相似.(与相似有关的综合题型)doc(第十五周用).doc

相 似（基础与拓展四）
（内部资料请勿外传）
一，知识点精
1、相似三角形的判定：①______________________；②_________________________；
③____________________；④___________________；⑤________________________；
2、相似三角形的性质：①______________________；②_________________________；
③____________________；④___________________；⑤__________________
3、位视图形：_______________________________________________________；
4、相似形的运用（常见题型及解题方法）：

二，典型例题
例1、如图，AB∥BC，∠D=，DC=2，BC=3，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的P点有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个

例2、如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm,点P从A点出发，沿AB以每秒4cm的速度向B点运动，同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x。
⑴当x为何值时，PQ∥BC？
⑵当时，求的值；
⑶△APQ能否与△CQB相似，若能，
求出AP的长，若不能，说明理由；

例3、如图在直角梯形ABCD中，AB∥BC，∠C=，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的向点B运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动的时间为t秒；
⑴设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系；
⑵当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
⑶当线段PQ与线段AB相交于点O且2AO=OB时，求∠BQP的正切值；
⑷是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

例4、在△ABC中，∠ABC=AB=4，BC=3，O是边AC上的一个动点，过O作OD⊥AB于D，在OC上取点E使OE=OD，作ED的垂线EP交射线CB于F；
⑴如图，求证△ADE∽△AEP；
⑵设OA=x，AP=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
⑶当BF=1时，求线段AP的长；

例5、如图，在一个长40m，宽30长方形操场上，王刚从A点出发，沿着A→B→C的路线以3m∕s的速度跑向C地，当他出发4s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿王刚走的路线追赶。当张华跑到距B地m的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一直线上，此时，A处一根电线杆在阳光下的影也恰好落在对角线AC上。
⑴求他们的影子重叠时，两人相距多少米（DE的长）？
⑵求张华追赶一刚的速度是多少（精确到0.1m∕s）?

例6、如图，在△OAB中，O为直角坐标系的原点，横、纵轴单位长度相同，A、B的坐标分别为（8，6）、（16，0），点P沿OA边从点O开始向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿BO边从点B开始向终点O运动，速度为每秒2个单位，如果P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，求：
⑴几秒钟时，PQ∥AB？
⑵△OPQ与△OAB能否相似？若能，求出P的坐标，试说明理由。

例7、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向B点以2cm∕s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm∕s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间（0≤t≤6），那么：
⑴当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
⑵求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果不关的结论。
⑶当t为何值时，以点Q、A、P为顶点拓角形与△ABC相似？

例8、已知如图，O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G，连接OG。
⑴求证：△BCE≌△DCF；
⑵OG与BF有什么数量关系？证明你的结论；
⑶若,求正方形ABCD的面积。

三，课堂练习
1、如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过P点作直线截△ABC相似，满足这样的条件的直线共有________条；
2、在△ABC中，∠B=，AD是BC边上的高，并且，则∠BCA=________；
3、如图，∠ABC=∠CDB=，AC=5，BC=4，若△ABC与△BDC相似，则BD=________；
4、如图，□ABCD中，M、N为BD的三等分点，连接CM并延长交AB于E，连接EN并延长交CD于F点，则DF:AB=________；

5、如图，小明从路灯F，向前走了，5m，发现自己在地面上的影子DE是2m，如果小明的身高为1.6m那么路灯旁地面的高度AB是________m；
6、如图，把△ABC沿AB边平移到△EFG的位置，它们的重叠部分的面积为△ABC面积的一半，若AB=，则△ABC移动的距离中________；
7、如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点，连AQ、DQ，过P作PE∥DQ于E，作PF∥AQ交DQ于F。
⑴求证：△APE∽△ADQ；
⑵设AP的长为x，试求△PEF的面积S关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S取最大值？最大值为多少？
⑶当Q在何处时，△ADQ的周长最小？
8、如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB=3，BF⊥BP，垂足是B，请在射线BF上找一点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似；

9、如图，在平行四边ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AC上一点且∠BFE=∠C。
⑴求证：△ABF∽△EAD；
⑵若AB=4，∠BAE=，求AE的长；
⑶求⑴⑵的条件下，若AD=3，求BF的长。

10、如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC（AB＞AE）
⑴△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，说明理由。
⑵设是否存在这样的k值，使△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论，并求出k值；若不存在，说明理由；

11、等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm,∠B=，P为下底BC上一点（不与B、C重合，）连接AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE=∠B，⑴求证：△ABP∽△PCE；
⑵求等腰梯形的腰AB的长；
⑶在底边BC上是否存在点P，使得DE:EC=5:3？如果存在，求BP的长，如果不存在，请说明理由；

12、如图，A、B是直线l上的两点，AB=4cm过l外一点，作CD∥l，射线BC与l所成的锐角∠PBN=，线段BC=2cm动点P、Q分别从B、C同时出发，P以每秒1cm的速度沿由B向C的方向运动，Q以每秒2cm的速度沿由C向D的方向运动，设P、Q运动的时间为t（s），当t＞2时，PA交CD于E。
⑴用含t的代数式分别表示CE和QE的长；
⑵求△APQ的面积S与t的函数关系式；
⑶当QE恰好平分△APQ的面积时，QE的长是多厘米？

13、如图，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，动点D在线段BC上移动（不与B、C重合），连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连接OE，记CD的长为t。
⑴当t=时，求直线DE的函数表达式；
⑵如果记梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值，若不存，请说明理由。
⑶当的算术平方根取小值时，求点E的坐标；

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