第四章拉氏方程的格林函数法(8课时).doc

第四章 拉氏方程的格林函数法
（第十七讲）

l 前面几章，介绍了几种求解PDE定解问题的方法：分离变量法、行波法、积分变换法。
l 本章介绍令一种求解拉氏方程的格林函数法。

首先来看一下我们要研究的定解问题是怎么提出的。

§4 .1 拉氏方程边值问题的提法
在第一章中，我们知道，对于无源的稳恒热传导问题满足拉氏方程，它的边值问题一般有三种提法。研究最多的就是前面两种。
1） 第一边值问题
边界条件为:,
要求的解，既在区域上连续，在上有二阶连续导数，满足拉氏方程且在边界上与吻合。，为边界；称第一边值问题为狄利克莱(Dirichlet)问题，简称狄氏问题。通常称拉氏方程的连续解，也就是说，具有二阶连续偏导数并满足拉氏方程的连续函数为调和函数。
2） 第二边值问题
边界条件为:,
要求的解，既在区域上有一阶连续导数，在上有二阶连续导数，满足拉氏方程且在边界上满足上边界条件。称第二边值问题为牛曼（Neumann）问题，简称牛氏问题。

前面两种边值问题都是在内求解拉氏方程，故称此类方程为内问题。另外，有这样一类问题，如已知某区域边界上的温度，要求该区域之外的温度分布情况，这就归结为在区域外求解拉氏问题，称这样的问题为外问题。

注：对于外问题来说，求解通常都是在无界区域上，这时需不需要对解加些限制条件呢？看下面一例子。

易知都是上定解问题的解，这就出现了解的不唯一性，为了保证解的唯一性，通常我们要加一些限制条件，三维问题时

二维问题通常假定解有界。
3） 狄氏外问题 （略）
4） 牛氏外问题 （略）

§4.2 格林公式及其应用

一、 格林公式的推导
为建立拉氏方程解的积分公式，我们先推导格林函数，它由曲面积分的Guass公式直接导出。
设是以足够光滑的曲面为边界的有界区域，是在上连续的，且在内具有一阶连续偏导数的任意函数，则成立下面的Guass公式：

下面推导格林公式
设，令

代入Guass公式可得

此式称为第一格林公式。
若令上公式中u，v对换，可得

两式相减可得第二格林公式
。

第十八讲

二、 应用
利用格林公式推导调和函数的一些性质
1） 调和函数的积分表达式
设为内任意一点，我们要求调和函数在该点的值，为此构造一个函数

函数除点外处处满足拉氏方程，它在研究三维拉氏方程起重要作用，通常称为三维拉氏方程的基本解。因有奇异点，故以为中心，以一充分小的正数为半径作一球面，在中挖去包含的区域，则知函数在上任意次可微。在第二格林公式中，取u为调和函数且在闭区域上有一阶连续导数，则有

x
y
z
O

注意到：在球面上，

因此可得

为在球面上u的平均。
同理可得

所以有

当时，有（u连续），有界（u的一阶导数连续）

上式说明，调和函数u在内任意一点的值，可通过积分表达式用这个函数在边界上的值和边界上的法向导数来表示。

2） 牛曼内问题有解的必要条件
对于牛曼问题的解u，取v=1，运用格林公式可得

此为牛曼问题解存在的必要条件，也是充分条件（见黄克欧《数理方程》）。

3） 平均值公式
设函数在某区域是调和的，为其中任一点，以为中心，以a为半径完全落在中的球面，则下平均公式成立：

证明：将调和函数的积分公式应用到可得

4） 拉氏问题解的唯一性

结论：狄氏问题在（为了利用格林函数）内解唯一，实际上在内解是唯一的；牛曼问题除相差一常数外解也是唯一的。

设u1，u2为方程的解，令u＝u1－u2，满足问题为零边界的解，对狄氏问题和牛曼问题分别为

和

令，运用格林公式可得

对狄氏问题由边界条件知道C＝0，故u＝0；从而狄氏问题由唯一解；
对牛曼问题，由边界条件可知解除了相差一个常数外也是唯一的。

第十九讲
§4.3 格林函数

为什么引入格林函数？
由上一节可知，调和函数的积分公式为

对于狄氏问题或牛曼问题，利用上公式都不能直接得到想要问题的解，因为，比如狄氏问题，知道边界条件，但不知道的值，所以要想求得狄氏问题的解就要想法消去积分公式中的。故而我们需要引入格林函数。
在第二格林公式中，令且在内都是调和函数，则有

与调和函数的积分公式相加可得

显然，若能选择调和函数v，满足

则

令，则
，
其中被称为拉普拉氏方程的格林函数。
易见，若调和函数v一旦求出，则狄氏问题的解若存在，则其解可表示为
（*）。
当然对于泊松问题

若解存在，则可表示为
。
注：上公式推导可先求其积分公式，再得上结果。

从而，对任意的f，求解狄氏问题或泊松问题就转化为在此区域内的格林函数问题的求解。由前面的讨论知，需求解下面一特殊的狄氏问题

对于一般的区域，上问题的求解也不容易，但求解公式(*)仍有重要的意义：（1）格林函数仅依赖于区域，而与原问题的边界条件无关，因此，只要求得某个区域的格林函数，就能一劳永逸的解决这个区域上的一切边界条件的狄氏问题。（2）对于特殊区域的格林函数，如球，半空间等，格林函数可以用初等法求得。
格林函数的物理意义：

点放正电荷，边界接地，则内侧为负电荷，则内任意一点M处的电位由两部分产生，一个是处正电荷产生的电位，令一个为内侧负电荷产生的电位v，从而M的电位，其中v为方程

的解。格林函数正是导电曲面内的电位。
第二十讲
§4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解

由4.3知，狄氏问题的解为

需要求解格林函数，对于某些特殊区域可用电象法求得。
下面介绍一下什么是电象法。

所谓电象法，就是在区域外找出关于的象点，放上负电荷。它产生的电位与点正电荷产生的电位在上正好抵消。因在外，显然此点电荷产生的电位在内是调和的，且在边界上满足，故和在内形成的电场的电位即所求格林函数。

4.4.1 半空间的格林函数
求下定解问题

由调和函数的积分公式知

需先找格林函数G。
在半空间的点放一正电荷，并找出关于平面的对称点，放一负电荷,如下图
O
x
y
z
M0(x0,y0,z0)
M1(x0,y0,-z0)

M(x,y,z)

它与点负电荷所产生的电位在平面上相互抵消，由于在半空间上为调和函数，且在上有一阶连续导数，因此

下面计算，

从而
。

4.4.2 球域上的格林函数
设有一球心在原点，半径为R的球面，在球内任取一点，连接OM0并延长至M1，使得（如下图），点M1 称为M0 关于球面的反演点，以，则O
M0
M1

P
R

在M0 处放单位正电荷，M1 处放q负电荷，使得M0 ，M1 处电荷在上产生的电位相互抵消，即

P为球面上任一点。易知有公共角且，故有相似。故，即只要在点M1处放置的负电荷，由它所形成电场的电位不仅在球域内部是调和函数，在整个区域上有一阶连续导数，且在边界上满足
。
所以，球域的格林函数为

下面用球域内的格林函数求狄氏问题的解。

由知，需先求，

于是

在球面上有

故，球内狄氏问题的解为

或

称上两公式为球的泊松公式。（与§2.3比较）

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