闽粤大联考2016届高三毕业班第四次调研考试数学(理)试题.doc

2015-2016闽粤部分名校联考第四次模拟考试
高三数学（理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知a为实数,若复数z=a2-3a-4+(a-4)i为纯虚数,则复数a-ai在复平面内对应的点位于（　）
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
(2) 设，且为正实数，则
(A) (B) (C) (D)
（3）下列命题中是假命题的是
（A）
（B）
（C）上递减
（D）都不是偶函数
（4）已知向量互相垂直，其中，则 等于
(A) (B) (C) (D)
（5）设的展开式的各项系数和，二项式系数和为，若，则展开式中的系数为
(A) (B)150 (C)300 (D)
（6）如图是某几何体的三视图，其中正视图是斜边长为的直角三角形,侧视图是半径为的半圆，则该几何体的体积是
(A) (B) (C) (D)
（7）已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为
(A) (B)
(C) (D)
(8) 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加 工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为
（A） (B) (C) (D)
(9)圆关于直线成轴对称图形，则a-b的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
（10）抛物线与直线x=0、x=1及该抛物线在 (0考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
(13)函数f（x）=，则不等式f（x）＞2的解集为 ．
（14）如果函数在区间上有且仅有一条平行于轴的对称轴，则的取值范围是 ．
（15）给出以下四个命题：
①正态曲线当一定时曲线形状由确定，越小曲线越“瘦高”表示总体分布越集中；
②过点且在轴和轴上的截距相等的直线方程是；
③函数在定义域内有且只有一个零点；
④回归方程拟合效果可用 刻画，越接近表示回归效果越差；
其中正确命题的序号为 ．(把你认为正确的命题序号都填上)
(16)已知锐角的三内角成等差数列，对应边长分别为，满足，且，则边上的高 ．
三，解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤
（17）（本小题满分12分）
在数列中,,且对任意的都有.
（Ⅰ）求证:是等比数列；
（Ⅱ）若对任意的都有,求实数的取值范围.

A
B
C
D
P
A1
B1
C1
D1
C1
(18)（本小题满分12分）
如图，在长方体中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱，P是侧棱上的一点，．
（Ⅰ）试问直线与AP能否垂直？并说明理由；

（Ⅱ）若直线AP与平面BDD1B1所成角为60º，试确定值；
（Ⅲ）若=1，求平面PA1D1与平面PAB所成锐二面角的大小．

(19)(本小题12分)
5
5
3
2
3
2
A
如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为（假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）．
（Ⅰ）求某个家庭得分为的概率？
（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？
（Ⅲ）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下，记获奖的家庭数为，求的分布列及数学期望．

（20）（本小题满分12分）
已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线的离心率
(Ⅰ)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
（Ⅱ）如图，已知过点的直线与过点
的直线的交点在双曲线C上，直线MN与双曲线
的两条渐近线分别交于G、H两点，求的面积。
y

G

N
O x
H
M
E

（21）．(本小题满分12分)
已知函数．
(Ⅰ)若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；
(Ⅱ)若函数在上为单调增函数，求的取值范围；
(Ⅲ)设为正实数，且，求证：．

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD内接于⊙O，弧AB＝弧AD，过A点的切线交CB的延长线于E点．
求证：AB2＝BE·CD.

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－)＝1，M、N分别为C与x轴、y轴的交点．
（Ⅰ）写出C的直角坐标方程，并求出M、N的极坐标；
（Ⅱ）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．

（24）（本小题满分10分）选修4-5，不等式选讲
设函数
（Ⅰ）当时，求函数的最小值，并指出取得最小值时的值；
（Ⅱ）若，讨论关于的方程=的解的个数。

理科数学 答案
一、选择题
（1）B (2)B （3）D （4） D（5）B （6）A
（7）A (8)B (9) A （10）A（11）B （12）A
12解：
根据题意，得 得
令即，解得，
时，
由得 选A
二、填空题：
(13) （1，2）∪（，+∞） （14）0 （15） ①③ (16)
三，解答题：
（17解: (1)由,得.
又由,得.
因此,是以为首项,以为公比的等比数列.……5分
(2)由(1)可得,即,,
于是所求的问题:“对任意的都有成立”可以等价于问题:“对任意的都有成立”.
若记,则显然是单调递减的,
故.
所以,实数的取值范围为.………………………12分
(18)．解：（Ⅰ）以D为原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.则D(0,0,0)， A(1,0,0)， B(1,1,0)， C(0,1,0), D1 (0,0,2)，A1 (1,0,2)，B1 (1,1,2)，C1 (0,1,2)， P(01,m)，所以，
A
B
C
D
P
A1
B1
C1
D1
C1
x
y
z
.………4分
（Ⅱ）∵
又∵，
∴的一个法向量.
设直线与平面所成的角为，
则=，
解得………8分
（Ⅲ）∵m=1，∴P(0,1,1)，∴.
设平面PA1D1的法向量为，可求得，
设平面PAB的法向量为，可求得.
∴
故平面PA1D1与平面PAB所成锐二面角为600.…12分

(19)解：（Ⅰ）记事件A：某个家庭得分情况为． ．
所以某个家庭得分情况为的概率为．…………………… 3分
（Ⅱ）记事件B：某个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分包括 共3类情况．所以．
所以某个家庭获奖的概率为． …………………………… 6分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是，所以．
，
，
，
，
，
. …………………… 10分
所以分布列为：

0
1
2
3
4
5

所以．…………………………………… 12分
（20）解：（1）设C：，由题意，
因此，则曲线C的标准方程为，
渐近线方程为 ——5分
（2）由题意点在直线，因此有
故点M,N均在直线上，
因此直线MN的方程为，
设G,H分别是直线MN与渐近线，
由方程组解得，
设MN与轴的交点为,则在直线中令，得（易得），注意到，
得

（21）解: （Ⅰ）
由题意知，代入得，经检验，符合题意。
从而切线斜率，切点为，
切线方程为
（Ⅱ）
因为上为单调增函数，所以上恒成立.

所以的取值范围是
（Ⅲ）要证，只需证，
即证只需证
由（Ⅱ）知上是单调增函数，又，
所以，即成立
所以 。
（22）证明：　连结AC.
因为EA切⊙O于A，所以∠EAB＝∠ACB.
因为弧AB＝弧AD，所以∠ACD＝∠ACB，AB＝AD.
于是∠EAB＝∠ACD.
又四边形ABCD内接于⊙O，所以∠ABE＝∠D.
所以△ABE∽△CDA.
于是＝，即AB·DA＝BE·CD，所以AB2＝BE·CD.
（23）解：(1)将极坐标方程ρcos＝1化为：
ρcosθ＋ρsinθ＝1.
则其直角坐标方程为：x＋y＝1，M(2,0)，N(0，)，其极坐标为M(2,0)，N.
(2)由(1)知MN的中点P.
直线OP的直角坐标方程为y＝x，化为极方程为：ρsinθ＝·ρcosθ.
化简得tanθ＝，即极坐标方程为θ＝.
（24） 解：
（Ⅰ）∵
∴，当且仅当时取最小值。
（2），设
则，可知，
当，或或时，原方程有2个解；
当时，原方程有1个解；
当时，原方程有0个解.
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