吉林省蛟河市第一中学校2024-2025学年高二数学第二学期期末考试模拟试题含解析.doc

吉林省蛟河市第一中学校2024-2025学年高二数学第二学期期末考试模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为

A． B． C． D．
2．为了解某高校高中学生的数学运算能力，从编号为0001，0002，…，2000的2000名学生中采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，并把样本编号从小到大排列，已知抽取的第一个样本编号为0003，则最后一个样本编号是（ ）
A．0047 B．1663 C．1960 D．1963
3．下列函数中，即是奇函数，又在上单调递增的是
A． B． C． D．
4．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为( )
A．，xR
B．，xR且x≠0
C．,xR
D．，xR
5．某体育彩票规定: 从01到36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想先选定吉利号18，然后再从01到17个号中选出3个连续的号，从19到29个号中选出2 个连续的号，从30到36个号中选出1个号组成一注．若这个人要把这种要求的号全买，至少要花的钱数为( )
A．2000元 B．3200 元 C．1800元 D．2100元
6．函数的周期，振幅，初相分别是（ ）
A． B． C． D．
7．设，则的值为 （ ）
A．－7 B． C．2 D．7
8．某超市抽取13袋袋装食用盐，对其质量（单位：g）进行统计，得到如图所示的茎叶图，若从这13袋食用盐中随机选取1袋，则该袋食用盐的质量在内的概率为（ ）

A． B． C． D．
9．若如下框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是（ ）

A． B． C． D．
10．若复数的实部与虚部相等，其中是实数，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
11．全国高中联赛设有数学、物理、化学、生物、信息5个学科，3名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择一个学科参加竞赛，则不同的报名种数是（ ）
A． B． C． D．
12．在中，，若，则　　
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是______．
14．先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方式：令，则有，两边平方，可解得（负值舍去）”.那么，可用类比的方法，求出的值是__________．
15．若直线与圆相交于P.Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则的值为________．
16．观察下列数表：

