课题空间的异面直线.doc

课题：空间的异面直线
一、案例过程
教学目标:
知识目标：
1．异面直线的定义及其判定定理
2．两异面直线所成角的定义及两异面直线互相垂直的概念．
3．两异面直线所成角的求法．
能力目标：
利用转化的思想，化归的方法掌握两异面直线所成角的定义及取值范围，并体现了定义的合理性．
德育目标：
进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质．
教学重点、难点、疑点
1． 教学重点：异面直线的概念,两异面直线所成角的定义及求法.
2．教学难点：两异面直线所成角求法．
3．教学疑点：因为两条异面直线既不相交，但又有所成的角，这对于初学立体几何的学生来说是难以理解的．讲解时，应首先使学生明了学习异面直线所成角的概念的必要性．
教具:多媒体,正方体模型,三角板.
教学过程:
[情境创设]
课前小活动 :每个同学手上有两支笔,请你任意摆放这两支笔的位置,可以出现哪些情形?(请一学生现场演示,得出三种位置关系:相交,平行,既不相交也不平行.)
教师把三种情景用图形语言画在黑板上.如下图：

师：第三种情景中,两条直线既不相交也不平行,由前面的公理3及三个推论可知这两条直线不共面,我们把具有这种性质的直线叫做异面直线.
此时,点出课题,板书: 异面直线
（一）异面直线
定义:不同在任何一个平面上的两条直线异面.
定义辨析:已知α与β为两个平面,l1,l2为两条直线,其中l1, l2 则有l1与l2异面.
师:你能论证或举反例吗?(反例如墙角.)
师:回顾上课伊始同学们给出的两支笔的空间位置,其中图三是异面直线的一种画法,异面直线还有以下两种画法.
l
B
A
α
（图４） （图５）
师:从直观上可以看出后两种情况直线的位置是异面,你能结合刚学过的定义简要说明图４中的两直线异面吗?
学生简要回答:用反正法.若AB与l共面,可推的点A在α内,这与已知点A在α外矛盾.
师:由此我们得到如下判定异面直线的方法.
异面直线判定定理:连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.
师:至此我们可以根据定义和判定定理来判断两条直线是异面直线.
练习:如图在正方体ABCD—A1B1C1D1 中,你能找出哪些直线是异面直线?
(可以适当的引导学生固定一条直线如AA1)
（二）异面直线所成的角及求法
1、导引阶段:以刚才的练习为模型,在学生找出异面直线后,以AA1与B1C1;AA1与BC1异面为例.
师:从位置关系说,这两条直线同为异面直线,但它们的相对位置是否就没有区别?
生:有区别.
师:既然有区别,说明仅用”异面”来描述异面直线间的相对位置显然是不够的.在生产实际与数学问题中,有时还需要进一步考虑它们的相对位置.这就给数学提出了一个新任务:怎样刻划异面直线间的这种相对位置,或者说,引进一个什么数学量来刻化这种相对位置?
2、 情境设计阶段：
师:我们知道平面几何中用数学量“距离”来刻划两平行直线间的相对位置，用数学量“角”来刻划两相交直线间的相对位置，那么用什么来刻划两异面直线的相对位置呢？
生:角和距离?揭示第二块内容.
板书:异面直线所成角.
师:我们还知道两异面直线不相交，它们又确实存在角度关系，这就需要我们找到一个角以它的大小来度量异面直线所成的角的大小．为了解决这个问题，我们看一道题：
一张纸上画有两条能相交的直线ａ、ｂ（但交点在纸外）．现给你一副三角板和量角器，限定不许拼接纸片，不许延长纸上的线段，问如何能量出ａ、ｂ所成的角的大小？
3、启迪发现阶段：
引导学生分析本课开始部分几对异面直线所成的角，分别可用哪两条相交直线的角（锐角或直角）来度量．（至此，教师让学生自己来概括得出新概念?异面直线所成角的定义，其间，对学生表述上的任何微小缺陷与不当之处，老师应诱导启发．在正式给出定义时要求语言简练、准确，符合逻辑性和科学性．）
师:由刚才的作图及类比的方法,我们可以得出异面直线所成角的定义.
异面直线所成角:已知两条异面直线a,b经过空间任一点O,作直线a’∥ab’b,我们把a’与b’所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(夹角).
4、解剖概念阶段：
师：角（或平行线）一定可以作出来吗？角的大小与作法有什么关系？这里提出了定义的合理性（即存在性和确定性问题）．
得出三个结论:
⑴两异面直线所成角的范围:( 0，
⑵角的大小由异面直线本身决定，与点O的选取无关，(点O可任选．一般总是将点O选在特殊位置．)
⑶当异面直线所成角是直角时,那么我们就说这两条直线互相垂直.
5、巩固深化阶段
例1:在正方体ABCD—A1B1C1D1中,
求(1)异面直线AA1与DC, AC与B1D1, AC与A1D所成的角; (2)异面直线BD1与AC所成的角.
解：（1）AA1与DC成90°；AC与B1D1成90°；
AC与AD成60 °。
（2）分别取BD，DD1的中点O，P，连结OP，则OP∥BD1，所以异面直线BD1与AC所成的角即为∠POA（或其补角），在△PAC中，易得PA=PC且O为AC中点，所以OP⊥AC，所以∠POA=90°。
此题学生还提到补形的方法。

