的线段分成两段,使得以这两段分别作为长与宽所得的矩形面积最大。(5分)解:设一边长为x,则另一边长为1-x, 矩形面积S=x(1-x)=, , 令,解得。 答:从中间截断,可得到最大矩形的面积。 3、某工厂需要围建一个面积为512的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其它三边需要砌新的墙壁,问堆料场的长和宽各为多少时,才能使砌墙所用的材料最少?(7分)解:设宽为米,则长为米,围墙长度为。 ,令,即,解得x舍掉,512/x答:当宽为16米,长为32米时,才能使材料最省。 微分一、名词解释(12分)微分: 设函数在点处可导,则称为函数在点处的微分,记作,即。函数的

7、一阶微分形式的不变性:设函数在点处可微,在对应点处可微,则复合函数在点处可微。且其中微分的线性化:借助微分使非线性函数在局部转化为线性函数,使自理问题时达到简单、方便、高效的目的。二、填空题(16分)1、微分有双重意义,一是表示一个微小的量,二是表示与求导密切相关的运算。2、微分学包含两个系统:概念系统和运算系统。3、导数是逐点定义的,它研究的是函数在一点附近局部性质。4、微分中值定理建立了函数的局部性质和整体性质的联系,建立了微积分理论联系实际的桥梁。三、回答题(15分)1、微分学基本问题是什么?答:微分学的基本问题是求非均匀变化量的变化率问题。2、微分学的基本运算是什么?答:求导运算与微分运算是微分学的基本运算.3、微分的线性化有什么应用?答:可进行近似计算等。四、计算题(40分)1、求下列函数的微分(5分)解:因为所以(5分)解:因为所以(5分)解:因为所以(5分)解:因为所以2、半径为8cm的金属球加热以后,其半径伸长30.04cm,问它的体积增大了多少?(10分)解:cm3、计算近似值。(10分)解:设则,五、证明题(17分)当很小时,。证明:令,则,证毕。- 7 -

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