西藏林芝二高2025年高二数学第二学期期末复习检测试题含解析.doc

西藏林芝二高2025年高二数学第二学期期末复习检测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列表格可以作为ξ的分布列的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品过程中的记录的产量与相应的生产能耗的几组对应数据如图：根据下表数据可得回归方程，那么表中的值为（ ）

A． B． C． D．
3．若复数满足（为虚数单位），则=（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．将正整数1，2，3，4，…按如图所示的方式排成三角形数组，则第20行从右往左数第1个数是( )

A．397 B．398 C．399 D．400
5．正弦函数是奇函数，是正弦函数，因此是奇函数，以上推理（ ）
A．结论正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．大前提、小前提、结论都不正确
6．一个口袋内装有大小相同的6个白球和2个黑球，从中取3个球，则共有（　　）种不同的取法
A． B． C． D．
7．已知双曲线的焦距为，两条渐近线的夹角为，则双曲线的标准方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
8．设抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为
A． B． C． D．
9．某单位为了了解用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温x（℃）
18
13
10
-1
用电量（度）
24
34
38
64
由表中数据得线性回归方程，预测当气温为-4℃时用电量度数为（ ）
A．68 B．67 C．65 D．64
10．若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
11．设复数满足（为虚数单位），则复数（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则（）

A．4 B．3 C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若将函数表示为，其中 为实数，则等于 _______.
14．若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是 ．
15． 设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝________.
16．有5条线段，其长度分别为3,4,5,7,9,现从中任取3条，则能构成三角形的概率是_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在极坐标系中，直线，为直线上一点，且点在极轴上方以为一边作正三角形（逆时针方向），且面积为.
（1）求点Q的极坐标；
（2）写出外接圆的圆心的极坐标，并求外接圆与极轴的相交弦长.
18．（12分）已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在处取得极大值，求的取值范围.
19．（12分）阅读：
已知、，，求的最小值.
解法如下：，
当且仅当，即时取到等号，
则的最小值为.
应用上述解法，求解下列问题：
（1）已知，，求的最小值；
（2）已知，求函数的最小值；
（3）已知正数、、，，
求证：.
20．（12分）已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的（为自然对数的底数），恒成立，求的取值范围.
21．（12分）已知函数.
求的单调区间；
若在处取得极值，直线y=与的图象有三个不同的交点，求的取值范围．
22．（10分）数列满足）
（1）计算，并由此猜想通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据分布列的性质以及各概率之和等于1，能求出正确结果．
【详解】
根据分布列的性质以及各概率之和等于1，
在中，各概率之和为，故错误；
在中，，故错误；
在中，满足分布列的性质以及各概率之和等于1，故正确；
在中，，故错误．
故选：．
本题考查离散型随机变量的分布列的判断，考查分布列的性质以及各概率之和等于1等基础知识，考查运用求解能力，是基础题．
2、D
【解析】
计算出、，将点的坐标代入回归直线方程可求出的值.
【详解】
由题意得，，
由于回归直线过样本的中心点，所以，，解得，
故选：D.
本题考查回归直线方程的应用，解题时要熟悉回归直线过样本中心点这一结论的应用，考查计算能力，属于基础题.
3、C
【解析】
试题分析：因为，所以因此
考点：复数的模
4、D
【解析】
根据图中数字排列规律可知，第行共有项，且最后一项为，从而可推出第20行最后1个数的值，即可求解出答案．
【详解】
由三角形数组可推断出，第行共有项，且最后一项为，
所以第20行，最后一项为1．故答案选D．
本题主要考查归纳推理的能力，归纳推理是由特殊到一般，由具体到抽象的一种推理形式，解题时，要多观察实验，对有限的资料进行归纳整理，提出带有规律性的猜想．
5、C
【解析】
分析：根据题意，分析所给推理的三段论，找出大前提，小前提，结论，再判断正误即可得到答案.
详解：根据题意，该推理的大前提：正弦函数是奇函数，正确；
小前提是：是正弦函数，因为该函数不是正弦函数，故错误；
结论：是奇函数，，故错误.
故选：C.
点睛：本题考查演绎推理的基本方法，关键是理解演绎推理的定义以及三段论的形式.
6、D
【解析】
直接由组合数定义得解．
【详解】
由题可得：一个口袋内装有大小相同的8个球中，
从中取3个球，共有种不同的取法.
故选D
本题主要考查了组合数的定义，属于基础题．
7、B
【解析】
根据题意，有，根据斜率公式求出的值，进而联立组成方程组求出， 的值，将其代入双曲线的标准方程即可得出结果.
【详解】
解：根据题意双曲线的焦距为，
则双曲线的一个焦点为，
则①，双曲线的两条渐近线的夹角为，
一条渐近线的斜率为或
则或②，联立①、②可得或.
则双曲线的标准方程是或.
故选：B.
本题考查双曲线的简单几何性质，涉及双曲线的焦点、渐近线的求法，属于中档题.
8、D
【解析】
分析：椭圆的右焦点为，抛物线的焦点坐标为，求解，再得出准线方程．
详解：椭圆的右焦点为，抛物线的焦点坐标为，解得，得出准线方程
点睛：抛物线的焦点坐标为，准线方程
9、A
【解析】
根据回归直线方程过样本中心点，计算出并代入回归直线方程，求得的值，然后将代入回归直线方程，求得预测的用电量度数.
【详解】
解：，，
，
线性回归方程为：，
当时，，
当气温为时，用电量度数为68，
故选A．
本小题主要考查回归直线方程过样本中心点，考查方程的思想，属于基础题.
10、A
【解析】
利用复数的乘法法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部.
【详解】
，因此，复数的虚部为，故选A.
本题考查复数的概念与复数的乘法运算，对于复数问题，一般是利用复数的四则运算将复数表示为一般形式，进而求解，考查计算能力，属于基础题.
11、A
【解析】
利用复数的代数形式的乘除运算化简，求出数复数，即可得到答案.
【详解】
复数满足，则，
所以复数.
故选：A.
本题考查复数的模、共轭复数的概念，考查运算求解能力.
12、A
【解析】
由条件可得，
【详解】
因为函数的图象在点P处的切线方程是
所以，
所以4
故选：A
本题考查的是导数的几何意义，较简单.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、20.
【解析】
把函数f（x）＝x6 ＝[﹣1+（1+x）]6 按照二项式定理展开，结合已知条件，求得a3的值．

