江苏省泰州中学2025届高二数学第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

江苏省泰州中学2025届高二数学第二学期期末教学质量检测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：
甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中；
乙预测说：我不会获奖，丙获奖
丙预测说：甲和丁中有一人获奖；
丁预测说：乙的猜测是对的
成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（）
A．甲和丁
B．乙和丁
C．乙和丙
D．甲和丙
2．函数在上的最小值和最大值分别是
A． B． C． D．
3．5名同学在“五一”的4天假期中，随便选择一天参加社会实践，不同的选法种数是（ ）
A． B． C． D．
4．若，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
5．从5名男同学，3名女同学中任选4名参加体能测试，则选到的4名同学中既有男同学又有女同学的概率为( )
A． B． C． D．
6．下列命题中,正确的命题是（ ）
A．若，则
B．若，则不成立
C．，则或
D．，则且
7．如图，在正方体中，E为线段的中点，则异面直线DE与所成角的大小为（　　）

A． B． C． D．
8．如图1为某省2019年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是 )

A．2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件
B．2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高
C．从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致
D．从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长
9．且，可进行如下“分解”：
若的“分解”中有一个数是2019，则（ ）
A．44 B．45 C．46 D．47
10．从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有()
　（Ａ）种　　　　　（Ｂ）种　　　　　（Ｃ）种　　　　（Ｄ）种
11．设集合，那么集合A中满足条件“”的元素的个数为 (　　)
A．60 B．100 C．120 D．130
12．已知点，则它的极坐标是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设，若，则实数________.
14．若 ，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是___．
15．在的展开式中常数项等于___
16．已知函数在处切线方程为,若对恒成立，则_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，，若在处与直线相切．
（1）求的值；
（2）求在上的极值．
18．（12分）已知，不等式的解集为.
（1）求；
（2）当时，证明：.
19．（12分）如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为．
（1）求的值； （2）求的值．
20．（12分）已知函数f（x）=x2（x-1）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在区间[-1，2]上的最大值和最小值．
21．（12分）已知复数（a∈R,i为虚数单位）
（I）若是纯虚数，求实数a的值；
（II）若复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数a的取值范围
22．（10分）已知椭圆的左右焦点分别为，直线经过椭圆的右焦点与椭圆交于两点，且.
（I）求直线的方程；
（II）已知过右焦点的动直线与椭圆交于不同两点，是否存在轴上一定点，使？（为坐标原点）若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断
【详解】
若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁
答案选B
真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证
2、A
【解析】
求出f（x）的导数，利用导函数的正负，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可．
【详解】
函数，cosx，
令＞0，解得：x，令＜0，解得：0≤x，
∴f（x）在[0，）递减，在（，]递增，
∴f（x）min＝f（），而f（0）＝0，f（）1，
故f（x）在区间[0，]上的最小值和最大值分别是：．
故选：A．
本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值问题，考查函数值的运算，属于基础题．
3、D
【解析】
根据乘法原理得到答案.
【详解】
5名同学在“五一”的4天假期中，随便选择一天参加社会实践，不同的选法种数是

答案为D
本题考查了乘法原理，属于简单题.
4、D
【解析】
分析：令x=1，可得1=a1．令x=，即可求出．
详解：，
令x=1，可得1=．
令x=，可得a1+++…+=1，
∴++…+=﹣1，
故选：D．
点睛：本题考查了二项式定理的应用、方程的应用，考查了赋值法，考查了推理能力与计算能力，注意的处理，属于易错题．
5、D
【解析】
由题可知为古典概型，总的可能结果有种，满足条件的方案有三类：一是一男三女，一是两男两女，另一类是三男一女；每类中都用分步计数原理计算，再将三类组数相加，即可求得满足条件的结果，代入古典概型概率计算公式即可得到概率
【详解】
根据题意，选4名同学总的可能结果有种.
选到的4名同学中既有男同学又有女同学方案有三类：
（1）一男三女，有种，
（2）两男两女，有种.
（3）三男一女，有种.
共种结果.
由古典概型概率计算公式，.
故选D.
本题考查古典概型与排列组合的综合问题，利用排列组合的公式计算满足条件的种类是解决本题的关键.
6、C
【解析】
A．根据复数虚部相同，实部不同时，举例可判断结论是否正确；
B．根据实数的共轭复数还是其本身判断是否成立；
C．根据复数乘法的运算法则可知是否正确；
D．考虑特殊情况：，由此判断是否正确.
【详解】
A．当时，，此时无法比较大小，故错误；
B．当时，，所以，所以此时成立，故错误；
C．根据复数乘法的运算法则可知：或，故正确；
D．当时，，此时且，故错误.
故选：C.
本题考查复数的概念以及复数的运算性质的综合，难度一般.(1)注意实数集是复数集的子集，因此实数是复数；(2)若，则有.
7、B
【解析】
建立空间直角坐标系，先求得向量的夹角的余弦值，即可得到异面直线所成角的余弦值，得到答案.
【详解】
分别以所在的直线为建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，可得,
所以，
所以，
所以异面直线和所成的角的余弦值为，
所以异面直线和所成的角为，故选B.
本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8、D
【解析】
由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可.
【详解】
对于选项A： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，
差值为，接近2000万件，所以A是正确的；
对于选项B： 2018年1～4月的业务量同比增长率分别为，均超过，在3月最高，所以B是正确的；
对于选项C：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C是正确的；
对于选项D，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，3060%，42%，并不是逐月增长，D错误.
本题选择D选项.
本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9、B
【解析】
探寻规律，利用等差数列求和进行判断
【详解】
由题意得底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，则底数是数分裂成个奇数，则共有个奇数，
是从开始的第个奇数，
，
第个奇数是底数为的数的立方分裂的奇数的其中一个，即，
故选
本题考查了数字的变化，找出其中的规律，运用等差数列求出奇数的个数，然后进行匹配，最终还是考查了数列的相关知识。
10、C
【解析】∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有种不同挑选方法；
从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有种不同挑选方法；
∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有种不同挑选方法 故选C；
【考点】此题重点考察组合的意义和组合数公式；
【突破】从参加 “某项”切入，选中的无区别，从而为组合问题；由“至少”从反面排除易于解决；
11、D
【解析】
根据题意，中取0的个数为2,3,4.根据这个情况分类计算再相加得到答案.
【详解】
集合A中满足条件“”
中取0的个数为2,3,4.
则集合个数为：
故答案选D
本题考查了排列组合的应用，根据中取0的个数分类是解题的关键.
12、C

