点直线平面之间的位置关系-教师版.doc

点.直线.平面的位置关系

v 知识点一 平面的基本性质（五个公理）
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。
图形语言：
符号语言：
公理1的作用：既可判定直线是否在平面内、点是否在平面内，又可用直线
检验平面。

公理2：过不在一条直线的三点，有且只有一个平面。
图形语言：
公理2的作用：①确定平面，②可用其证明点、线共面问题。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
图形语言：
符号语言：

公理3的作用：①是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个
公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线；
②它可判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上。

公理4：平行于同一条直线的两条直线相互平行。（空间平行线的传递性）

v 知识点二 空间中直线与直线的位置关系

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
异面直线夹角的取值范围:

v 知识点三 空间中直线与平面的位置关系
(1)直线在平面内——有无数个公共点；
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点；
(3)直线与平面平行——没有公共点。
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。

v 知识点四 平面与平面的位置关系
(1)两个平面平行——没有公共点；
(2)两个平面相交——有一条公共直线。

v 知识点五 直线与平面平行的判定
判定定理: 平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.
符号语言:
思 想: 线线平行线面平行

v 知识点六 平面与平面平行的判定
判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
符号语言：
思 想：线面平行→面面平行.

v 知识点七 直线与平面平行的性质
性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
符号语言：
图形语言：

v 知识点八 平面与平面平行的性质
性质定理：两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号语言：
图形语言：

v 知识点九 直线与平面垂直的判定
判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直。
符号语言：
图形语言：
思 想：线线垂直线面垂直

v 知识点十 平面与平面垂直的判定
判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
符号语言：
图形语言：
思 想：线面垂直面面垂直

v 知识点十一 直线与平面垂直的性质
性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号语言：
图形语言：

v 知识点十二 平面与平面垂直的性质
性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号语言：
图形语言：

例题解析
例1 已知四个命题：
①三点确定一个平面；
②若点P不在平面α内，A、B、C三点都在平面α内，则P、A、B、C四点不在同一平面内；
③两两相交的三条直线在同一平面α内；
④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
其中正确命题的个数是（　　）
A.0个　　　　B.1个　　　　C.2个　　　　D.3个

例2 A、B、C分别表示不同的三点，l表示直线，α、β表示两个不同的平面，下列推理不正确的是（ ）
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈αlα
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈βα∩β＝直线AB
C．lα，A∈lAα
D．，
解析： 由公理1知A正确；由公理3知B正确；由公理2知D正确；
对于C，由lα，有二种情况：l∥α或l与平面α相交．当l与平面α相交且交点为A时，C不正确；选C．
例3 为三条不重合的直线，为三个不重合平面，
现给出六个命题
①⇒a∥b　②⇒a∥b　③⇒α∥β　
④⇒α∥β　⑤⇒α∥a　⑥⇒α∥a　
其中正确的命题是 (　　)
A.①②③　　　　　　B.①④⑤ C.①④ D.①③④
解析：①④正确，②错在a、b可能相交或异面．③错在α与β可能相交．⑤⑥错在a可能在α内．[
例4 已知为直线，为平面，给出下列命题：
①⇒n∥α ②⇒m∥n
③⇒α∥β ④⇒m∥n
其中正确的命题序号是（ ）
A.③④ B.②③ C.①② D.①②③④
解析：对于①，有可能出现直线n在平面α内，所以推不出n∥α，所以①错；对于②，垂直于同一个平面的两直线是平行的，②正确；对于③，垂直于同一直线的两平面平行，③正确；对于④，由α∥β，n⊥β得n⊥α，又m⊂α，则n⊥m，所以④错．答案：B[来源:学_科_网]

题组一
线面垂直的判定与性质
1.(2010·烟台模拟)如图在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，
∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的
射影H必在 (　　)
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部

解析：由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1，AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，C1在面ABC上的射影H必在二平面交线AB上．答案：A
2.m、n是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是________．
①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n； ②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；
③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β； ④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.
解析：①显然正确；②错误，n还可能在β内；③错误，n可能与β相交但不垂直；④正确．答案：①④

题组二
平面与平面垂直的判定与性质
3.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，
且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
解析：由三垂线定理可知，BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，
而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)

4.(2009·苏北模拟)在四棱锥S－ABCD中，已知AB∥CD，
SA＝SB，SC＝SD，E、F分别为AB、CD的中点．
(1)求证：平面SEF⊥平面ABCD；
(2)若平面SAB∩平面SCD＝l，求证：AB∥l.
解：(1)证明：由SA＝SB，E为AB中点得SE⊥AB.
由SC＝SD，F为CD中点得SF⊥DC.
又AB∥DC，∴AB⊥SF.
又SF∩SE＝S，∴AB⊥平面SEF.
又∵AB⊂平面ABCD，
∴平面SEF⊥平面ABCD.
(2)∵AB∥CD，CD⊂面SCD，
∴AB∥平面SCD.
又∵平面SAB∩平面SCD＝l，
根据直线与平面平行的性质定理得AB∥l.

