吉林省辽源市田家炳高级中学等五校2024-2025学年高二数学第二学期期末监测模拟试题含解析.doc

吉林省辽源市田家炳高级中学等五校2024-2025学年高二数学第二学期期末监测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．阅读下图所示程序框图，若输入，则输出的值是（ ）

A.B.
C.D.
2．已知命题,；命题若，则，下列命题为真命题的是（　　）
A． B． C． D．
3．设函数在区间上有两个极值点，则的取值范围是
A． B． C． D．
4．若，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
5．高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（ ）
A．16种 B．18种 C．37种 D．48种
6．已知x，y满足不等式组则z="2x" +y的最大值与最小值的比值为
A． B． C． D．2
7．设，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．将函数图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵 坐标不变），再把得到的图像向左平移个单位长度，所得函数图像关于对称，则（ ）
A． B． C． D．
9．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为（ ）
A．中至少有两个偶数 B．中至少有两个偶数或都是奇数
C．都是奇数 D．都是偶数
10．设向量与向量垂直，且，，则下列向量与向量共线的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知a>0，b>－1，且a＋b＝1，则的最小值为( 　)
A． B． C． D．
12．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件“第一次取到的是偶数”，“第二次取到的是偶数”，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线在点处的切线方程为__________．
14．函数，且是上的减函数，则的取值范围是____.
15．化简__________．
16．已知三棱锥A﹣BCD的顶点都在球O的表面上，且AB⊥BC，BC⊥CD，AB⊥CD，若AB＝1，BC，CD，则球O的表面积为_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，圆的极坐标方程为．
（1）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）过点作斜率为1直线与圆交于两点，试求的值．
18．（12分）已知数列满足，.
（I）求，，的值；
（Ⅱ）归纳猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
19．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
20．（12分）已知在中，，，.
（1）求边的长；
（2）设为边上一点，且的面积为，求.
21．（12分）f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x>0，y>0都有f＝f(x)－f(y)，当x>1时，有f(x)>0。
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性并证明；
(3)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f<2；
(4)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域。
22．（10分）如图，一张坐标纸上已作出圆及点，折叠此纸片，使与圆周上某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线的交点为，令点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；
（2）若直线与轨迹交于、两点,且直线与以为直径的圆相切，若，求的面积的取值范围．
参考答案

一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
试题分析：由程序框图可知该算法是计算数列的前2016项和，根据，所以
。
考点：1.程序框图；2.数列求和。
2、B
【解析】
解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；
取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．
∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．
故选B．
3、D
【解析】
令，则在上有两个不等实根，有解，故,

点晴:本题主要考查函数的单调性与极值问题，要注意转化，函数()在区间上有两个极值点，则在上有两个不等实根，所以有解，故,只需要满足解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，注意分类讨论和数形结合思想的应用
4、D
【解析】
分析：令x=1，可得1=a1．令x=，即可求出．
详解：，
令x=1，可得1=．
令x=，可得a1+++…+=1，
∴++…+=﹣1，
故选：D．
点睛：本题考查了二项式定理的应用、方程的应用，考查了赋值法，考查了推理能力与计算能力，注意的处理，属于易错题．
5、C
【解析】
根据题意，用间接法：先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再排除甲工厂无人去的情况，由分步计数原理可得其方案数目，由事件之间的关系，计算可得答案．
【详解】
根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有种情况，
其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有种方案；
则符合条件的有种，
故选：C．
本题考查计数原理的运用，本题易错的方法是：甲工厂先派一个班去，有3种选派方法，剩下的2个班均有4种选择，这样共有种方案；显然这种方法中有重复的计算；解题时特别要注意．
6、D
【解析】
解：因为x，y满足不等式组，作出可行域，然后判定当过点（2,2）取得最大，过点（1,1）取得最小，比值为2，选D