例2:如图：空间四边形ABCD的对角线AC=10，BD=6，M，N分别为AB，CD的中点，MN=7，
问：⑴空间四边形中有几对异面直线，AC与BD是异面直线吗？
⑵求异面直线AC与BD所成的角。
解：如图所示，取AD的中点为P，连结MP，NP，因为M，N分别为AB，CD中点，所以PM∥BD，PN∥AC，所以异面直线AC与BD所成的角α为∠MPN（或它的补角）
因为AC=10，BD=6，MN=7
所以PN=AC=5， PM=BD=3，
所以在△PMN中，由余弦定理知，
COS∠MPN=
则cosα= ，α∈（0，）,所以α=60°。
故AC与BD所成角为60°。
小结：求异面直线所成角的步骤：（请学生归纳）
⑴构造：根据异面直线定义，用平移法作出异面直线所成角
⑵认定：证明作出的角就是要求的角。
⑶计算：求角值，常利用三角形（余弦定理，化为平面图形）
⑷结论。
（三）课堂小结：
内容：
1、异面直线的概念及判定定理。
2、异面直线所成角的概念及求法。
思想方法：
1、反证法；
2、化归转化的数学思想。
（四）拓展研究
1正方体的十二条棱中，共有________对异面直线？
2、正方体八个顶点所确定的直线中共有__________对异面直线？

三、案例反思
对本课教学设计的思考及教后反思
1、教材与学生分析：空间的异面直线是《全日制普通高级中学（试验修订本。必修）数学第二册（下B）9。2节的第二块内容，第一内容是空间的平行直线。此时学生刚接触三维空间，在此之前才上了三节课，对空间的概念在头脑中还没有完全建构，在知识层次上还停留在平面几何中，这给教学造成了较大的难度。因此在教学中遵循由具体例子到抽象概念的顺序，结合正反两方面的例子让学生理解异面的概念。
2、设计思想：由于本课涉及两个概念：异面直线的定义和异面直线所成角的概念，属于典型的概念课教学。鉴于学生刚接触立体几何，空间想象能力不强，空间图形的意识淡薄，同时两个概念比较抽象，因此在教学上处理如下：在引入异面直线时设计了一个模型摆放的小活动，直观形象，自然的引出了不同于平面上相交与平行的两直线得到第三种情形—异面。在异面直线所成角的概念教学上展示概念背景，探索概念的由来。首先通过导引阶段，揭示了异面直线所成的角出现的背景，将数学家的思维活动暴露给学生，使学生沉浸于对新知识的期盼、探求的情境之中，积极的思维活动得以触发．接着在情境设计阶段通过旧知识的迁移探测问题，为新知识的形成开辟通道，进而使新旧知识得到完美的衔接．提高了学生的数学素养，优化了认知结构是非常有益的．在启迪发现阶段让学生自己参与形成和表述概念的过程，培养了抽象概括能力．因此，概念教学亦蕴含了丰富的培养能力、训练思维的素材，教学过程中应充分重视．最后引导学生“解剖”定义，使学生看到抽象的数学术语和符号与现实存在的具体事物和现象之间的联系，了解整个定义的结构，培养了学生思维的缜密性．至此使得在概念教学中不仅使学生记住概念，会用概念去解题，还让学生了解概念产生的背景和概念建立的合理性，在概念教学中达到了培养学生数学品质的目的。
3、教后反思：在设计上由两支笔的摆放位置引入空间异面直线的概念，在以立方体为载体找异面直线从而引出所成的角，过渡自然，比较符合学生的身心特点和认知规律，使学生易于接受。但由此也使用时较长，而使整堂课的容量不大，实际教学中只完成例1的讲解与练习。但在例1求角时学生思维较发散涉及了多种方法，活跃了课堂收到了较好的效果。例2的目的在于利用余弦定理求角值和提醒学生角的范围。例2的处理只能留做作业或下节课处理。

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