【详解】
∵函数f（x）＝x6 ＝[﹣1+（1+x）]6＝1•（1+x）•（1+x）2•（1+x）3•（1+x）6，
又f（x）＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…a6（1+x）6，其中a0，a1，a2，…，a6为实数，
则a320，
故答案为20.
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
14、
【解析】
，令，得，即函数的单调递增区间为，又因为函数在区间上单调递增，所以，解得；故填.
点睛：已知函数在所给区间上单调递增，求有关参数的取值范围，往往采用以下两种方法：
①求出函数的单调递增区间，通过所给区间是该函数的单调递增区间的子集进行求解；
②将问题转化为在所给区间上恒成立进行求解.
15、－
【解析】
先根据已知和三角函数的坐标定义得到cos α＝x＝，解方程解答x的值，再利用三角函数的坐标定义求tan α的值.
【详解】
因为α是第二象限角，
所以cos α＝x<0，即x<0.
又cos α＝x＝，
解得x＝－3，所以tan α＝＝－.
故答案为－
（1）本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 点p(x,y)是角终边上的任意的一点（原点除外）,r代表点到原点的距离，则sin= cos=, tan= .
16、
【解析】
从5条线段中任取3条共有10种情况,将能构成三角形的情况数列出,即可得概率.
【详解】
从5条线段中任取3条,共有种情况,
其中,能构成三角形的有：3,4,5; 3,5,7; 3,7,9; 4,5,7; 4,7,9; 5,7,9. 共6种情况；
即能构成三角形的概率是,
故答案为：
本题考查了古典概型的概率公式,注意统计出满足条件的情况数,再除以总情况数即可,属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2），弦长为2
【解析】
（1）设，由面积为，得，结合直线l方程可得解，由于为以为一边的正三角形，因此的极角为，结合可得解.
2）由于为正三角形，可得到其外接圆的半径，圆心，求解圆心到极轴的距离，即可得解.
【详解】
解：（1）直线，
设，由面积为
得，，故
由于为以为一边的正三角形（逆时针方向）
因此的极角为.
且，
所以，．
（2）由于为正三角形，
得到其外接圆的半径，圆心，
圆心到极轴的距离，
外接圆与极轴的相交弦长为.
本题考查了极坐标几何意义的综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
18、（1）增区间为，减区间为；（2）
【解析】
（1）将代入函数解析式，求出，利用导数值判断的单调区间即可；
（2）由题求得，对进行分类讨论，判断在处取得极大值时的范围即可.
【详解】
（1）由题意，当时，，
所以，
令，解得，，
，解得；，解得，；
所以的单调增区间为，单调减区间为；
（2）由题意，，
①当时，，
，解得；，解得，；
所以在处取极大值；
当时，令，得，，
②当时，即，或时，
，解得；，解得，；
所以在处取极大值；
③当，即时，
，解得，，解得，，或；
所以在处取极大值；
④当，即时，
，故不存在极值；
⑤当时，即时，
，解得，；，解得，，或；
所以在处取极小值；
综上，当在处取得极大值时，.
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了分类讨论的思想，属于中档题.
19、（3）3；（2）2；（3）证明见解析.
【解析】
利用“乘3法”和基本不等式即可得出．
【详解】
解（3）∵a+b+c＝3，
∴y（a+b+c）323，
当且仅当a＝b＝c时取等号．即的最小值为3．
（2）30+2，
而，∴8，
当且仅当，即∈时取到等号，则y≥2，
∴函数y的最小值为2．
（3）∵a3+a2+a3+…+an＝3，
∴2S＝（）[（）+（+）+…+（+）]

