中考数学专题训练-旋转模型几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补.doc

几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补
知识关联图

真题演练

【练1】 （2013北京中考）在中，，（），将线段绕点逆时针旋转60°得到线段．
（1）如图1，直接写出的大小（用含的式子表示）；
（2）如图2，，判断的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连结，若，求的值．

【练2】 （2012年北京中考）在中，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．
（1）若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数；

（2）在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；
（3）对于适当大小的，当点在线段上运动到某一位置（不与点，重合）时，能使得线段的延长线与射线交于点，且，请直接写出的范围．

例题精讲

考点1：手拉手模型：全等和相似
包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来
（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）

（2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）

（3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）

（4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）

【例1】 （14年海淀期末）已知四边形和四边形都是正方形 ，且．
（1）如图，连接、．求证：；
（2）如图，如果正方形的边长为，将正方形绕着点旋转到某一位置时恰好使得，．
①求的度数；
②请直接写出正方形的边长的值．

【题型总结】
手拉手模型是中考中最常见的模型，突破口常见的有哪些信息？常见的考试方法有哪些？

【例2】 （2014年西城一模） 四边形是正方形，是等腰直角三角形，，，连接，为的中点，连接，，。
（1）如图24-1，若点在边的延长线上，直接写出与的位置关系及的值；
（2）将图24-1中的绕点顺时针旋转至图24-2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
A
C
D
G
E
F
B
图111124-1
图24-2
A
C
D
G
E
F
B

【题型总结】
此类型题目方法多样，你还能找到其他的解题方法吗？另外涉及到的中点辅助线你还能说出几种？

【例3】 （2015年海淀九上期末）如图1，在 中，，以线段为边作，使得， 连接，再以为边作，使得，．
（1）如图2 ，当且时，用等式表示线段之间的数量关系；

图1

（2）将线段沿着射线的方向平移，得到线段，连接．若 ，依题意补全图3， 求线段的长；请直接写出线段的长（用含的式子表示）．

图2 图3 备用图

【例4】 （13年房山一模）
（1）如图1，和都是等边三角形，且、、三点共线，联结、相交于点，求证：．
（2）如图2，在中，，分别以、和为边在外部作等边、等边和等边，联结、和交于点，下列结论中正确的是_______（只填序号即可）①；②；③；
（3）如图2，在（2）的条件下，求证：．
图1
图2

【题型总结】
到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为°．旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题
费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．

考点2： 角含半角模型：全等
秘籍：角含半角要旋转：构造两次全等

【例1】 （2012年西城期末）已知：如图，正方形的边长为a，，分别平分正方形的两个外角，且满足，连结，，．猜想线段，和之间的等量关系并证明你的结论．

【例2】 （2014年平谷一模）
（1）如图1，点分别是正方形的边上的点，，连接， 则之间的数量关系是：．连结，交于点，且 满足，请证明这个等量关系；
（2）在中， ，点分别为边上的两点．
①如图2，当，时，应满足的等量关系是__________________；
②如图3，当，，时，应满足的等量关系是____________________．【参考：】

【题型总结】
角含半角的特点有哪些，哪些是不变的量？由角含半角产生的数量关系都是有哪些？如何描述这类题目的辅助线？

考点3：对角互补模型
常和角平分线性质一起考，一般有两种解题方法
（全等型—90°）

（全等型—120°） （全等型—任意角）

【例1】 四边形被对角线分为等腰直角三角形和直角三角形，其中和都是直角，另一条对角线的长度为，求四边形的面积．

【例2】 已知：点是的平分线上的一动点，射线交射线于点，将射线绕点逆时针旋转交射线于点，且使．
（1）利用图1，求证：；
（2）如图1，若点是与的交点，当时，求与的比值；

图1 图2

【题型总结】
对角互补模型经常在哪里题目里出现，题目中有哪些提示信息？经常和哪种图形同时出现？

【例3】 (初二期末)已知：如图，在中，，，且．为内部一点，且，．
（1）用含的代数式表示，得 =________________
（2）求证：；
（3）求的度数．

【题型总结】
一般涉及到线段的旋转都可以和圆联系起来，根据圆的相关性质解题是一种比较便捷的方法。

（
全能突破

【练1】 （2015年昌平九上期末）如图，已知和都是等腰直角三角形，，，．连接交于,连接交于，与交点为，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图1，求证：是的平分线；
（3）如图2，当，时，求的长.

