山东省青岛平度市2025年数学高二下期末教学质量检测试题含解析.doc

山东省青岛平度市2025年数学高二下期末教学质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，骰子朝上的面的点数分别为，，则满足的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合,,则下图中阴影部分所表示的集合为( )

A． B． C． D．
3．有一个奇数列，现在进行如下分组：第一组含一个数；第二组含二个数；第三组含有三个数；第四组数有试观察每组内各数之和与组的编号数有什么关系（ ）
A．等于 B．等于 C．等于 D．等于
4．已知函数.若不等式的解集中整数的个数为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．参数方程（为参数）所表示的图象是
A． B． C． D．
6．已知函数，则函数满足（ ）
A．最小正周期为 B．图像关于点对称
C．在区间上为减函数 D．图像关于直线对称
7．在某次试验中，实数的取值如下表：

0
1
3
5
6

1.3

5.6
7.4
若与之间具有较好的线性相关关系，且求得线性回归方程为，则实数的值为（ ）
A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.9
8．若且；则的展开式的系数是（ ）
A． B． C． D．
9．名同学参加班长和文娱委员的竞选，每个职务只需人，其中甲不能当文娱委员，则共有（）种不同结果（用数字作答）
A． B． C． D．
10．《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知点P是双曲线上一点，若，则△的面积为（　　）
A． B． C．5 D．10
12．已知，则（ ）
A．36 B．40 C．45 D．52
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若的展开式中的常数项为，则实数的值为______.
14．在的展开式中常数项是__________．
15．集合，满足，，若，中的元素个数分别不是，中的元素，则满足条件的集合的个数为____．（用数字作答）
16．命题“，”的否定为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知，函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且在时有极大值点，求证：.
18．（12分）已知.
（1）当时，求的展开式中含项的系数；
（2）证明：的展开式中含项的系数为.
19．（12分）已知，，.
（1）用分析法证明：；
（2）用反证法证明：与不能同时为负数.
20．（12分）如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，平面，，.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
21．（12分）已知复数（为虚数单位，）.
（1）若是实数，求的值；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围.
22．（10分）已知函数f(x)= ln(a x)+bx在点（1，f(1)）处的切线是y=0；
(I)求函数f(x)的极值；
(II)当恒成立时,求实数m的取值范围(e为自然对数的底数)
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
先化简，得到或.利用列举法和古典概型概率计算公式可计算出所求的概率.
【详解】
由，有得或，
则满足条件的为，，，，，，，，，所求概率为 ．故选B.
本小题主要考查对数运算，考查列举法求得古典概型概率有关问题，属于基础题.
2、B
【解析】
分析：根据韦恩图可知阴影部分表示的集合为，首先利用偶次根式满足的条件，求得集合B，根据集合的运算求得结果即可.
详解：根据偶次根式有意义，可得，
即，解得，即，
而题中阴影部分对应的集合为，
所以，故选B.
点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，在求解的过程中，首先需要明确偶次根式有意义的条件，从而求得集合B，再者应用韦恩图中的阴影部分表示的是，再利用集合的运算法则求得结果.
3、B
【解析】
第组有个数，第组有个数，所以前组的数字个数是，那么前组的数字和是 ，所以前组的数字个数是，那么前组的数字和是，那么第组的数字和是 ，故选B.
4、D
【解析】
对进行变形，得到，令，，即的整数个数为3，再由的函数图像和的函数图像，写出限制条件，得到答案
【详解】

，即
设，
其中时，
时，
即符合要求
，所以时，，单调递减
，，单调递增，为极小值.
有三个整数解，则还有一个整数解为或者是
①当解集包含时，时，
所以需要满足即，解得
②当解集包含时，需要满足即
整理得，而，所以无解集，即该情况不成立.
综上所述，由①②得，的范围为
故选D项.
利用导数研究函数图像，两个函数图像的位置关系与解析式大小之间的关系，数形结合的数学思想，题目较综合，考查内容比较多，属于难题.
5、D
【解析】
由，得，代入，经过化简变形后得到曲线方程，但需注意曲线方程中变量、的符号，从而确定曲线的形状。
【详解】
由题意知将代入，得，
解得，因为，所以.故选：D。
本题考查参数方程与普通方程之间的转化，参数方程化普通方程一般有以下几种消参方法：①加减消元法；②代入消元法；③平方消元法。消参时要注意参数本身的范围，从而得出相关变量的取值范围。
6、D
【解析】
∵函数f（x）=cos（x+）sinx=（cosx﹣sinx）•sinx=sin2x﹣•
=（sin2x+cos2x）﹣=sin（2x+）+，
故它的最小正周期为，故A不正确；
令x=，求得f（x）=+=，为函数f（x）的最大值，故函数f（x）的图象关于直线x=对称，
且f（x）的图象不关于点（，）对称，故B不正确、D正确；
在区间（0，）上，2x+∈（，），f（x）=sin（2x+）+ 为增函数，故C不正确，
故选D．
7、D
【解析】
根据表中数据求得，代入回归直线方程即可求得结果.
【详解】
由表中数据可知：，
又 ，解得：
本题正确选项：
本题考查利用回归直线求解数据的问题，关键是明确回归直线恒过点，属于基础题.
8、C
【解析】
先根据求出，再代入，直接根据的展开式的第 项为 ，即可求出展开式的系数。
【详解】
因为且
所以
展开式的第 项为
展开式中的系数为
故选C
本题考查二项式展开式，属于基础题。
9、B
【解析】
先安排甲以外的一人担任文娱委员，再从剩下的3人选一人担任班长即可．
【详解】
先从甲以外的三人中选一人当文娱委员，有3种选法，再从剩下的3人选一人担任班长，有3种选法，故共有种不同结果．
故选：B.
本题主要考查分步乘法计数原理的应用,属于基础题.
10、C
【解析】
用列举法得出：抛掷三枚古钱币出现的基本事件的总数，进而可得出所求概率.
【详解】
抛掷三枚古钱币出现的基本事件共有正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反8中，其中出现两正一反的共有3种，故概率为.
故选C
本题主要考查古典概型，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型.
11、C
【解析】
设，则：，则：，
由勾股定理可得：，
综上可得：
则△的面积为：.
本题选择C选项.
点睛：(1)双曲线定义的集合语言：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．
(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上．
12、A
【解析】
利用二项式展开式的通项公式，分别计算和，相加得到答案.
【详解】

