2025年云南省玉溪市玉溪第一中学数学高二下期末综合测试模拟试题含解析.doc

2025年云南省玉溪市玉溪第一中学数学高二下期末综合测试模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列函数既是奇函数又在（﹣1，1）上是减函数的是（　　）
A． B．
C．y＝x﹣1 D．y＝tanx
2．在平行四边形中，，点在边上，，将沿直线折起成，为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与直线共面 B．
C．可以是直角三角形 D．
3．函数的大致图象是( )
A． B． C． D．
4．等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前项和（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称，则可以是（ ）
A． B． C． D．
6．已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是（ ）.
A．-1 B． C． D．
7．已知三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．某体育彩票规定: 从01到36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想先选定吉利号18，然后再从01到17个号中选出3个连续的号，从19到29个号中选出2 个连续的号，从30到36个号中选出1个号组成一注．若这个人要把这种要求的号全买，至少要花的钱数为( )
A．2000元 B．3200 元 C．1800元 D．2100元
9．有五名同学站成一排拍毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法种数为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
10．等比数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．270 B．150 C．80 D．70
11．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
12．在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩X～N(85,9)，若已知 ，则从哈尔滨市高中教师中任选一位教师，他的培训成绩大于90的概率为 （ ）
A．0.85 B．0.65 C．0.35 D．0.15
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知P是底面为正三角形的直三棱柱的上底面的中心，作平面与棱交于点D．若，则三棱锥的体积为_____．
14．函数，对任意，恒有，则的最小值为________.
15．数列的前n项和记为，则__________.
16．三棱锥中，平面，，则三棱锥外接球的体积为_____.
三、解答题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列的前项和，函数对任意的都有，数列满足.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列满足，是数列的前项和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在请求出的取值范围；若不存在请说明理由．
18．（12分）已知抛物线，为其焦点，过的直线与抛物线交于、两点．
（1）若，求点的坐标；
（2）若线段的中垂线交轴于点，求证：为定值；
（3）设，直线、分别与抛物线的准线交于点、，试判断以线段为直径的圆是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
19．（12分）（12分）甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为，被甲或乙解出的概率为，（1）求该题被乙独立解出的概率；
（2）求解出该题的人数的数学期望和方差
20．（12分）如图，多面体中，两两垂直，且，，，
.

(Ⅰ) 若点在线段上，且，求证: 平面；
(Ⅱ)求直线与平面所成的角的正弦值；
(Ⅲ)求锐二面角的余弦值.
21．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：

（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
（i）利用该正态分布，求；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求.
附：
若则，．
22．（10分）已知，．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）对一切的时，恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
对各选项逐一判断即可，
利用在上为增函数，在上为减函数,即可判断A选项不满足题意，
令，即可判断其在递增，结合复合函数的单调性判断法则即可判断B选项满足题意
对于C,D，由初等函数性质，直接判断其不满足题意.
【详解】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，在上为增函数，在上为减函数,所以y（3x﹣3﹣x）在R上为增函数，不符合题意；
对于B，，所以是奇函数，
令，则由，两个函数复合而成
又，它在上单调递增
所以既是奇函数又在（﹣1，1）上是减函数，符合题意，
对于C，y＝x﹣1是反比例函数，是奇函数，但它在（﹣1，1）上不是减函数，不符合题意；
对于D，y＝tanx为正切函数，是奇函数，但在（﹣1，1）上是增函数，不符合题意；
故选：B．
本题主要考查了函数奇偶性的判断，还考查了复合函数单调性的判断法则及初等函数的性质，属于中档题。
2、C
【解析】
（1）通过证明是否共面，来判断直线与直线是否共面；
（2）取特殊位置，证明是否成立；（3）寻找可以是直角三角形的条件是否能够满足；（4）用反证法思想，说明能否成立．
【详解】
，
如图，因为四点不共面，所以面，故直线与直线不共面；
沿直线折起成，位置不定，当面面 ，此时；
取中点，连接，则，若有，则面
即有，在中，明显不可能，故不符合；
在中，,，而，所以当时，可以是直角三角形；
本题通过平面图形折叠，考查学生平面几何知识与立体几何知识衔接过渡能力，涉及反证法、演绎法思想的应用，意在考查学生的直观想象和逻辑推理能力．
3、A
【解析】
利用函数的奇偶性，排除选项B,D，再利用特殊点的函数值判断即可．
【详解】
函数为非奇非偶函数，排除选项B,D；
当 ,f（x）<0，排除选项C，
故选：A．
本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的图象的变化趋势是判断函数的图象的常用方法．
4、A
【解析】
试题分析：由已知得，，又因为是公差为2的等差数列，故，，解得，所以，故．
【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n项和．
5、B
【解析】
求出函数图象平移后的函数解析式，再利用函数图象关于原点对称，即，求出，比较可得.
【详解】
函数的图象向右平移个单位后得到.
此函数图象关于原点对称，所以.所以.
当时，．
故选B.
由的图象，利用图象变换作函数的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位.
6、A
【解析】
先根据的单调性确定出最小值从而确定出的值，再由不等式即可得到的范围，根据二次函数零点的分布求解出的取值范围.
【详解】
因为，
所以当 时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，所以，所以，
又因为，所以，
因为对应的，且有零点，
（1）当时，或，
所以，所以，所以，
2）当时，或，
此时，所以，
综上可知：，所以.
故选：A.
本题考查利用导数判断函数的零点以及根据二次函数的零点分布求解参数范围，属于综合性问题，难度较难.其中处理二次函数的零点分布问题，除了直接分析还可以采用画图象的方法进行辅助分析.
7、D
【解析】
根据题意画出图形，结合图形把三棱锥补充为长方体，则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，计算长方体的对角线，求出外接球的直径和表面积．
【详解】
根据题意画出图形，如图所示，