7、B
【解析】
依据的单调性即可得出的大小关系。
【详解】

而 ，所以最小。
又 ，，
所以，即有，因此，故选B。
本题主要考查利用函数的单调性比较大小。
8、B
【解析】
运用三角函数的图像变换，可得，再由余弦函数的对称性，可得，计算可得所求值.
【详解】
函数图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵 坐标不变），
则可得，
再把得到的图像向左平移个单位长度，
则可得，
因为所得函数图像关于对称，
所以，
即，
解得：，
所以：
故选： B
本题考查了三角函数的图像变换以及余弦函数的对称性，属于一般题.
9、B
【解析】
用反证法证明某命题时,应先假设命题的反面成立，求出要证的命题的否定，即为所求.
【详解】
解：用反证法证明某命题时,应先假设命题的反面成立，及要证的命题的否定成立，而命题：“自然数中恰有一个偶数”的否定为“中至少有两个偶数或都是奇数”，
故选：B.
本题主要考查用反证法证明数学命题，求一个命题的否定，属于中档题.
10、B
【解析】
先根据向量计算出的值，然后写出的坐标表示，最后判断选项中的向量哪一个与其共线.
【详解】
因为向量与向量垂直，所以，解得，所以，则向量与向量共线，
故选：B.
本题考查向量的垂直与共线问题，难度较易.当，若，则，若，则.
11、A
【解析】
分析：由，且 ，变形可得
利用导数求其最值；
详解： ，且a＋b＝1，
∴．
令
，解得 ，此时函数单调递增；令，解得 此时函数单调递减．
∴当且仅当 时，函数取得极小值即最小值，
点睛：本题考查利用导数研究函数的最值，属中档题.
12、B
【解析】
分析：事件A发生后，只剩下8个数字，其中只有3个偶数字，由古典概型概率公式可得．
详解：在事件A发生后，只有8个数字，其中只有3个偶数字，∴．
故选B．
点睛：本题考查条件概率，由于是不放回取数，因此事件A的发生对B的概率有影响，可考虑事件A发生后基本事件的个数与事件B发生时事件的个数，从而计算概率．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
分析：先求导求切线的斜率，再写切线方程.
详解：由题得，
所以切线方程为
故答案为：.
点睛：（1）本题主要考查求导和导数的几何意义，考查求切线方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是
14、
【解析】试题分析：因为函数 且是上的减函数，即⇒．故其每一段都为减函数，且前一段的最小值须大于等于后一段的最大值；故答案为．
考点：分段函数的单调性.
【方法点晴】本题是对分段函数单调性的考查，难度适中，容易进入陷阱，要想整个函数单调递减，前提必须为分段函数的每一段都有自己的单调性，所以在研究整函数的单调性时每一段都在考查范围内．当函数为减函数时，故其每一段都为减函数，且前一段的最小值须大于等于后一段的最大值；当函数为增函数时，故其每一段都为增函数，且前一段的最大值须小于等于后一段的最小值.
15、
【解析】
分析：利用二项式逆定理即可.
详解：
（展开式实部）
（展开式实部）

.
故答案为：.
点睛：本题考查二项式定理的逆应用，考查推理论证能力.
16、6π．
【解析】
根据题意画出图形，结合图形把三棱锥补充为长方体，则该长方体的外接球为三棱锥的外接球，计算长方体的对角线长，求出外接球的直径，利用球的表面积公式，即可求解.
【详解】
如图所示，以和为棱，把三棱锥补成一个长方体，
则该长方体的长宽高分别为，此时长方体的外接球即为三棱锥的外接球，
且长方体的对角线长为，
即，即，
所以外接球的表面积为.