故答案选A
本题考查了二项式的计算，意在考查学生的计算能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
求出的展开式的通项，令的指数为0，求出常数项，建立的方程，即可求解.
【详解】
依题意展开式的通项公式为.
令，得，
所以展开式中的常数项为，解得.
故答案为：
本题考查二项式定理，熟记二项展开式通项是解题关键，属于基础题.
14、14
【解析】
，令，则展开式中得常数项为.
【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项.根据通项公式,根据所求项的要求，解出，再给出所求答案.
15、1．
【解析】
分别就集合中含有共8个元素逐一分析，求和后得答案.
【详解】
含1元，含7元，则，，于是，，共；同理：含2元，含6元，共6个；含3元，含5元，共15个；含5元，含3元，共15个；含6元，含2元，共6个；含7元，含1元，共1个．
本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键.
16、，
【解析】
直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【详解】
解：因为全称
命题的否定为特称命题，故命题“，”的否定为：“，”
故答案为：，
本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的关系，属于基础题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）对求导，分，，，进行讨论，可得函数的单调性；
（2）将代入，对求导，可得，再对求导，可得函数有唯一极大值点，且.
可得,设，对其求导后可得.
【详解】
解：（1），
又，，时，，所以可解得：函数在单调递增，在单调递减；
经计算可得，时，函数在单调递减，单调递增，单调递减；
时，函数在单调递减，单调递增，单调递减；
时，函数在单调递减.
综上：时，函数在单调递增，单调递减；
时，函数在单调递减，单调递增，单调递减；
时，函数在单调递减；
时，函数在单调递减，单调递增，单调递减.
（2）若，则，
，
设，则，
当时，单调递减，即单调递减，
当时，单调递增，即单调递增.
又因为由可知：，
而，且，
，使得，且时，单调递增，
时，单调递减，时，单调递增，
所以函数有唯一极大值点，
且.

.
所以,
设（），则，
在单调递增，，，又因为，
.
本题主要考查导数、函数的单调性等知识，考查方程与函数、分类与整合的数学思想，考查学生的推理论证能力与运算求解能力.
18、（1）84；（2）证明见解析
【解析】
（1）当时，根据二项展开式分别求出每个二项式中的项的系数相加即可；
（2）根据二项展开式，含项的系数为，又，再结合即可得到结论．
【详解】
（1）当时，
，
的展开式中含项的系数为．
（2），，
故的展开式中含项的系数为

因为，
所以项的系数为：

.
本题考查二项式定理、二项展开式中项的系数的求法、组合数的计算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．
19、 (1)见解析(2)见解析
【解析】
分析：（1）利用分析法，原命题等价于证明，则题中的结论成立.
（2）假设与同时为负数，而，与假设矛盾，则题中的结论成立.
详解：（1）因为，，要证：，
只需证：，
只需证：，
即证：，即证：，
显然上式恒成立，故.
（2）设与同时为负数，则（1），
所以 ，
与（1）式矛盾，所以假设不成立，所以与不能同时为负数.
点睛：本题主要考查分析法、反证法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和逻辑思维能力.
20、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）由题意知为，利用等腰三角形三线合一的思想得出，由平面可得出，再利用直线与平面垂直的判定定理可得出平面；
（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，计算出平面和平面的法向量，然后利用空间向量法计算出二面角的余弦值.
【详解】
（1）因为四边形是平行四边形，，所以为的中点.
又，所以.
因为平面，平面，所以.
又，平面，平面，故平面；
（2）因为，以为原点建立空间直角坐标系如下图所示，

设，则、、、，
所以，，，
设平面的一个法向量为，则，所以，
得，令，则，，所以.
同理可求得平面的一个法向量，
所以.
又分析知，二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
本题考查直线与平面垂直的判定，同时也考查了二面角的计算，解题的关键在于建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
21、 (1) (2)
【解析】
分析：（1）由复数的运算法则可得.据此得到关于实数m的方程组，解得.
（2）结合(1)中的结果得到关于m的不等式组，求解不等式组可知.
详解1）

.
因为是实数，所以，解得.
（2）因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，
所以，解得.
点睛：本题主要考查复数的运算法则，已知复数的类型求参数的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
22、 (1) 的极大值为，无极小值；
(2) .
【解析】
分析：（1）先根据导数几何意义得解得b,再根据得a，根据导函数零点确定单调区间，根据单调区间确定极值，（2）先化简不等式为，再分别求左右两个函数最值得左边最小值与右边最大值同时取到，则不等式转化为，解得实数m的取值范围.
详解：
（1）因为，所以
因为点处的切线是，所以，且
所以，即
所以，所以在上递增，在上递减，
所以的极大值为，无极小值
（2）当恒成立时,由（1），
即恒成立，
设，则，，
又因为，所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，；
在上单调递增，在上单调递减，.
所以均在处取得最值，所以要使恒成立，
只需，即
解得，又，所以实数的取值范围是.
点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.