如此继续下去，则此表最后一行的数为_______（用数字作答）.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件.求:
（1）第一次抽到次品的概率；
（2）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.
18．（12分）已知，.
（1）证明：.
（2）证明：.
19．（12分）已知.为锐角，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
20．（12分）设函数的导函数为.若不等式对任意实数x恒成立，则称函数是“超导函数”.
（1）请举一个“超导函数” 的例子，并加以证明；
（2）若函数与都是“超导函数”，且其中一个在R上单调递增，另一个在R上单调递减，求证：函数是“超导函数”；
（3）若函数是“超导函数”且方程无实根，（e为自然对数的底数），判断方程的实数根的个数并说明理由.
21．（12分）函数，.
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）若，证明：当时，.
22．（10分）为降低养殖户养鸭风险，某保险公司推出了鸭意外死亡保险，该保单合同规定每只幼鸭投保2元，若生长期内鸭意外死亡，则公司每只鸭赔付12元.假设鸭在生长期内的意外死亡率为0.15，且每只鸭是否死亡相互独立.若某养殖户养鸭3000只，都投保该险种.
（1）求该保单保险公司赔付金额等于保费时，鸭死亡的只数；
（2）求该保单保险公司平均获利多少元.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
解析】
试题分析：设的中点为，连接，易知即为异面直线与所成的角，设三棱柱的侧棱与底面边长为，则，由余弦定理，得，故选D.
考点：异面直线所成的角.
2、D
【解析】
,故最后一个样本编号为,故选D.
3、B
【解析】
分析：对四个选项分别进行判断即可得到结果
详解：对于，，，
，不是奇函数，故错误
对于，，，当时，，函数在上不单调，故错误
对于，函数在上单调递减，故错误
故选
点睛：对函数的奇偶性作出判断可以用其定义法，单调性的判断可以根据函数的图像性质，或者利用导数来判断。
4、B
【解析】
首先判断奇偶性：A,B为偶函数，C为奇函数，D既不是奇函数也不是偶函数,所以排除C、D，
对于先减后增，排除A，故选B.
考点：函数的奇偶性、单调性.
5、D
【解析】
第步从到中选个连续号有种选法；第步从到中选个连续号有种选法；第步从到中选个号有种选法.由分步计数原理可知：满足要求的注数共有注,故至少要花,故选D.
6、C
【解析】
利用求得周期，直接得出振幅为，在中令求得初相.
【详解】
依题意，，函数的振幅为，在中令求得初相为.故选C.
本小题主要考查中所表示的含义，考查三角函数周期的计算.属于基础题.其中表示的是振幅，是用来求周期的，即，要注意分母是含有绝对值的.称为相位，其中称为初相.还需要知道的量是频率，也即是频率是周期的倒数
7、D
【解析】
利用赋值法，令即可确定的值.
【详解】
题中所给等式中，
令可得：，即，
令可得：，
即，
据此可知：的值为.
本题选择D选项.
本题主要考查赋值法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8、B
【解析】
由题，分析茎叶图，找出质量在[499,501]的个数，再求其概率即可.
【详解】
这个数据中位于的个数为，故所求概率为
故选B
本题考查了茎叶图得考查，熟悉茎叶图是解题的关键，属于基础题.
9、D
【解析】
分析：根据赋值框中对累加变量和循环变量的赋值，先判断后执行，假设满足条件，依次执行循环，到累加变量S的值为35时，再执行一次k=k+1，此时判断框中的条件不满足，由此可以得到判断框中的条件．
详解：框图首先给累加变量S赋值1，给循环变量k赋值1．
判断1＞6，执行S=1+1=11，k=1﹣1=9；
判断9＞6，执行S=11+9=20，k=9﹣1=8；
判断8＞6，执行S=20+8=28，k=8﹣1=7；
判断7＞6，执行S=28+7=35，k=6；
判断6≤6，输出S的值为35，算法结束．
所以判断框中的条件是k＞6？．
故答案为:D.
点睛：本题考查了程序框图中的循环结构，考查了当型循环，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时，算法结束，此题是基础题．
10、D
【解析】
分析：根据复数乘法运算法则化简复数，结合已知条件，求出的值，代入后求模即可得到答案.
详解：复数的实部与虚部相等，又有
，解得，
.
故选D.
点睛：本题考查复数代数形式的乘法运算和复数模的求法，属于基础题.
11、C
【解析】
分析：利用分布计数乘法原理解答即可.
详解：全国高中联赛设有数学、物理、化学、生物、信息5个学科，3名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择一个学科参加竞赛，则每位同学都可以从5科中任选一科，由乘法原理，可得不同的报名种数是
故选C.
点睛：本题考查分布计数乘法原理，属基础题.
12、A
【解析】
根据平面向量的线性运算法则，用、表示出即可.
【详解】

即：
本题正确选项：
本题考查平面向量的加法、减法和数乘运算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
首先将题意转化为函数与恰有两个交点，当和时，利用函数的图象易得交点个数.当，利用表示直线的斜率，结合图象即可求出的范围.
【详解】
由题知：函数恰有两个零点.
等价于函数与恰有两个交点.

当时，函数与恰有一个交点，舍去.
当时，函数与恰有两个交点.
当时，
如图设与的切点为，
，，，
则切线方程为，
原点代入，解得，.
因为函数与恰有两个交点，由图知.
综上所述或.
故答案为：.
本题主要考查函数的零点问题，分类讨论和数形结合为解决本题的关键，属于中档题.
14、
【解析】
分析：利用类比的方法，设，则有，解方程即可得结果，注意将负数舍去.
详解：设，则有，
所以有，解得，因为，所以，
故答案是.
点睛：该题考查的是有关类比推理的问题，在解题的过程中，需要对式子进行分析，得到对应的关系式，求得相应的结果.
15、
【解析】
作出图形，由图可知，点P的坐标为，由此可得的值.
【详解】
作出图形，由图可知，点P的坐标为，
所以直线的倾斜角或，
所以.

