2025年云南省楚雄市古城二中高二数学第二学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2025年云南省楚雄市古城二中高二数学第二学期期末学业质量监测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．随机变量的概率分布为，其中是常数，则（ ）
A． B． C． D．
2．直线（为参数）上与点的距离等于的点的坐标是
A． B．
C．或 D．或
3．设是虚数单位，表示复数的共轭复数.若，则（ ）
A．-2 B． C．2 D．
4．学号分别为1，2，3，4的4位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
5．用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由到时，不等式的左边（　　）
A．增加了一项
B．增加了两项
C．增加了两项，又减少了一项
D．增加了一项，又减少了一项
6． “a＞0”是“|a|＞0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．现有60个机器零件，编号从1到60，若从中抽取6个进行检验，用系统抽样的方法确定所抽的编号可以是（ ）
A．3，13，23，33，43，53
B．2，14，26，38，40，52
C．5，8，31，36，48，54
D．5，10，15，20，25，30
8．在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（）.

A．23与26 B．31与26 C．24与30 D．26与30
9．对任意的，不等式（其中e是自然对数的底）恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为　　
A． B． C． D．
11．已知为虚数单位，，则复数的虚部为( )
A． B．1 C． D．
12．若，则“成等比数列”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则值为__________．
14．对于大于1的自然数n的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：，，，…，仿此，若的“分裂数”中有一个是49，则n的值为________.
15．高二（1）班有男生人，女生人，现用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个容量为的样本，则抽取的男生人数为____.
16．已知函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0)在（0,4）上是减函数，则实数k的取值范围是____________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知， ，．
（1）求b的值；
（2）求的值．
18．（12分）已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1， F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．
19．（12分）已知是同一平面内的三个向量，；
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角.
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）＝2，点M的极坐标为（，）．
（1）求点M的直角坐标和C2的直角坐标方程；
（2）已知直线C1与曲线C2相交于A，B两点，设线段AB的中点为N，求|MN|的值．
21．（12分）设是数列{}的前项和，，且.
(I)求数列{}的通项公式；
(Ⅱ)设，求.
22．（10分）如图，OA，OB是两条互相垂直的笔直公路，半径OA＝2km的扇形AOB是某地的一名胜古迹区域．当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB上新增一个入口P（点P不与A，B重合），并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB，MN，切点分别是B，P．当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低．设∠POA＝，公路MB，MN的总长为．