题组三
直线、平面垂直的综合问题
5.(2010·岳阳模拟)设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是 (　　)
A．c⊥α，若c⊥β，则α∥β
B．b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c
C．b⊂β，若b⊥α，则β⊥α
D．b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则b⊥a
解析：C选项的逆命题为b⊂β，若β⊥α则b⊥α.不正确，因为根据平面垂直的性质定理，如果两个平面垂直，其中一个平面内的直线只有垂直交线的才垂直另一个平面．答案：C
6.如图正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD
的垂线，垂足为点H，则下列命题中错误的是(　　)
A．点H是△A1BD的垂心
B．AH垂直于平面CB1D1
C．AH的延长线经过点C1
D．直线AH和BB1所成角为45°
解析：因为三棱锥A－A1BD是正三棱锥，故顶点A在底面的射影是底面的中心，A正确；平面A1BD∥平面CB1D1，而AH垂直于平面A1BD，所以AH垂直于平面CB1D1，B正确；根据对称性知C正确．答案：D
7.(文)(2009·天津高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，
PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为
PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2
(1)证明PA∥平面BDE；
(2)证明AC⊥平面PBD；
解：(1)证明：设AC∩BD＝H，
连结EH.在△ADC中，因为AD＝CD，且DB平分
∠ADC，所以H为AC的中点．
又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA.
又EH⊂平面BDE且PA⊄平面BDE，
所以PA∥平面BDE.
(2)证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC.
又PD∩DB＝D，故AC⊥平面PBD.

题组四
直线与平面所成的角、二面角
8.(2009·浙江高考)在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是 (　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：如图，取BC中点E，连结DE、AE、AD，
依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，
故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为1，
则AE＝，DE＝，
tan∠ADE＝＝＝，
∴∠ADE＝60°.答案：C
自主提升
1.若异面直线分别在平面内，且，则直线 (　　)
A.与直线都相交 B.至少与中的一条相交
C.至多与中的一条相交 D.与中的一条相交，另一条平行
解析：

2.已知三条直线和平面，则下列推论中正确的是(　　)
A.若 B.若
C.若 D.若
解析：

3.已知是两条不同直线，．下列命题中
正确的是(　　)
A.若 B.若
C.若 D.若
解析：举反例，如下图所示．

D是线面垂直的一个性质，故选D项．答案：D
4.设是空间的三条直线，下面给出四个命题：
①若
②若
③若
④若
其中真命题的个数是________个．
解析：

答案：0
5.是两条异面直线，A是不在上的点，则下列结论成立的是(   )
A.过A有且只有一个平面平行于 B.过A至少有一个平面平行于
C.过A有无数个平面平行于 D.过A且平行的平面可能不存在
解析:如当A与确定的平面与平行时，过A作与都平行的平面不存在. 答案：D
6.已知直线与直线垂直, 平行于平面, 则与的位置关系是(  )
A.           B.
C.         D.以上都有可能
解析: , 的关系可以平行、相交、异面, 平行,所以的位置可以平行、相交、或在内,这三种位置关系都有可能. 答案:D
7.下列命题正确的个数是(   )
(1)若直线上有无数个点不在内，则
(2)若直线与平面平行，与平面内的任意一直线平行
(3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行
(4)若一直线和平面内一直线平行，则
A.0个 B.1个     C.2个     D.3个
解析:由直线和平面平行的判定定理知，没有正确命题. 答案：A
8.已知是两条不重合的直线，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：其中真命题是（ ）
①若，则； ②若；
③若；
④若是异面直线，
A.①和②    B.①和③    C.③和④    D.①和④
解析：利用平面平行判定定理知①④正确.②α与β相交且均与γ垂直的情况也成立，③中α与β相交时，也能满足前提条件 答案：D

9.若为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是(　)
A.若 B.若
C.若
D.若
解析：平行于同一平面的两条直线的位置关系不确定，故A错；选项B忽略了b⊂α的情况，故B错；选项D中a与β的位置关系不确定，故D错；选项C显然正确．
10.已知为两条直线，为两个平面，下列四个命题
①； ②
③ ④
其中不正确的有 (　　)
A．1个　　　　　　　B．2个 C．3个 D．4个
解析：对于①、②结论中还可能b⊂α，所以①、②不正确．对于③、④结论中还可能a⊂β，所以③、④不正确．答案：D
11.已知是平面的一条斜线，点为过点的一条动直线，那么下列情形可能出现的是 (　　)
A. B.
C. D.
解析：设m在平面α内的射影为n，当l⊥n且与α无公共点时，l⊥m，l∥α.
12.如图，在正四面体中，的中点，下面四个结论不成立的是 (　　)
A.
B.
C.
D.
解析：因BC∥DF，所以BC∥平面PDF，A成立；
易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以结论B、C均成立；
点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立.
13.如右图所示，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则
异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D.
解析：连结D1C，AC，易证A1B∥D1C，
∴∠AD1C即为异面直线A1B与AD1所成的角．设AB=1，则
AA1=2，AD1=D1C=，
AC=，

14.(2010广东惠州调研)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝4，DC＝3，E是PC的中点．
证明：PA∥平面BDE.

证明：连接A，C交BD于O，连接EO
∵ABCD是正方形，∴O为AC中点，E为PC的中点，
∴OE∥PA，又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，
PA∥平面BDE.

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