1、高二数学双曲线知识点及例题一 知识点 1. 双曲线第一定义： 平面内与两个定点F1、F2的距离差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫焦距。 2. 双曲线的第二定义： 平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e（e1）的点的轨迹叫双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e叫双曲线的离心率。 3. 双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上的： （2）焦点在y轴上的： （3）当ab时，x2y2a2或y2x2a2叫等轴双曲线。 注：c2a2b2 4. 双曲线的几何性质： 对称性：图形关于x轴、y轴，原点都对
2、称。 顶点：A1（-a，0），A2（a，0） 线段A1A2叫双曲线的实轴，且|A1A2|2a； 线段B1B2叫双曲线的虚轴，且|B1B2|2b。 e越大，双曲线的开口就越开阔。 5若双曲线的渐近线方程为： 则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成： 【典型例题】 例1. 选择题。 A. 必要但不充分条件B. 充分但不必要条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 A. 焦点在x轴上的椭圆B. 焦点在y轴上的椭圆 C. 焦点在y轴上的双曲线D. 焦点在x轴上的双曲线 则F1PF2的面积为（ ） 例2. 例3. 已知B（-5，0），C（5，0）是ABC的两个顶点，且，求顶点A的轨迹
3、方程。 例4. （1）求与椭圆的双曲线的标准方程。 （2）求与双曲线的双曲线的标准方程。例5. （1）过点M（1，1）的直线交双曲线于A、B两点，若M为AB的中点，求直线AB的方程； （2）是否存在直线l，使点为直线l被双曲线截得的弦的中点，若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由。 例六：1. 若表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是（ ） A. B. （0，2）C. D. （1，2） 2. 双曲线的两条渐近线的夹角为60，则双曲线的离心率为（ ） A. 2或B. 2C. D. 3. 圆C1：和圆C2：，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程。例题答案例一：
4、解：1. 把所给方程与双曲线的标准方程对照 易知：2+m与m+1应同号即可。 选A 易知：x2的系数为负，y2的系数为正 方程表示焦点在y轴上的双曲线 4. 由双曲线方程知：a4，b3，c5 、例二：解：设所求双曲线方程为Ax2By21，（AB0） 例三：分析：在ABC中由正弦定理可把转化为，结合图形可知顶点A的轨迹是以B、C为两焦点，实轴长为6的双曲线的左支。 解：在ABC中，|BC|10 顶点A的轨迹是以B、C为两个焦点，实轴长为6的双曲线的左支 又c5，a3，b4 注：（1）利用正弦定理可以实现边与角的转换，这是求轨迹方程的关键； （2）对于满足曲线定义的，可以直接写出轨迹方程； （3）
5、求轨迹要做到不重不漏，应删除不满足条件的点。例四： 解：（1）由椭圆方程知： （2）解法一： 双曲线的焦点必在x轴上 解法二： 例五：解：（1）设AB的方程为：y1k（x1） （1）另解法： 当x1x2时，直线AB与双曲线没有交点。 （2）假设过的直线l交双曲线于C（x3，y3），D（x4，y4）两点 例六： 1. 答案：A 2. 答案：A 3. 分析：解决本题的关键是寻找动点M满足的条件，对于两圆相切，自然找圆心距与半径的关系。 解：设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的充要条件知： 即动点M与两定点C1、C2的距离的差是2 根据双曲线定义，动点M的轨迹是双曲线左支（点M与C2的距离大于与C1的距离） 这里 设M（x，y） 轨迹方程为
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