同方专转本冲刺班数学习题训练五至八讲.doc

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第五讲：微分中值定理与导数的应用的强化练习题答案
一、单项选择题（每小题4分，共24分）
1、已知，则有 （B）
A　一个实根 　　B　两个实根
C 　三个实根 　　D　无实根
解：（1）

在满足罗尔定理条件
故有（）

综上所述，少有两个实根，至多有两个根，故选Ｂ
2．下列函数在所给区间满足罗尔定理条件的是 　（D）
A　
B　
C　
D　
解：

，
满足罗尔定理条件．故选 D
3．设曲线，则其拐点坐标为（C）
A　0 　　　　　　　B（0，1）　
C（0，0）　　　　　D　1
解：．令．得．
．当时，．
故（0，0）为曲线的拐点 　C
4．若内
必有（C）　　　　　　　　　　
A　
B　
C　
D　
解：
凹弧

如示意图，故有

5．设
在取得极值。则为．．．（Ｂ）
A　 B　
C　 D　
解：⑴
①
⑵②
①—② 得①
得
答案选Ｂ
6．下列命题中正确的是----------（B）
A 为极值点，则必有
B 若在点 处可导，且 为 的极值点，则必有
C 若在（）有极大值也有极小值则极大值必大于极小值。
D 若则点必有的极值点。
解：可导函数的极值点一定是驻点，故有=0 选B
二、填空题（每小题4分，共24分）
7．设可导，且的极小值。则
解：原式=

8．的单调增加区间为
解：（1）定义域（2）
当02）
（3）最大值为
11．曲线的水平渐进线为＿＿
解：
∴直线是曲线的一条水平渐进线
12．函数在[1，2]满足拉格朗日中值定理条件的
解：（1）—=

（2）

三、计算题（每小题8分，共64分）
13.已知在区间满足拉格朗日中值定理条件，求
解：

，

14．求函数的单调区间
与极值。
解：（１）

驻点，的不可导点
（2）
x

-1

0

+

-

+

极大

极小

（3）极大值 ，极小值， 在单调减
在单调增
15 求由方程所确定
的极值。
解：（1）求驻点：
令→驻点
（2）判别极值点
当时 代入上式
2+0+0+0+
=为极大值点，
（3）极大值
16．求在区间[，4]
上的最大值，最小值。
解：（ 1）
令， 为不可导点
（2）∵

（3）比较上述函数的大小
最小值为 ，最大值为 0
17．求曲线的凹凸区间与拐点。
解：（1）定义域（--∞，+∞）
（2）

令
得； 不存在的点为
（3）列表

（-∞，0
0
（0，-1）
1
（1，+∞）

+

—

+

凹
拐点
凸
拐点
凹
答：拐点（0，）及（1，）；，
为凹区间，（0，1为凸区间。
18．求曲线的水平渐近线与垂直渐近线。
解：（1）是曲线的一条水平渐近线。
（2）

是曲线的另一条水平渐近线
（3）∵
为曲线的一条垂直渐近线
19．判别函数在的单调性。
解：（1）
（２）令
且

（3）
在单调减。
20．设确定单调的区间。
解：（1）

故有为驻点
（2）当时，
时，

（3）除外，．在单调增加。
四、综合题（每小题10分，共２０分）
21 已知函数的图形上有一拐点（2，4），在拐点处曲线的切线斜率为，而且该函数满足，求此函数
解（1）已知；
（2）求常数
，
（3）求：
，
由

（4求函数y:
答：所求函数y=
22 利用导数描绘的图形
解：（1）定义域，非奇非偶函数
（2）求驻点和的点
，令，驻点
，令，得
（3）列表
x

1
(1,2)
2

+

_

_

_

_

+
y

极大

拐点

极大值，拐点
（4）渐近线与函数变化趋势
是曲线的一条水平渐进线，
（5）描点作图
当时

五、证明题（每小题9分，共18分）
23 设
存在且单调增加，证明当时单调增加
证明：1）令

当时，单调增加

故有单调增加
24 设证明，
证明：1）构造辅助函数：

2）且

由罗尔定理知

＊ 选做题
证明方程：恰有一实根，其中常数，且
证明：（1）令

且

(4)综上所述：有且仅有一个实根
第六讲:利用导数证明不等式及导数应用题的强化练习题答案
1．当时,证明成立.
证：(1)变形:,这是对数函数的增量形式
令
(2)在应用拉格朗日中值定理:

