高考数学《空间向量》专题学案：空间向量及其运算.doc

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第1课时 空间向量及其运算
基础过关

空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．
本节知识点是：
1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；
(1) 向量：具有 和 的量．
(2) 向量相等：方向 且长度 ．
(3) 向量加法法则： ．
(4) 向量减法法则： ．
(5) 数乘向量法则： ．
2．线性运算律
(1) 加法交换律：a＋b＝ ．
(2) 加法结合律：(a＋b)＋c＝ ．
(3) 数乘分配律：(a＋b)＝ ．
3．共线向量
(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ．
(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0)，a∥b等价于存在实数，使 ．
(3) 直线的向量参数方程：设直线l过定点A且平行于非零向量a，则对于空间中任意一点O，点P在l上等价于存在，使 ．
4．共面向量
(1) 共面向量：平行于 的向量．
(2) 共面向量定理：两个向量a、b不共线，则向量P与向量a、b共面的充要条件是存在实数对()，使P ．
共面向量定理的推论： ．
5．空间向量基本定理
(1) 空间向量的基底： 的三个向量．
(2) 空间向量基本定理：如果a，b，c三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p，存在一个唯一的有序实数组，使 ．
空间向量基本定理的推论：设O，A，B，C是不共面的的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组，使 ．
6．空间向量的数量积
(1) 空间向量的夹角： ．
(2) 空间向量的长度或模： ．
(3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a、b，则a·b＝ ．
空间向量的数量积的常用结论：
(a) cos〈a、b〉＝ ；
(b) ïaï2＝ ；
c) ab ．
(4) 空间向量的数量积的运算律：
(a) 交换律a·b＝ ；
(b) 分配律a·(b＋c)＝ ．
典型例题

例1． 已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若，求x－y的值.
例2． 解：易求得
变式训练1. 在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是 ( )
A
B
C
D
A1
C1
B1
A．-a＋b＋c B．a＋b＋c
C．a-b＋c D．-a-b＋c
解：A
例2. 底面为正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点，
求证：AB1∥平面C1BD.
证明：记则∴,∴共面.
∵B1平面C1BD, AB1//平面C1BD.
变式训练2：正方体ABCD－EFGH中，M、N分别是对角线AC和BE上的点，且AM＝EN．
(1) 求证：MN∥平面FC；
(2) 求证：MN⊥AB；
(3) 当MA为何值时，MN取最小值，最小值是多少？
解：(1) 设
(2)
(3) 设正方体的边长为a,

也即，
例3. 已知四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD， GH分别是△ABC和△ACD的重心．
求证：(1) AD⊥BC； (2) GH∥BD．
证明：(1) AD⊥BC．因为ABCD，，而．
所以AD⊥BC．
(2) 设E、F各为BC和CD的中点．欲证GH∥BD，只需证GH∥EF，＝()＝．
变式训练3：已知平行六面体，E、F、G、H分别为棱的中点．求证：E、F、G、H四点共面．
解：＝
＝＝＝，
所以共面，即点E、F、G、H共面．
例4. 如图，平行六面体AC1中，AE＝3EA1，AF＝FD，AG＝，过E、F、G的平面与对角线AC1交于点P，求AP:PC1的值．

D
F
A
G
B
B1
C1
D1
A1
C
E
P

解：设

∴
又∵E、F、G、P四点共面，∴
∴ ∴AP︰PC1＝3︰16
变式训练4：已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，求证．
证明：法一：

故
法二：·＝(＋)·(＋)
＝·
＝＝0
小结归纳

1．立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般是利用a⊥ba·b＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．
2．运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模．而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果．
3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式cosθ＝．
4．异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l1、l2，AB为其公垂线段，C、D分别为l1、l2上的任意一点，为与共线的向量，则｜｜＝.
5．设平面α的一个法向量为，点P是平面α外一点，且Po∈α，则点P到平面α的距离是d＝.

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