宁夏石嘴山市平罗中学2024-2025学年高二数学第二学期期末达标检测试题含解析.doc

宁夏石嘴山市平罗中学2024-2025学年高二数学第二学期期末达标检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线与曲线所围成的曲边梯形的面积为（ ）
A．9 B． C． D．27
2．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是

A． B．
C． D．
3．在极坐标系中，曲线，曲线，若曲线与交于两点，则线段的长度为（ ）
A．2 B． C． D．1
4．的二项展开式中，项的系数是（ ）
A． B． C． D．270
5．已知 的展开式中，含项的系数为70，则实数a的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
6．执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，输出的S=（ ）

A． B． C． D．
7．已知函数且，则的值为( )
A．1 B．2 C． D．-2
8．如果函数在上的图象是连续不断的一条曲线，那么“”是“函数在内有零点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．若集合M＝{1，3}，N＝{1，3，5}，则满足M∪X＝N的集合X的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
10．设函数的极小值为，则下列判断正确的是
A． B．
C． D．
11．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是（　　）
A．18 B．24 C．30 D．36
12． “”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在的展开式中，常数项为______．（用数字作答）
14．命题“R”，此命题的否定是___．(用符号表示)
15．在空间直角坐标系中，某个大小为锐角的二面角的两个半平面的法向量分别为和，则该二面角的大小为________（结果用反三角函数表示）．
16．已知经停某站的高铁列车有100个车次,随机从中选取了40个车次进行统计,统计结果为：10个车次的正点率为0.97,20个车次的正点率为0.98,10个车次的正点率为0.99,则经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为______（精确到0.001）.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，已知椭圆的离心率是，一个顶点是．

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，是椭圆上异于点的任意两点，且．试问：直线是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．
18．（12分）已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在上为减函数，求实数的取值范围.
19．（12分）已知函数在处有极值.
（1）求的解析式.
（2）求函数在上的最值.
20．（12分）某种产品的广告费用支出与销售额之间有如下的对应数据：

（1）画出散点图，并说明销售额与广告费用支出之间是正相关还是负相关？
（2）请根据上表提供的数据，求回归直线方程；
（3）据此估计广告费用为10时，销售收入的值.
（参考公式：，）
21．（12分）如图，平面，，，，，是的中点.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
22．（10分）某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数．
(1)请列出X的分布列；
(2)根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
直线x=0,x=3,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积为：.
本题选择A选项.
2、C
【解析】
根据且，可依次排除，从而得到答案.
【详解】
由图象知，且
中，，不合题意；中，，不合题意；
中，，不合题意；
本题正确选项：
本题考查函数图象的识别，常用方法是利用排除法得到结果，排除时通常采用特殊位置的符号来进行排除.
3、B
【解析】
分别将曲线，的极坐标方程化为普通方程，根据直线与圆相交，利用点到直线的距离公式结合垂径定理，可得结果
【详解】
根据题意，
曲线
曲线，
则直线与圆相交，
圆的半径为，圆心到直线的距离为
设长为，则有，即
解得（舍负）
故线段的长度为
故选
本题主要考查的是极坐标与直角坐标方程的互化，圆的方程以及直线与圆的位置关系，是一道基础题
4、C
【解析】
分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于，且的幂指数等于，求得的值，即可求得结果
详解：的展开式中，
通项公式为
令，且，求得
项的系数是
故选
点睛：本题主要考查的是二项式定理，先求出其通项公式，即可得到其系数，本题较为简单。
5、A
【解析】
分析：由题意结合二项式展开式的通项公式得到关于a的方程，解方程即可求得实数a的值.
详解：展开式的通项公式为：，
由于，
据此可知含项的系数为：,
结合题意可知：，解得：.
本题选择A选项.
点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
6、B
【解析】
试题分析：由题意得，输出的为数列的前三项和，而
，∴，故选B.
考点：1程序框图；2.裂项相消法求数列的和.
本题主要考查了数列求和背景下的程序框图问题，属于容易题，解题过程中首先要弄清程序
框图所表达的含义，解决循环结构的程序框图问题关键是列出每次循环后的变量取值情况，循环次数较多时，需总结规律，若循环次数较少可以全部列出.
7、D
【解析】
分析：首先对函数求导，然后结合题意求解实数a的值即可.
详解：由题意可得：，
则，据此可知：.
本题选择D选项.
点睛：本题主要考查导数的运算法则及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8、A
【解析】
由零点存在性定理得出“若，则函数在内有零点”举反例即可得出正确答案.
【详解】
由零点存在性定理可知，若，则函数在内有零点
而若函数在内有零点，则不一定成立，比如在区间内有零点，但
所以“”是“函数在内有零点”的充分而不必要条件
故选：A
本题主要考查了充分不必要条件的判断，属于中档题.
9、D
【解析】
可以是共4个，选D.
10、D
【解析】
对函数求导，利用求得极值点，再检验是否为极小值点，从而求得极小值的范围.
【详解】
令，得，检验：当 时， ，当 时，，所以的极小值点为，所以的极小值为
，又．∵，∴，∴．选D.
本题考查利用导数判断单调性和极值的关系，属于中档题.
11、C
【解析】
由于选出的3名学生男女生都有，所以可分成两类，一类是1男2女，一类是2男1女.
【详解】
由于选出的3名学生男女生都有，所以可分成两类：
（1）3人中是1男2女，共有；
（2）3人中是2男1女，共有；
所以男女生都有的选法种数是.
本题考查分类与分步计算原理，考查分类讨论思想及简单的计算问题.
12、B
【解析】
解得方程表示焦点在轴上的双曲线的m的范围即可解答.
【详解】
表示焦点在轴上的双曲线⇔,解得1注意