(3)
故有
证毕！
2．证明:成立
证：(1)构造辅助函数,
令
(2)在应用拉格朗日定理:

(3) 对于 的情形,同理可证.
证毕
3．证明:当时,有成立.
证：(1) 构造辅助函数：

∴令
(2) 在应用拉格朗日中值定理,
(3) 是单调增函数
，故有,
证毕
4．当时,证明成立.
证：(1)令
(2)
在单调减少
(3) 在单调减少,且

故当时,
证毕
5．当时,证明成立.
证：(1)变形,
令
(2)
令

且
从而
在单调减少
(3)∵且=0

即有成立
6．当时,证明成立.
证：(1)变形，令

(2)
(一阶导数符号不易判定,借助)
=
且

单调增加
(3)在单调增,且
,
故有
证毕
7．当时,证明:成立.
解：(1)令
(2)

令,驻点
(3) ，为极小值点.
由单峰原理,是最小值点
最小值
故有,即

证毕
8．设,证明
成立.
证：(1)令

(2)
驻点
(3)

(4)比较上述函数值的大小:

故有,即

证毕
9．证明:当时,有.
证：(1)令
(2)
,
在单调增加
(3)

由,得
从而有 证毕
二、证明方程根的个数
10．证明:当时,方程仅有一个实根.
证：(1)令

单调增,故最多有一个实根
(2)
是一元五次方程
至少有一个实根
(3)综上所述:有且只有一个实根. 证毕
11．证明方程只有一个正根.
证(1)

单调增
故最多有一实根
(2)在连续且

∴由零点定理知:
至少有一个正根.
（3）综上所述:有且仅有一个正根
12．证明方程:

有且仅有两个实根.
解：(1)令

在连续且

∴由零点定理知:
在至少有一个实根
同理:=0在至少有一实根
总之, =0在至少有两个实根
(2) =0是一元二次方程,最多有两个
实根．
(３)综上所述：=0有且仅有两个实根
13．设常数
证明方程,在内有且仅有两个正根.
证：(1)令 (x>0)
(2) ;令
驻点
<0,
为极大值点.
由单峰原理:是最大值点
最大值
且,

故与轴有且仅有两个交点
(如示意图)

即在有
且只有两个实根.
三、 应用题（每小题10分，共50分）
14．已知曲线.
（1）求曲线在横坐标为的点处的切线方程.
（2）求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度.
解：(1)求切线方程:切点

切线方程:
即
(2)令
令
(3)

令
(4)
最小值

15．在半径为R的半径内作一个圆柱体,求最大体积时的底半径与高.
解：(1)画出示意图

(2)依题意,设所求圆柱体体积为V

(3)求驻点
,令,
,驻点
（4）求最值点:
,
为最大值点
答:当,时,所得圆柱体体积最大
16．某客轮每小时消耗燃料的费用速度的立方正比,若该客轮从甲城到已城沿江逆流而上,设水流速度为每小时公里,求客轮最经济的速度?
解：(1)列出函数关系式:设从甲城沿江到乙城的路程为.消耗总费用为.依题意:
,其中是甲城到乙城所需要的时间

(2)求驻点:

令,驻点
(3)求最值:由实际问题的意义知道:
最小值存在,且驻点唯一,当时,
客轮消耗燃料总费用最省.
17．欲做一个容积是3000的无盖圆柱形的蓄水池,已知池底单位面积造价为池壁单位面积的3倍,问蓄水池的尺寸怎样设计,才能使总造价最低?
解：(1)列出函数关系式:设池底半径为,池高为,池壁单位面积造价为元,总造价为,依题意:

(2) 求驻点
令,驻点
(3) 求最值:
,
当时,总造价最省.
(4) 当时,
答:当时,总造价最低.
18．从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形,把留下的中心角为取多大时,做成的漏斗的容积最大?