以AB、BD和CD为棱，把三棱锥补充为长方体，
则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，
且长方体的对角线是外接球的直径；
，
外接球O的表面积为．
故选：D．
本题考查了三棱锥外接球表面积计算问题，将三棱锥补成长方体，是求外接球直径的关键，属于中档题．
8、D
【解析】
第步从到中选个连续号有种选法；第步从到中选个连续号有种选法；第步从到中选个号有种选法.由分步计数原理可知：满足要求的注数共有注,故至少要花,故选D.
9、D
【解析】
根据题意，假设有1、2、3、4、5，共5个位置，分3步进行分析：①将甲安排在3号位置；②在1、2、4、5中一个位置任选1个，安排乙，依据乙、丙两位同学不能相邻，再安排丙；③将剩下的2名同学全排列，安排在剩下的2个位置，由分步计数原理计算可得答案.
【详解】
解：根据题意，假设有1、2、3、4、5，共5个位置，分3步进行分析：
①甲必须站在正中间，将甲安排在3号位置；
②在1、2、4、5中一个位置任选1个，安排乙，有4种情况，
由于乙、丙两位同学不能相邻，则丙有2种安排方法；
③将剩下的2名同学全排列，安排在剩下的2个位置，有种安排方法.
故有1×4×2×2=16种安排方法.
故选：C.
本题考查排列组合的应用，注意题目的限制条件，优先满足受到限制的元素.
10、B
【解析】
根据题意等比数列的公比，由等比数列的性质有， 成等比数列，可得答案.
【详解】
根据题意等比数列的公比.
由等比数列的性质有， 成等比数列
所以有，则，
所以，
故选：B
本题考查等比数列的前项和的性质的应用,属于中档题.
11、C
【解析】
先求解绝对值不等式得到集合A，然后直接利用交集运算可得答案。
【详解】
解：因为，所以，得，
所以集合，又因为，所以，故选C.
本题主要考查了绝对值不等式及交集运算，较基础.
12、D
【解析】
先求出,再求出培训成绩大于90的概率.
【详解】
因为培训成绩X～N(85,9)，所以2×0.35=0.7，
所以P(X＞90)=，所以培训成绩大于90的概率为0.15.
故答案为：D.
（1）本题主要考查正态分布，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)解答正态分布问题，不要死记硬背，要根据函数的图像和性质解答.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由题意画出图形，求出AD的长度，代入棱锥体积公式求解．
【详解】
如图，

∵P为上底面△A1B1C1的中心，∴A1P，
∴tan．
设平面BCD交AP于F，连接DF并延长，交BC于E，
可得∠DEA＝∠PAA1，则tan∠DEA．
∵AE，∴AD．
∴三棱锥D﹣ABC的体积为V．
故答案为．
本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．
14、
【解析】
∵，
∴，
∴当时，单调递减；当时，单调递增。
∴当时，有最大值，且。

又，
∴。
由题意得等价于。
∴的最小值为。
答案：
15、
【解析】
试题分析：由可得：，所以,则数列是等比数列，首项为3，公比为3，所以。
考点：数列求通项公式。
16、
【解析】
画出示意图，根据“球心与任意小圆面的圆心的连线垂直于小圆圆面、球心与弦中点的连线垂直于弦”确定外接球的球心所在位置，最后计算出体积.
【详解】

