六年级上册数学竞赛试题——计数综合提高上习题（含答案）.docx

计数综合提高上

一、 枚举法．
1、简单枚举．
2、分类枚举．
3、特殊的枚举：标数法、树形图．

二、 加法原理——分类
如果完成一件事有几类方式，在每一类方式中又有不同的方法，那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数．
加法原理的类与类之间会满足下列要求：
(1)只能选择其中的某一类，而不能几类同时选；
(2)类与类之间可以相互替代，只需要选择某一类就可以满足要求．

三、 乘法原理——分步
如果完成一件事分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数．
乘法原理的步与步之间满足下列要求：
(1)每步都只是整件事情的一个部分，必须全部完成才能满足结论；
(2)步骤之前有先后的顺序，先确定好一步，再做下一步，……，直到最后．

四、 排列：从m个不同的元素中取出n个（），并按照一定的顺序排成一列，其方法数叫做从m个不同元素中取出n个的排列数，记作，它的计算方法如下：

从m开始递减地连乘n个数

五、 组合：从m个不同元素中取出n个（）作为一组（不计顺序），可选择的方法数叫做从m个不同元素中取出n个不同的组合数，记作，它的计算方法如下：

注意：几个常用公式：；；；．

六、 一些好用的计数技巧和方法：
1. 捆绑法：对于要求必须站在一起的人，可以采用事先捆绑的方法来处理．
2. 插空法：对于不能相邻的情况，先把其他人先排好，再把不能相邻的人插入其他人之间的空隙中．
3. 有重复数字的数字排列问题，可以用“数字挑位置”的方法解决．
4. 数字0不能作为多位数的首位，在计数时需要特别注意．
5. 对挑出的对象有特殊要求的计数问题，一般来说要优先考虑有特殊要求的对象或位置，尽可能地让余下的对象或位置的确定变得简单．
6. 当满足要求的情况很多时，可以尝试用排除法计算不满足要求的情况，再从所有可能的情况中排除不满足要求的，也能得到问题的答案．

例1． 某人射击8枪，命中4枪，命中的4枪中恰好有3枪连在一起的情况有多少种？
「分析」首先仔细思考一下命中的4枪之间是否有顺序区别？然后确定其中3枪连在一起的位置选择有多少种情况？

练习1、在由1和2组成的六位数中（例如112111、111111等），恰好有3个1连在一起的六位数有多少个？

例2． 一种电子表在6时24分30秒的显示为6:24:30，那么从6时到7时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个？
「分析」分钟的十位和秒钟的十位可能性比较少，所以，应优先确定．

练习2、现在我们规定一种记日期的方式，把“2012年05月12日”写作“120512”，即只需写出后面六位数，那么在2013年有多少天按这种计数方式写出的六位数六个数字互不相同？

例3． 纳达尔和费德勒进行网球比赛，谁先得6分就赢得此局，最后费德勒在第一局6:4获胜，已知在过程中费德勒从未落后过，那么比赛过程一共有多少种不同的可能？
「分析」大家还记得最短路线问题中曾经学习过的标数法吗？

练习3、皇马和巴萨两队进行足球比赛，最后皇马5:3获胜，已知在过程中皇马从未落后过，那么进球过程一共有多少种不同的可能？

例4． 小王左口袋里有10张黑卡片，分别写着1到10，右口袋里有10张红卡片，也分别写着1到10．他从两个口袋里各取出一张卡片，然后计算两张卡片上数的乘积，如果乘积恰好是6的倍数，那么共有多少种不同的取法？
「分析」两个数的乘积是6的倍数这两个数需要符合什么要求？

练习4、小高有12个黑球，分别写着1到12，还有10个红球，分别写着1到10．他从两个种球里各取出一个，然后计算两球上数的乘积，如果乘积恰好是10的倍数，那么共有多少种不同的取法？
（注：此题中6不能倒过来当9用，9也不能倒过来当6用）

例5． NBA总决赛在洛杉矶湖人和波士顿凯尔特人队之间进行，比赛采用7局4胜制，比赛分为主场和客场，第1，第2，第6，第7场均在洛杉矶进行，第3~5场在波士顿进行．最终湖人队在自己的主场获得总冠军，那么比赛中的胜负结果有多少种可能？
「分析」由7局4胜制及主场获胜两个要求你可得出什么？通过分析寻找一下解决这道题目的突破口．

例6． 各位数字均不大于5，且能被99整除的六位数共有多少个？
「分析」99的整除特性是什么，在这道题目中任何应用？

年龄“外号”知多少
总角：指童年．
语出《诗经》，如《诗•卫风•氓》“总角之宴”．
垂髫：指童年．
古时童子未冠，头发下垂，因而以”垂髫”代指童年．
束发：指青少年．