解：(1)列出函数关系式:设漏斗体积为V
依题意:,
,
(2) 求驻点

令=0.
,驻点
又
(3) 求最值
由实际问题意义知道:漏斗最大容积存在,且驻点唯一,当时,漏斗的容积最大.
第七讲:不定积分的概念与换元积分法的强化练习题答案
一、单项选择题(每小题4分,共24分)
1．设是在上的一个原函数,且为奇函数,则是 ( )
A ．偶函数 B． 奇函数
C． 非奇非偶函数 D．不能确定
解:可导奇函数的导函数必为偶函数.
必为偶函数.选A
2．已知的一个原函数为,的一个原函数为,则的一个原函数为 ( )
A ． B．
C． D ．
解:(1),
(2)
选B
3．设为连续导函数,则下列命题正确的是 ( )
A．
B ．
C．
D．
解:

选A
4．设且
,则=( )
A ． B．
C． D ．
解：(1)

(2)
且得
,选A
5．设是的一个原函数,则
( )
A． B．
C． D．
解：(1)
原式=

(2)

(3) 原式= 选D
6．设,则=( )
A． B．
C． D．
解：(1)

(2)

(3)原式= 选C
二、填空题
7．若是的一个原函数,则
=
解：(1)

(2)
8．设的一个原函数为
,则
解：

故
9．若,则
=
解： 原式=

10．
解：原式=

或
11．若,则

解：原式=
12．若,则

解：

三、计算题
13．
解:原式=

14．
解:原式=

=
15．
解:原式=

16．
解:原式=

17．
解:原式=

18．
解:令
原式=
=

19．

解:令
原式=
=

20．

解:令
原式=

四、综合题（每小题10分，共20分）
21．
解:(倒代换)令
原式=

(注:(三角代换)令
,
原式=
)
22．
解:令

原式=
=

五、 证明题（每小题9分，共18分）
23．设是 的一个原函数,且,,
证明:
证:

,由,得

24．设是的一个原函数，是的一个原函数且
证明:
或
证:(1)

(2)讨论,若,即

由,得
故有
若,即
,
由,得
故有 证毕
选做题
1．
解:原式=

选做题2．
解:原式=

选做题3．
解原式=

第八讲:不定积分的分部积分法等的强化练习题答案
一、单项选择题（每小题4分，共24分）
1．设是的一个原函数,则
( )
A． B．
C． D．
解：
原式=

选A
2．若的一个原函数为,则
( )
A． B．
C． D．
解：

选C
3．设,则
=( )
A． B．
C． D．
解：(1)

(2)

选B
4．= ( )
A．
B．
C．
D．
解： 原式=

选C
5． ( )
A．
B．
C．
D．
解： 原式=

=
=
选B
6． ( )
A．
B．
C．
D．
解： 原式

选C
二、填空题（每小题4分，共24分）
7．=
解： 原式

8．
解： 原式

9．=
解： 原式

10． 若,则
=
解：(1)

(2)
11．
解： 原式=∫
∫

12．
解： 原式=

三、计算题（每小题8分，共64分）
13．
.解：原式=
=
=
=
14．
解：原式=
=
=
15．
解：原式=
=
=
=
16．
.解：原式=

17．
解： 原式

=
18．
解： 原式
=3∫

19．
解： 原式

20．
解：(1)
，
令,5A=3,,
令,得
(2) 原式=
=

四、证明题（本题8分）
21．已知有二阶连续导数,证明

证

五、综合题
22．
解： 原式

-∫+∫
移项:

23．已知的一个原函数为,
求
解：

原式

24．
解：
原式

(注:原式=

)
选做题1．计算
解： 原式=

选作题2．
解： 原式=∫
=

23