如图所示：为等腰直角三角形，所以的外接圆圆心即为中点，过作一条直线，平面，则圆心在直线上，过的中点作，垂足为，此时可知：，故即为球心，所以球的半径，所以球的体积为：.
本题考查外接球的体积计算,难度一般.求解外接球、内切球的有关问题，第一步先确定球心，第二步计算相关值.其中球心的确定有两种思路：（1）将几何体放到正方体或者长方体中直接确定球心；（2）根据球心与小圆面的圆心、弦中点等的位置关系确定球心.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)，;(2).
【解析】
分析：（1）利用的关系，求解；倒序相加求。
（2）先用错位相减求，分离参数，使得对于一切的恒成立，转化为求的最值。
详解：（1）

时满足上式，故
∵=1∴
∵ 　　　 ①
∴ 　　　②
∴①+②，得.
（2）∵，∴
∴ 　　　 ①
， ②
①－②得
即
要使得不等式恒成立，
恒成立对于一切的恒成立，
即 ，令，则

当且仅当时等号成立，故 所以为所求.
点睛：1、，一定要注意，当时要验证是否满足数列。
2、等比乘等差结构的数列用错位相减。
3、数列中的恒成立问题与函数中的恒成立问题解法一致。
18、（1）或；（2）证明见解析；（3）以线段为直径的圆过定点,定点的坐标或.
【解析】
（1）设点、，设直线的方程为将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由，可得出，代入韦达定理可求出的值，由此可得出点的坐标；
（2）求出线段的中垂线的方程，求出点的坐标，求出、的表达式，即可证明出为定值；
（3）根据对称性知，以线段为直径的圆过轴上的定点，设定点为，求出点、的坐标，由题意得出，利用平面向量数量积的坐标运算并代入韦达定理，可求出的值，从而得出定点的坐标.
【详解】
（1）设点、，设直线的方程为，易知点，
，，由可得，得.
将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，，
由韦达定理得，，，，得.
此时，，因此，点的坐标为或；
（2）易知，，，
所以，线段的中点坐标为，则直线的方程为，

即，在该直线方程中，令，得，则点.
，
，因此，（定值）；
（3）如下图所示：

抛物线的准线方程为，设点、.
，，
、、三点共线，则，则，得，
则点，同理可知点.
由对称性可知，以线段为直径的圆过轴上的定点，则.
，.
，解得或.
因此，以线段为直径的圆过定点和.
本题考查抛物线中的向量成比例问题、线段长度的比值问题以及圆过定点问题，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法进行求解，考查运算求解能力，属于难题.
19、（1）；（2）

【解析】
试题分析：解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为.
设甲独立解出此题的概率为，乙为.
则

考点：本题主要考查离散型随机变量的概率计算。
点评：注意事件的相互独立性及互斥事件，利用公式计算概率。
20、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）分别取的中点，连接，由已知条件推导出四边形是平行四边形，从而得到，即可证明平面；（Ⅱ）以点为原点，分别以所在直线为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，利用法向量即可求出直线与平面所成的角的正弦值；（Ⅲ）分别求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法即可求出二面角的余弦值.
试题解析：（Ⅰ）分别取的中点，连接，则有，.
∵，∴，又∵，∴，
∴四边形是平行四边形， ∴，
又∵平面，平面，∴平面；
（Ⅱ）如图，以点为原点，分别以所在直线为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系.则 ，
，，，
设平面的一个法向量，则有
，化简，得，
令，得，
设直线与平面所成的角为，则有，
∴直线与平面所成的角的正弦值为；

（Ⅲ）由已知平面的法向量，，
设平面的一个法向量，则有
∴，∴，令，则，
设锐二面角的平面角为，
则 ，
∴锐二面角的余弦值为.
21、（I）；（II）（i）；（ii）．
【解析】
试题分析：（I）由频率分布直方图可估计样本特征数众数、中位数、均值、方差．若同一组的数据用该组区间的中点值作代表，则众数为最高矩形中点横坐标．中位数为面积等分为的点．均值为每个矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值．方差是矩形横坐标与均值差的平方的加权平均值．（II）（i）由已知得，
，故；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，相当于100次独立重复试验，则这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数，故期望．
试题分析：（I）抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差分别为
，
．
（II）（i）由（I）知，服从正态分布，从而
．
（ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以．
【考点定位】1、频率分布直方图；2、正态分布的原则；3、二项分布的期望．
22、（Ⅰ）f（x）的极小值是（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）对求导，并判断其单调性即可得出极值。
（Ⅱ）化简成，转化成判断的最值。
【详解】
解：（Ⅰ），，
，令，解得：，令，解得：，
∴在递减，在递增，
∴的极小值是；
（Ⅱ）∵，
由题意原不等式等价于在上恒成立，
即，可得，
设，则，
令，得，（舍），
当时，，当时，，
∴当时，h（x）取得最大值，，
∴，即a的取值范围是．
本题主要考查了函数极值的判断以及函数最值的问题，在解决此类问题时通常需要求二次导数或者构造新的函数再次求导。本题属于难题。