（）3．
当且仅当时取到等号，则．
本题考查了“乘3法”和基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
20、（I）当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间是；（II）
【解析】
（Ⅰ）求出，分两种情况讨论，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）对分四种情况讨论，分别利用导数求出函数最小值的表达式，令最小值不小于零，即可筛选出符合题意的的取值范围.
【详解】
（Ⅰ）的定义域为.
.
（1）当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；
（2）当时，由解得，由解得.
∴的单调递增区间为和，单调递减区间是.
（Ⅱ）①当时，恒成立，在上单调递增，
∴恒成立，符合题意.
②当时，由（Ⅰ）知，在、上单调递增，在上单调递减.
（i）若，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
∴对任意的实数，恒成立，只需，且.
而当时，
且成立.
∴符合题意.
（ii）若时，在上单调递减，在上单调递增.
∴对任意的实数，恒成立，只需即可，
此时成立，
∴符合题意.
（iii）若，在上单调递增.
∴对任意的实数，恒成立，只需，
即，
∴符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
21、

【解析】
解：（Ⅰ），
①当a＜0时，f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增；
②当a＞0时，由f′（x）＞0即，解得或，
由f′（x）＜0得，
∴f（x）的单调增区间为和（，＋∞）；f（x）的单调减区间是．
（Ⅱ）因为f（x）在x＝−1处取得极大值，
所以，∴a＝1．
所以，
由f′（x）＝0解得．
由（1）中f（x）的单调性可知，f（x）在x＝−1处取得极大值f（−1）＝1，
在x＝1处取得极小值f（1）＝−2．
因为直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有三个不同的交点，
结合f（x）的单调性可知，m的取值范围是（−2，1）；
22、（1），；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）分别令，可求解的值，即可猜想通项公式；（2）利用数学归纳法证明.
试题解析：（1），由此猜想；
（2）证明：当时，，结论成立；假设（，且），结论成立，即
当（，且）时，，即，所以，这表明当时，结论成立，
综上所述，.
考点：数列的递推关系式及数学归纳法的证明.