（1）求关于的函数关系式，并写出函数的定义域；
（2）当为何值时，投资费用最低？并求出的最小值．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
分析：由已知得可得a值，在求出期望算方差即可.
详解：因为随机变量的概率分布为，故得，故E（X）=,又，而,故= ，选B
点睛：考查分布列的性质和期望、方差的计算，熟悉公式即可，属于基础题.
2、D
【解析】
直接利用两点间的距离公式求出t的值，再求出点的坐标.
【详解】
由，
得，则，
则所求点的坐标为或.
故选D
本题主要考查直线的参数方程和两点间的距离公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
3、C
【解析】试题分析：因为，所以，所以，故选C.
考点：复数的运算.
视频
4、A
【解析】
先排1,2，再将3、4插空，用列举法，即可得出结果.
【详解】
先排好1、2，数字3、4插空，排除相邻学号，只有2种排法：3142、1．
故选A
本题主要考查计数原理，熟记概念即可，属于基础题型.
5、C
【解析】
解：n=k时，左边="1" /k+1 +1/ k+2 ++1/ k+k ，
n=k时，左边="1" /(k+1)+1 +1 /(k+1)+2 ++1 /(k+1)+(k+1)="(1/" k+1 +1 /k+2 ++1/ k+k )-1 /k+1 +1 /2k+1 +1/ 2k+2
故选C
6、A
【解析】
试题分析：本题主要是命题关系的理解，结合|a|＞0就是{a|a≠0}，利用充要条件的概念与集合的关系即可判断．
解：∵a＞0⇒|a|＞0，|a|＞0⇒a＞0或a＜0即|a|＞0不能推出a＞0，
∴a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件
故选A
考点：必要条件．
7、A
【解析】
由题意可知：，系统抽样得到的产品的编号应该具有相同的间隔，对此可以选出正确答案.
【详解】
∵根据题意可知，系统抽样得到的产品的编号应该具有相同的间隔，且间隔是。∴只有A符合要求，即后面的数比前一个数大10。
本题考查了系统抽样的原则.
8、B
【解析】
根据茎叶图的数据，结合众数与中位数的概念，即可求解，得到答案.
【详解】
根据茎叶图中的数据，可得众数是数据中出现次数最多的数据，即众数为，
又由中位数的定义，可得数据的中位数为，
故选B.
本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中正确读取茎叶图的数据，以及熟记众数、中位数的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9、B
【解析】
问题首先转化为恒成立，取自然对数只需恒成立，分离参数只需恒成立，构造，只要求得的最小值即可。这可利用导数求得，当然由于函数较复杂，可能要一次次地求导（对函数式中不易确定正负的部分设为新函数）来研究函数（导函数）的单调性。
【详解】
对任意的N，不等式（其中e是自然对数的底）恒成立，只需恒成立，只需恒成立，只需恒成立，构造，.
下证，再构造函数，设，令，，在时，，单调递减，即，所以递减，，即，所以递减，并且，所以有，所以，所以在上递减，所以最小值为.∴，即的最大值为。
故选：B。
本题考查不等式恒成立问题，解题时首先要对不等式进行变形，目的是分离参数，转化为研究函数的最值。本题中函数的最小值求导还不能确定，需多次求导，这考验学生的耐心与细心，考查学生的运算求解能力，难度很大。
10、C
【解析】
在第一次抽到理科题的条件下，剩余4道题中，有2道理科题，代入古典概型概率公式，得到概率．
【详解】
因为5道题中有3道理科题和2道文科题，
所以第一次抽到理科题的前提下，剩余4道题中，有2道理科题，
第2次抽到理科题的概率为．故选C．
本题考查的知识点是古典概型概率公式，分析出基本事件总数和满足条件的事件个数是解答的关键，但本题易受到第一次抽到理科题的影响而出错，容易按独立事件同时发生的概率求解．
11、A
【解析】
给两边同乘以，化简求出，然后可得到其虚部
【详解】
解：因为，所以

所以，所以虚部为
故选：A
此题考查复数的运算和复数的有关概念，属于基础题
12、B
【解析】
分析：根据等比数列的定义和等比数列的性质，即可判定得到结论．
详解：由题意得，例如，此时构成等比数列，而不成立，
反之当时，若，则，所以构成等比数列，
所以当时，构成等比数列是构成的等比数列的必要不充分条件，
故选B．
点睛：本题主要考查了等比数列的定义和等比数列的性质，其中熟记等比数列的性质和等比数列的定义的应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由题意，令， ，则，所以， ，即，当， ；当， ，如图所示，由勾股定理得，解得.