一般指15岁左右，这时应该学会各种技艺．
及笄：指女子15岁．
语出《礼记•内则》“女子……十有五年而笄”．
“笄”，谓结发而用笄贯之，表示已到出嫁的年岁．
待年：指女子成年待嫁，又称“待字”．
弱冠：指男子20岁．
语出《礼记•曲礼上》“二十曰弱，冠”．古代男子20岁行冠礼，表示已经成年．
而立：指30岁．
语出《论语•为政》“三十而立”．以后称三十岁为“而立”之年．
不惑：指40岁．
语出《论语•为政》“四十而不惑”．以后用“不惑”作40岁的代称．
艾： 指50岁．
语出《礼记•曲礼上》“五十曰艾”．老年头发苍白如艾．
花甲：指60岁．

作业
1. 8个同学排成一排照相，其中4个人要站在一起，共有多少种站法？

2. 甲、乙队之间进行篮球比赛，比赛采用7局4胜制，等比到第6场就分出了胜负，甲赢得了比赛，那么有多少种可能？

3. 甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，4个人看也不看就随便各拿了1本，那么至少有一人拿错有多少种可能？

4. 小明左口袋里有8张红卡片，上面写着1到8，右口袋里有8张黑卡片，上面也写着1到8，如果从两个口袋里各取出一张卡片，然后计算得到卡片上两数的乘积，那么能被6整除的乘积共有多少个？（6不能倒过来当9用）

5. 各位数字均不大于4，且能被99整除的六位数共有多少个？

计数综合提高上答案

例7． 答案：20
详解：分情况讨论，如果第1到3枪命中，第4枪有4种方法；第2到4枪命中，最后一枪有3种可能；3到5命中，有3种；4到6命中，有3种；5到7命中，3种；6到8命中，4种．共20种情况．

例8． 答案：1260
详解：从右边数第二位和第四位上的数字可取0到5，第一位和第三位上的数字可取0到5或7到9．乘法原理可知答案为1260．

A
B

例9． 答案：42
详解：画一个
的表格，则答案就是在虚线以下部分，从A到B的方法数，注意最右面一列不标数，因为有人达到6分比赛即结束，标数，得到答案为42．

例10． 答案：35
详解：分五类讨论，（1）黑卡和红卡都是6的倍数，此时有1种取法；（2）黑卡是6的倍数而红卡不是6的倍数，此时有9种取法；（3）红卡是6的倍数而黑卡不是6的倍数，此时有9种取法；（4）黑卡上的数字是3或9，红卡上的数字是2、4、8或10，此时有8种取法；（5）红卡上的数字是3或9，黑卡上的数字是2、4、8或10，此时有8种取法．所以共有35种取法．

例11． 答案：30
详解：湖人在主场获得胜利，则最少打了6场，即可分两种情况讨论：（1）打了6场，则湖人在前5场中输了2场，5选2，有10种可能；（2）打了7场，则湖人在前6场中输了3场，6选3，有20种可能．所以共有30种可能．

例12． 答案：575
解法：设六位数为
，由其可被99整除且各位数字不大于5，可知
，则
且
，
，所以a、c、e有23种可能（只有a不能是0），b、d、f有25种可能，所以共有
个符合要求的六位数．

练习1、答案：12
简答：前3位是1，有4种；2到4位是1，有2种；3到5位是1，有2种；4到6位是1，有4种．所以共12种．

练习2、答案：30
简答：千位（表示月份的十位）只能是0，十位只能是3，其它两个数字共30种情况．
A
B

练习3、答案：28
简答：题目可转化为如右图由A到B点共有多少种最短的走法，且必须沿着虚线右下方的边走．由标数法可知共有28种可能．

练习4、答案：30
简答：黑球数为10时，任意红球均可，红球为10时，任意黑球均可，除去红10黑10重复的情况，共有21种取法，另一类情况是一个球提供质因数2，另一个球提供质因数5，共有4+5=9种取法，所以，本题共有21+9=30种不同取法．

作业
1． 答案：2880
简答：把要站在一起的4个人捆绑在一起，由乘法原理可知共有
种站法．

2． 答案：10
简答：甲在第6场取得胜利，则甲赢了第6场且在前5场中赢了3场，即五选三的问题，共有10种可能．

3． 答案：23
简答：共有4!种情况，减去全拿对的1种情况，则符合要求的情况有23种．

4． 答案：21
简答：按照例4、练4的方法详解即可．

5． 答案：100
简答：设六位数为
，由其可被99整除且各位数字不大于4，可知
，则
且
，
，所以a、c、e有10种可能，b、d、f也有10种可能，所以共有
个符合要求的六位数．