2025年江苏省徐州市睢宁高级中学南校高二下数学期末联考模拟试题含解析.doc

2025年江苏省徐州市睢宁高级中学南校高二下数学期末联考模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么、、中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ）
A．假设、、都是偶数
B．假设、、都不是偶数
C．假设、、至多有一个偶数
D．假设、、至多有两个偶数
2．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
3．某班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”，则在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
4．为了测算如图所示的阴影部分的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷600个点已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是　　

A．4 B．3 C．2 D．1
5．若，，满足，，.则（）
A． B． C． D．
6．下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是
A． B． C． D．
7．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
8．某体育彩票规定: 从01到36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想先选定吉利号18，然后再从01到17个号中选出3个连续的号，从19到29个号中选出2 个连续的号，从30到36个号中选出1个号组成一注．若这个人要把这种要求的号全买，至少要花的钱数为( )
A．2000元 B．3200 元 C．1800元 D．2100元
9．若直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．复数z满足，则复数z＝( )
A．1－i B．1＋2i C．1＋i D．－1－i
11．已知直线的参数方程为（为参数），则的倾斜角是
A． B． C． D．
12．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于3”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P（B/A）的值等于（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知点在圆上，点在椭圆上，，则的最小值为__________．
14．设随机变量ξ服从二项分布 ，则等于_______
15．设和是关于的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数_______________.
16．已知函数，则的解集是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的离心率为，一个焦点在直线上，直线与椭圆交于两点，其中直线的斜率为，直线的斜率为。
（1）求椭圆方程；
（2）若，试问⊿的面积是否为定值，若是求出这个定值，若不是请说明理由。
18．（12分）由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在1分钟内完成，否则派下一个人．3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局．根据以往100次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图．

（1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为47，求a、b的值，并分别求出甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率；
（2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在1分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立．
①求该团队能进入下一关的概率；
②该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目X的数学期望达到最小，并说明理由．
19．（12分）已知函数
（Ⅰ）若，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若，判断与的大小关系并证明.
20．（12分）已知复数，其中i为虚数单位.
（1）若复数z是实数，求实数m的值；
（2）若复数z是纯虚数，求实数m的值.
21．（12分）已知函数 .
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）函数在上是减函数，求实数a的取值范围.
22．（10分）如图（1），等腰梯形，，，，，分别是的两个三等分点，若把等腰梯形沿虚线、折起，使得点和点重合，记为点， 如图（2）．

（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据反证法的概念，可知假设应是所证命题的否定，即可求解，得到答案。
【详解】
根据反证法的概念，假设应是所证命题的否定，
所以用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数”时，假设应为“假设都不是偶数”，故选B。
本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，准确作出所证命题的否定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
2、B
【解析】
根据函数单调性和奇偶性的性质分别对选项进行判断即可
【详解】
对于A，为奇函数，在区间为单调增函数，不满足题意；
对于B, 为偶函数，在区间上为单调递减的函数，故B满足题意；
对于C,为偶函数，在区间上为周期函数，故C不满足题意；
对于D, 为偶函数，在区间为单调增函数，故D不满足题意；
故答案选B
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质.
3、A
【解析】
分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，都是0、1、2、3天，共四种情况，利用组合知识可得结论．
详解：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，
所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，
所以共有=141种．
故选：A．
点睛：本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同是关键．
4、B
【解析】
根据几何概率的计算公式可求，向正方形内随机投掷点，落在阴影部分的概率，即可得出结论．
【详解】
本题中向正方形内随机投掷600个点，相当于600个点均匀分布在正方形内，
而有200个点落在阴影部分，可知阴影部分的面积．
故选：B．
本题考查的是一个关于几何概型的创新题，属于基础题解决此类问题的关键是读懂题目意思，然后与学过的知识相联系转化为熟悉的问题．在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．
5、A
【解析】
利用指数函数和对数函数的单调性即可比较大小.
【详解】
，，，
，，
，，，
，
故选：A.
本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力和推理能力，属于基础题.
6、B
【解析】
分析：确定函数过定点（1，0）关于x=1对称点，代入选项验证即可．
详解：函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0只有过此点．
故选项B正确
点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题．
7、B
【解析】
根据基本初等函数的单调性和奇偶性，逐一分析四个函数在上的单调性和奇偶性，逐一比照后可得答案.
【详解】
对于A:是奇函数，对于B:为偶函数，且在上单调递增；对于C:为偶函数，但在上单调递减；对于D:是减函数；
所以本题答案为B.
本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法，（正为偶函数，负为减函数）；（2）和差法，（和为零奇函数，差为零偶函数）；3）作商法，（1为偶函数，-1为奇函数）.
8、D
【解析】
第步从到中选个连续号有种选法；第步从到中选个连续号有种选法；第步从到中选个号有种选法.由分步计数原理可知：满足要求的注数共有注,故至少要花,故选D.
9、C
【解析】
分析：由直线与曲线相切，可以表示出的值，然后用导数求出的最小值
详解：由题意可得，设切点坐标为
，，则