14、7
【解析】
n每增加1，则分裂的个数也增加1个，易得是从3开始的第24个奇数，利用等差数列求和公式即可得到.
【详解】
从到共用去奇数个数为，而是从3开始的第24个奇
数，当时，从到共用去奇数个数为个，当时，从到共用去奇数个
数为个，所以.
故答案为：7
本题考查新定义问题，归纳推理，等差数列的求和公式，考查学生的归纳推理能力，是一道中档题.
15、3
【解析】
根据分层抽样的比例求得.
【详解】
由分层抽样得抽取男生的人数为人，
故得解.
本题考查分层抽样，属于基础题.
16、.
【解析】
分析：先求导，再根据导函数零点分布确定不等式，解不等式得结果.
详解：因为 ，所以
因为函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0)在（0,4）上是减函数，
所以
点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) ．(2)
【解析】
（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求sin（B）＝0，结合范围B∈（，），可求B的值，由余弦定理可得b的值．
（2）由（1）及余弦定理可得cosC的值，计算出sinC，根据两角差的余弦函数公式即可计算得解cos（C﹣B）的值．
【详解】
（1）∵a＝2，c＝3，，可得：cosBsinBcosB，
∴可得：sin（B）＝0，
∵B∈（0，π），B∈（，），
∴B0，可得：B，
∴由余弦定理可得：b．
（2）由余弦定理得．可知，
故由得，．
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，两角差的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18、（1）8（2）[－2,0].
【解析】
（1）根据函数f（x）最小值是f（﹣1）=0，且c=1，求出a，b，c的值，即可求F（2）+F（﹣2）的值；
（2）由于函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R），且a=1，c=0，所以f（x）=x2+bx，进而在满足|f（x）|≤1在区间（0，1]恒成立时，求出即可．
【详解】
(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，
解得a＝1，b＝2，∴f(x)＝(x＋1)2.
∴F(x)＝
∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)由a＝1，c＝0，得f(x)＝x2＋bx，
从而|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立等价于－1≤x2＋bx≤1在区间(0，1]上恒成立，
即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立.
又－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.
∴－2≤b≤0.
故b的取值范围是[－2，0].
利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
19、（1）或；（2）.
【解析】
（1）设向量，根据和得到关于的方程组，从而得到答案；（2）根据与垂直，得到的值，根据向量夹角公式得到的值，从而得到的值.
【详解】
（1）设向量，
因为，，，
所以，解得，或
所以或；
（2）因为与垂直，
所以，
所以
而，，
所以，得，
与的夹角为，所以，
因为，所以.
本题考查根据向量的平行求向量的坐标，根据向量的垂直关系求向量的夹角，属于简单题.
20、（1）M的极坐标为（1，），C2的直角坐标方程为x2+2y2＝2（2）
【解析】
（1）根据极坐标与直角坐标的转化公式，得到M的直角坐标，利用，得到曲线的直角坐标方程；（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，得到，而所求的，从而得到答案.
【详解】
（1） 由点M的极坐标为（，），

可得点M的直角坐标为（1，），
由ρ2（1+sin2θ）＝2，得ρ2+ρ2sin2θ＝2，
∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
∴C2的直角坐标方程为x2+2y2＝2；
（2）把（t为参数）代入x2+2y2＝2，
得7t2+24t+16＝1．
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，
又N点对应的参数为，
∴|MN|．
本题考查参数方程与极坐标方程化直角坐标方程，直线参数方程的几何意义，属于中档题.
21、（Ⅰ）an＝2n．（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）利用数列递推关系即可得出．(Ⅱ)利用裂项求和即可求解．
【详解】
∵4Sn＝an（an+2），①
当n＝1时得，即a1＝2，
当n≥2时有4Sn﹣1＝an﹣1（an﹣1+2）②
由①﹣②得，
即2（an+an﹣1）＝（an+an﹣1）（an﹣an﹣1），
又∵an＞0，
∴an﹣an﹣1＝2，
∴an＝2+2（n﹣1）＝2n．
（Ⅱ）∵，
∴Tn＝b1+b2+…+bn
本题考查了数列递推关系、裂项求和、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22、 (1) ;(2) 当时，投资费用最低，此时的最小值为.
【解析】
（1）由题意，设，利用平面几何的知识和三角函数的关系式及三角恒等变换的公式，即可得函数的关系式；
（2）利用三角函数的基本关系式和恒等变换的公式，求得的解析式，再利用基本不等式，即可求得投资的最低费用，得到答案.
【详解】
（1）连接，在中，，故，
据平面几何知识可知,
在中，，故，
所以，
显然，所以函数的定义域为，
即函数关系式为，且．
（2）化简（1）中的函数关系式可得：

令，则，代入上式得：

当且仅当时取“＝”，此时
求得，又，所以
∴当时，投资费用最低，此时的最小值为.
本题主要考查了三角函数的实际应用，以及基本不等式求最值问题，其中根据平面几何的知识和三角函数的关系式和恒等变换的公式，得到函数的解析式是解答的关键，着重靠考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.