本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中正确作出图形，结合图形求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
16、2816
【解析】
观察数表可知，每一行的首尾两项数字的和成等比数列，由于最后一行的数字等于倒数第二行两项的和，所以只要根据规律求出第9行的首尾两项之和即可.
【详解】
由题意可知最后一行为第10行，
第一行首尾两项的和为11，第二行首尾两项的和为22，第三行首尾两项的和为44，，
则第9行首尾两项的和为，
所以第十行的数字是，
故答案是：.
该题考查的是有关归纳推理的问题，涉及到的知识点有根据题中所给的条件，归纳出对应的结论，属于简单题目.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）抽到每件产品的可能性相同，直接做比即可（2）考虑剩余产品数目和剩余次品数目再做比例。
【详解】
设第一次抽到次品的事件为，第二次抽到次品的事件为.
（1）因为有20件产品，其中5件是次品，抽到每件产品的可能性相同，所以第一次抽到次品的概率为.
（2）第一次抽到次品后，剩余件产品，其中有件次品，又因为抽到每件产品的可能性相同，所以在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为.
本题考查古典概型和条件概率，属于基础题。
18、（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）不等式左右都大于0，两边同时平方，整理即要证明，再平方，且，，即得证；（2）证明即可，提公因式整理得证。
【详解】
证明：（1）欲证明，
只需证明，
即证，
两边平方，得，因为，所以显然成立，得证.
（2）因为

，
所以.
本题考查证明不等式，（1）用两边同时平方的方法，（2）用做差法来证明，注意（1）可以平方的条件是不等式两边都大于零。
19、（1）；（2）
【解析】
（1）由三角函数的基本关系式，求得，再由余弦的倍角公式，即可求解.
（2）由（1）知，得到，进而得到，再利用两角差的正切函数的公式，即可求解.
【详解】
（1）因为，且为锐角，所以，
因此；
（2）由（1）知，又，所以，
于是得，

因为.为锐角，所以，
又，于是得，
因此，
故.
本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟练应用三角函数的基本关系式，以及两角差的正切公式，以及余弦的倍角公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
20、 (1)见解析.
(2)见解析.
(3)见解析.
【解析】
分析：（1）根据定义举任何常数都可以；（2）∵，∴，即证-在R上成立即可；（3）构造函数，因为是“超导函数”， ∴对任意实数恒成立，而方程无实根，故恒成立，所以在上单调递减， 故方程等价于，即，
设 ，分析函数单调性结合零点定理即可得出结论.
详解：
（1）举例：函数是“超导函数
因为，，满足对任意实数恒成立，故是“超导函数”.
注：答案不唯一，必须有证明过程才能给分，无证明过程的不给分.
（2）∵，∴，
∴

因为函数与都是“超导函数”，所以不等式与对任意实数都恒成立，故，，①
而与一个在上单调递增，另一个在上单调递减，故，②
由①②得对任意实数都恒成立，所以函数是“超导函数”.
（3）∵，所以方程可化为，
设函数，，则原方程即为，③
因为是“超导函数”， ∴对任意实数恒成立，
而方程无实根，故恒成立，所以在上单调递减，
故方程③等价于，即，
设 ，，则在上恒成立，
故在上单调递增，
而，，且函数的图象在上连续不断，
故 在上有且仅有一个零点，从而原方程有且仅有唯一实数根.
点睛：考查函数的新定义，首先要读懂新定义，将新定义的知识与所学导函数的知识相联系是解题关键，本题的难点在于能否将新定义的语言转化为自己所熟悉的函数语言进行等价研究问题是解题关键，属于压轴题.
21、 (Ⅰ)有极小值，无极大值.(Ⅱ)证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）求出，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可得函数的极值；（2）不等式等价于，由（1）得，可得，设，利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得，进而可得结果.
试题解析：1）函数的定义域为，，
由得， 得，所以函数在单调递减，
在上单调递增，所以函数只有极小值.
（2）不等式等价于，由（1）得：.
所以，，所以 .
令，则，当时，，
所以在上为减函数，因此，，
因为，所以，当时，，所以，而，所以.
22、（1）500只；（2）600元
【解析】
（1）根据题意，得到保费的总额，再除以每只鸭赔付的金额，得到答案；
（2）根据鸭在生长期内的意外死亡率，得到需赔付的金额，然后根据总的保费，得到平均获利.
【详解】
（1），
答：该保险公司赔付金额等于保费时，鸭死亡只数为只.
（2）因为鸭在生长期内的意外死亡率为0.15，
所以需赔付的金额为，
总保费为，
所以得到平均获利为.
答：该保单保险公司平均获利元.
本题考查求随机变量的均值，属于简单题.