【练2】 （2014西城九上期末）已知：，都是等边三角形，是与的中点，连接，.
（1）如图1，当与在同一条直线上时，直接写出与的数量关系和位置关系；
（2）固定不动，将图1中的绕点顺时针旋转（≤≤）角，如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；
（3）△ABC固定不动，将图1中的绕点旋转（≤≤）角，作于点．设 ，线段，，，所围成的图形面积为．当，时，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围．

图2
备用图
图1

【练3】 （2014年朝阳一模24题）在中，，在中，，点、分别在、上，
（1）图①，若，则与的数量关系是______________；
（2）若，将绕点旋转至如图②所示的位置，则与的数量关系是______________；
（3）若，将绕点旋转至如图③所示的位置，探究线段与的数量关系，并加以证明（用含的式子表示）

【练4】 （2015年燕山九上期末）小辉遇到这样一个问题：如图1，在中，，点，在边上，．若，，求的长．

图1
图2
图3

小辉发现，将绕点按逆时针方向旋转90º，得到，连接（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及，可证，得．解，可求得 (即)的长．
请回答：在图中，的度数是__________，的长为___________．
参考小辉思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形中，，．分别是边上的点，且．猜想线段之间的数量关系并说明理由．

【练5】 （11年石景山一模）已知：如图，正方形中，,为对角线，将绕顶点逆时 针旋转()，旋转后角的两边分别交于点、点，交,于点、点，联结、．
（1）在的旋转过程中，的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；
（2）探究与的面积的数量关系，写出结论并加以证明．

【练6】 （2015年延庆九上期末）已知：是的内接三角形，，在所对弧上，任取一点，连接，
（1）如图1，，直接写出的大小（用含的式子表示）；
（2）如图2，如果，求证：；
（3）如图3，如果，那么与之间的数量关系是什么？写出猜测并加以证明；
（4）如果，直接写出与之间的数量关系.

图3
图2
图1

【练7】 （1)如图，在四边形中，，分别是边上的点，
且．求证：;
(2) 如图在四边形中，，分别是边上的点，且， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．
(3) 如图，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且， (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

【练8】 小华遇到这样一个问题，如图1, 中，30º，，在
内部有一点，连接，求的最小值．
小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将绕点顺时针旋转60º，得到，连接，则的长即为所求．
（1）请你写出图2中，的最小值为________；
（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：
①如图3，菱形中，60º，在菱形内部有一点，请在图3中画出并指明长度等于最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；
②若①中菱形的边长为4，请直接写出当值最小时的长．

图1
图2
图3

【练9】 （2014年西城二模）在，为锐角，， 平分交于点．
（1）如图1，若是等腰直角三角形，直接写出线段，，之间的数量关系；
（2）的垂直平分线交延长线于点，交于点．
①如图2，若，判断，，之间有怎样的数量关系并加以证明；
②如图3，若，求的度数．

【练10】 (2014年1月西城八年级期末试题—附加题) 已知：如图，为锐角，平分，点，点分别在射线和上，.
（1）若点在线段上，线段的垂直平分线交直线于点，直线交直线于点，求证：；
（2）若（1）中的点运动到线段的延长线上，（1）中的其它条件不变，猜想与的数量关系并证明你的结论.

备用图1
备用图2

【练11】 （2014海淀一模）在中，，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，旋转角为，且，连接，．
（1）如图，当，时，的大小为__________；
（2）如图2，当，时，求的大小；
（3）已知的大小为（），若的大小与（）中的结果相同，请直接写出的大小．
图1
图2

小结与复习

1、旋转的基本模型特征
2、费马点问题
3、角平分线和垂直平分线辅助线，中点辅助线
4、线段旋转的特点