本题主要考查了多面体的外接球的表面积的计算，其中解答中以和为棱，把三棱锥补成一个长方体，此时长方体的外接球即为三棱锥的外接球是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（Ⅰ）根据直线参数方程的一般式，即可写出，化简圆的极坐标方程，运用ρcosθ=x，ρsinθ=y，即可普通方程；
（Ⅱ）求出过点P（2，0）作斜率为1直线l的参数方程，代入到圆的方程中，得到关于t的方程，运用韦达定理，以及参数t的几何意义，即可求出结果．
【详解】
（Ⅰ）由得：，，
即，C的直角坐标方程为：．
（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为，，直线和圆的方程联立得：
，所以，，．
所以，．
本题考查直线的参数方程、以及极坐标方程与普通方程的互化，同时考查直线参数方程的运用，属于中档题．
18、（1）（2）
【解析】
试题分析：
(1)利用递推关系可求得；
(2) 猜想 ，按照数学归纳法的过程证明猜想即可.
试题解析：
解:(1)计算得
猜想
证明如下：①当n=1时，猜想显然成立；
②假设当n=k（k∈N+）时猜想成立，即成立，
则当时，，
即时猜想成立
由①②得对任意，有
19、（1）．（2）．
【解析】
（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．
（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，求出Y＝900元；当温度在[20，25）℃时，需求量为300，求出Y＝300元；当温度低于20℃时，需求量为200，求出Y＝﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率．
【详解】
解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，
得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54，
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．
如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，
如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，
如果最高气温低于20，需求量为200瓶，
∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p．
（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，
Y＝450×2＝900元，
当温度在[20，25）℃时，需求量为300，
Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，
当温度低于20℃时，需求量为200，
Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，
当温度大于等于20时，Y＞0，
由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：
90﹣（2+16）＝72，
∴估计Y大于零的概率P．
本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
20、（1）3；（2）.
【解析】
（1）利用三角形内角和定理，将转化为，化简已知条件求得，然后求得，利用等腰三角形求得的长.（2）利用三角形面积列方程，求得的值，利用余弦定理求得的值，利用正弦定理求得的值.
【详解】
解：（1）由及，

得，展开得，
即，所以.
所以，即，
所以.
（2）由，解得.
在中，，所以.
由，得，
所以.
本小题主要考查三角形内角和定理，考查三角恒等变换，考查利用余弦定理和正弦定理解三角形，综合性较强，属于中档题.
21、 (1)1,(2)见解析(3)(4)
【解析】
（1）利用赋值法令x=y，进行求解即可．
（2）利用抽象函数的关系，结合函数单调性的定义进行证明即可．
（3）利用函数单调性的性质将不等式进行转化求解即可．
（4）根据（2）的结论，将值域问题转化为求最值，根据f（4）=2，结合f（）=f（x）﹣f（y），赋值x=16，y=4，代入即可求得f（16），从而求得f（x）在[1，16]上的值域
【详解】
（1）令x=y，f（1）=f（）=f（x）﹣f（x）=1，x＞1
（2）设1＜x1＜x2，则由f（）=f（x）﹣f（y），得f（x2）﹣f（x1）=f（），
∵＞1，∴f（）＞1．∴f（x2）﹣f（x1）＞1，即f（x）在（1，+∞）上是增函数
（3）∵f（6）=f（）=f（36）﹣f（6），∴f（36）=2，
原不等式化为f（x2+3x）＜f（36），∵f（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴解得1＜x＜．故原不等式的解集为（1，）
（4）由（2）知f（x）在[1，16]上是增函数．
∴f（x）min=f（1）=1，f（x）max=f（16）．
∵f（4）=2，由f（）=f（x）﹣f（y），知f（）=f（16）﹣f（4），
∴ f（16）=2f（4）=4，∴ f（x）在[1，16]上的值域为[1，4]
本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法以及结合函数单调性的定义将不等式进行转化是解决本题的关键，属于中档题．
22、（1）；（2）
【解析】
分析：（1）根据垂直平分线的性质可得的轨迹是以为焦点的椭圆，且，可得，的轨迹的方程为；（2）与以为直径的圆相切，则到的距离：，即， 由，消去，得，由平面向量数量积公式可得，由三角形面积公式可得，换元后，利用单调性可得结果.
详解：（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|MP′|，由题意知圆E的半径为，
∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=＞|EP|，
∴E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且，
∴，∴M的轨迹C的方程为．
（2）与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，则O到的距离：
，即，
由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，
∵直线与椭圆交于两个不同点，
∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，
又，∴，∴，

设μ=k4+k2，则，∴，…10分∵S△AOB关于单调递增，∴，
∴△AOB的面积的取值范围是
点睛：本题主要考查利用定义求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.