【解析】
由计算即可。
【详解】
在相应的极坐标系下，由于点位于第四象限，且极角满足，所以.
故选C.
本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
将左右两边的函数分别求导，取代入导函数得到答案.
【详解】

两边分别求导：

取

故答案为
本题考查了二项式定理的计算，对两边求导是解题的关键.
14、
【解析】
对不等式进行因式分解，，利用分离变量法转化为对应函数最值，即得到答案.
【详解】
，
即：恒成立

所以
故答案为
本题考查了不等式恒成立问题，因式分解是解题的关键.
15、1
【解析】
先求出二项式展开式的通项，然后根据分类讨论的方法得到常数项．
【详解】
二项式的展开式的通项为，
∴中的常数项为．
故答案为1．
对于含有两个括号的展开式的项的问题，求解时可分别求出每个二项式的展开式的通项，然后采用组合（即“凑”）的方法得到所求的项，解题时要做到细致、不要漏掉任何一种情况．
16、
【解析】
先求出切线方程，则可得到，令，从而转化为在R上恒为增函数，利用导函数研究单调性即可得到答案.
【详解】
根据题意得，故切线方程为，即
，令，此时，由于对恒成立，转化为
，则在R上恒为增函数，，此时，而，当时，，当时，，于是在处取得极小值，此时，而在R上恒为增函数等价于在R上恒成立，即即可，由于为极小值，则此时只能，故答案为2.
本题主要考查导函数的几何意义，利用导函数求函数极值，意在考查学生的分析能力，转化能力，计算能力，难度思维较大.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1） （2）极大值为，无极小值．
【解析】
（1）求出导函数，利用切线意义可列得方程组，于是可得答案；
（2）利用导函数判断在上的单调性，于是可求得极值.
【详解】
解：（1）
∵函数在处与直线相切，
∴，即，解得；
（2）由（1）得：，定义域为．
，
令，解得，令，得．
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴在上的极大值为，无极小值．
本题主要考查导数的几何意义，利用导函数求极值，意在考查学生的分析能力，转化能力和计算能力，比较基础.
18、（I） M＝(－2，2)．（Ⅱ）见解析
【解析】
试题分析：（1）将函数写成分段函数，再利用，即可求得M；
（2）利用作差法，证明，即可得到结论．
试题解析：（1），
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，恒成立；
综合以上：
（2）证明，
只需，
只需
∵
又∵，
∴
因此结果成立.
考点：不等式证明；绝对值函数
19、 (1);（2）.
【解析】（1）先运用三角函数定义与同角三角函数之间的关系求得两个锐角的正切，再代入求的值；（2）先求的值，再借助对应关系求解.
(1)由条件得，因为角是锐角，所以，，则.
（2）因为，角是锐角，所以，.
20、 (1) 的递增区间为，递减区间为．
(2) 最大值，最小值．
【解析】
分析：（1）求导数后，由可得增区间，由可得减区间．（2）根据单调性求出函数的极值和区间的端点值，比较后可得最大值和最小值．
详解：（1）∵，
∴．
由，解得或；
由，解得，
所以的递增区间为，递减区间为．
（2）由（1）知是的极大值点，是的极小值点，
所以极大值，极小值，
又，，
所以最大值，最小值．
点睛：（1）求单调区间时，由可得增区间，由可得减区间，解题时注意导函数的符号与单调性的关系．
（2）求函数在闭区间上的最值时，可先求出函数的极值和区间的端点值，通过比较后可得最大值和最小值．
21、（Ⅰ）（II）
【解析】
（I）计算出，由其实部为0，虚部不为0可求得值；
（II）计算出，由其实部小于0，虚部大于0可求得的取值范围．
【详解】
解：（I）由复数得=（）（）=3a+8+（6-4a）i
若是纯虚数，则3a+8=0，（6-4a）≠0，解得a=-
（II）=
若在复平面上对应的点在第二象限，则有
解得-
本题考查复数的乘除运算，考查复数的概念与几何性质，属于基础题．
22、（1）或；（2）
【解析】
（I）解法一：直线方程与椭圆方程联立化为一元二次方程，利用弦长公式即可得出．解法二：利用焦半径公式可得．
（II） II）设l2的方程为与椭圆联立：．假设存在点T（t，0）符合要求，设P（x1，y1），Q（x2，y2）．∠OTP=∠OTQ，再利用根与系数的关系即可得出．
【详解】
解：（I）设的方程为与椭圆联立得
直线经过椭圆内一点，故恒成立，设，则，
，
解得，的方程为或；
解2：由焦半径公式有，解得.
（II）设的方程为与椭圆联立：，由于过椭圆内一点，
假设存在点符合要求，设，韦达定理：
，点在直线上有
，即， ，
解得.
解决解析几何中探索性问题的方法
存在性问题通常采用“肯定顺推法”．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．