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、57
【解析】
先求出的展开式中的常数项和的系数，再求的常数项.
【详解】
由题得的通项为，
令r=0得的常数项为,
令-r=-2，即r=2,得的的系数为.
所以的常数项为1+2×28=57.
故答案为：57
本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式指定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.
14、∀x∈R，x2+x≤1．
【解析】
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【详解】
因为特称命题的否定是全称命题，
所以∃x1∈R，x12﹣2x1+1＞1的否定是：∀x∈R，x2+x≤1．
故答案为：∀x∈R，x2+x≤1．
本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系及否定形式，属于基本知识的考查．
15、
【解析】
设锐二面角的大小为，利用空间向量法求出的值，从而可求出的值.
【详解】
设锐二面角的大小为，则，
，故答案为.
本题考查利用空间向量法计算二面角，同时也考查了反三角函数的定义，考查运算求解能力，属于基础题.
16、
【解析】
根据平均数的公式,求出平均数,再根据标准差公式求出标准差即可.
【详解】
由题意可知：所有高铁列车平均正点率为：
.
所以经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为：

故答案为：
本题考查了平均数和标准差的运算公式,考查了应用数学知识解决实际问题的能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）（Ⅱ）直线恒过定点
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c．求出b利用离心率求出a，即可求解椭圆C的方程；（Ⅱ）证法一：直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m．将直线PQ的方程代入消去y，设 P，Q，利用韦达定理，通过BP⊥BQ，化简求出，求出m，即可得到直线PQ恒过的定点．证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y=kx+1，将直线BP的方程代入，消去y，解得x，设 P，转化求出P的坐标，求出Q坐标，求出直线PQ的方程利用直线系方程求出定点坐标
试题解析：（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为．依题意，得，
且，
解得．
所以，椭圆的方程是．
（Ⅱ）证法一：易知，直线的斜率存在，设其方程为．
将直线的方程代入，
消去，整理得．
设，，
则，．（1）
因为，且直线的斜率均存在，
所以， 整理得．（2）
因为，，
所以，．（3）
将（3）代入（2），整理得
．（4）
将（1）代入（4），整理得．
解得，或（舍去）．
所以，直线恒过定点．
证法二：直线的斜率均存在，设直线的方程为．
将直线的方程代入，消去，得
解得，或．
设，所以，，
所以．
以替换点坐标中的，可得．
从而，直线的方程是．
依题意，若直线过定点，则定点必定在轴上．
在上述方程中，令，解得．
所以，直线恒过定点．
考点：圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程
18、（1）在和上为增函数，在上为减函数；（2）
【解析】
（1）将代入，求出，令，解不等式可得增区间，令，解不等式可得减区间.
（2）根据题意可得在上恒成立，分离参数可得，只需即可.
【详解】
（1）当时，，
，
令，可得或；令，.
所以在和上为增函数；
在上为减函数.
（2）由于在上为减函数，在上恒成立，
即，令，
可设，于是
所以，的取值范围是.
本题考查了导数在研究函数单调性中的应用，解题的关键是求出导函数，属于中档题.
19、 (1) (2) 最大值为为
【解析】
分析：（1）先求出函数的导数，根据，联立方程组解出的值，即可得到的解析式；（2）求出，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，利用单调性可得函数的极值，然后求出的值，与极值比较大小即可求得函数的最值.
详解：（1）由题意：，又
由此得：
经验证：
∴
（2）由（1）知
，
又
所以最大值为为
点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于中档题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.
20、 (1)散点图见解析；销售额与广告费用支出之间是正相关.
(2) .
(3) .
【解析】
分析：(1)结合所给的数据绘制散点图，观察可得销售额与广告费用支出之间是正相关；
(2)结合所给的数据计算可得线性回归方程为；
(3)结合回归方程，时，估计的值为
详解：（1）作出散点图如下图所示：

销售额与广告费用支出之间是正相关；
（2），
，，
，
因此回归直线方程为
（3）时，估计的值为.
点睛：线性回归方程需要注意两点：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．
21、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
可以以为轴、为轴、为轴构建空间直角坐标系，写出的空间坐标，通过证明得证平面
通过求平面和平面的法向量得证二面角的余弦值．
【详解】
（1）根据题意，建立以为轴、为轴、为轴的空间直角坐标系，
则，
，
，
因为，
所以．
因为平面，且，
所以平面．
（2）设平面的法向量为，则
因为，所以．
令，则．
所以是平面的一个法向量．
因为平面，所以是平面的法向量．
所以
由此可知，与的夹角的余弦值为．
根据图形可知，二面角的余弦值为．
在计算空间几何以及二面角的时候，可以借助空间直角坐标系．
22、（1）
X

0

1

2

3

1

P

（2）
【解析】
试题分析：（1）本题是一个超几何分步，用X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，1．结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和数学期望．
（2）选出的1人中至少有3名男生，表示男生有3个人，或者男生有1人，根据第一问做出的概率值，根据互斥事件的概率公式得到结果．
解：（1）依题意得，随机变量X服从超几何分布，
随机变量X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，1．
．
∴所以X的分布列为：

（2）由分布列可知至少选3名男生，
即P（X≥3）=P（X=3）+P（X=1）=+=．
点评：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分步，考查互斥事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力．