则，令
，
时，，递减
时，，递增

的最小值为
故选
点睛：本题主要考查了运用导数的几何意义来求相切情况，在解答多元问题时，要将其转化为单元问题，本题在求解中转化为关于变量的最值，利用导数即可求出最小值。
10、D
【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
，，故选D．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
11、B
【解析】
将直线的参数方程化为普通方程，得出该直线的斜率，即可得出该直线的倾斜角。
【详解】
直线的直角坐标方程为，斜率所以.故选：B.
本题考查利用直线的参数方程求直线的倾斜角，参数方程化为普通方程是常用方法，而参数方程化为普通方程有两种常见的消参方法：①加减消元法；②代入消元法；③平方消元法。
12、C
【解析】
利用古典概型的概率公式计算出和，然后利用条件概率公式
可计算出结果。
【详解】
事件甲的骰子的点数大于，且甲、乙两骰子的点数之和等于，则事件包含的基本事件为、、，由古典概型的概率公式可得，
由古典概型的概率公式可得，
由条件概率公式得，故选：C.
本题考查条件概率的计算，解题时需弄清楚各事件的基本关系，并计算出相应事件的概率， 解题的关键在于条件概率公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
分析：根据题意，
详解：根据题意，当三点共线时.
点睛：本题考查椭圆的定义，看出最小值IDE求法，属难题.
14、
【解析】
利用独立重复试验的概率计算出、、、，再将这些相加可得出.
【详解】
由于，所以，，，
，，
因此，，故答案为：.
本题考查二项分布独立重复试验的概率，解这类问题要注意将基本事件列举出来，关键在于灵活利用独立重复试验的概率公式进行计算，考查计算能力，属于中等题。
15、
【解析】
由题意，可设α＝a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β＝a﹣bi，且m与n为实数，b≠1．由根与系数的关系得到a，b的关系，由α，β，1对应点构成直角三角形，求得到实数m的值
【详解】
设α＝a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β＝a﹣bi，且m与n为实数，n≠1．
由根与系数的关系可得α+β＝2a＝﹣2，α•β＝a2+b2＝m．
∴m＞1．
∴a＝﹣1，m＝b2+1，
∵复平面上α，β，1对应点构成直角三角形，
∴α，β在复平面对应的点分别为A，B，则OA⊥OB，所以b2＝1，所以m＝1+1＝2；，
故答案为：2
本题主要考查实系数一元二次方程虚根成对定理、根与系数的关系，三角形是直角三角形是解题的关键，属于基础题．
16、
【解析】
讨论的值，去掉绝对值，作出函数图像，由图象可得原不等式或，分别求出它们，再求并集即可.
【详解】
根据题意，当时，，当时，

由函数的图象可得在上递增，不等式即为或，化简得或，解得或，即，故解集为。
本题主要考查了函数的单调性以及一元二次不等式的解法，利用图像来分析不等式的解是解题的关键，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）是定值.
【解析】
(1)根据离心率公式和焦点公式计算得到答案.
(2)设点和直线，联立方程，根据韦达定理得到根与系数关系，计算PQ和点到直线距离，表示出面积，根据化简得到答案.
【详解】
解：（1）由题意可知椭圆的一个焦点为即而所以椭圆方程为
（2）设当直线的斜率存在时，设其方程为，联立椭圆方程得，则，

点到直线的距离
所以
由化简得代入上式得
若直线斜率不存在易算得
综合得，三角形的面积是定值
本题考查了椭圆的方程的计算，面积的表示和定值问题，计算量较大，意在考查学生的计算能力.
18、（1），，甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率分别是0.9，0.7；（2）①0.985；②先派出甲，再派乙，最后派丙.
【解析】
（1）根据频率分布直方图中左右两边矩形面积均为计算出中位数，可得出、的值，再分别计算甲、乙在分钟内解开密码锁的频率值；
（2）①利用独立事件概率的乘法公式可计算出所求事件的概率；
②分别求出先派甲和先派乙时随机变量的数学期望，比较它们的大小，即可得出结论．
【详解】
（1）甲解开密码锁所需时间的中位数为47，
，解得；
，解得；
∴甲在1分钟内解开密码锁的频率是；
乙在1分钟内解开密码锁的频率是；
（2）由（1）知，甲在1分钟内解开密码锁的频率是0.9，乙是0.7，丙是0.5，
且各人是否解开密码锁相互独立；
①令“团队能进入下一关”的事件为，“不能进入下一关”的事件为，
，
∴该团队能进入下一关的概率为；
②设按先后顺序自能完成任务的概率分别p1，p2，p3，且p1，p2，p3互不相等，
根据题意知X的取值为1，2，3；
则，， ，
，
，
若交换前两个人的派出顺序，则变为，
由此可见，当时，
交换前两人的派出顺序可增大均值，应选概率大的甲先开锁；
若保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序，
，
∴交换后的派出顺序则变为，
当时，交换后的派出顺序可增大均值；
所以先派出甲，再派乙，最后派丙，
这样能使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小．
本题考查频率分布直方图中位数的计算、离散型随机变量分布列与数学期望，在作决策时，可以依据数学期望和方差的大小关系来作出决策，考查分析问题的能力，属于难题．
19、（Ⅰ）；（Ⅱ），证明见解析.

【解析】
（Ⅰ）通过讨论a的范围，去掉绝对值，解不等式，确定的范围即可；
（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质判断即可．
【详解】
（I）因为，所以.
① 当时，得，解得，所以;
② 当时，得，解得，所以;
③ 当时，得，解得，所以;
综上所述，实数的取值范围是
（II） ，因为,
所以
本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的证明，是一道中档题．
20、（1）或；（2）.
【解析】
（1）由实数定义可知虚部为零，由此构造方程求得结果；
（2）由纯虚数定义可知实部为零且虚部不为零，由此构造方程求得结果.
【详解】
（1）令，解得：或 当或时，复数是实数
（2）令，解得：或
又，即：且
当时，复数是纯虚数
本题考查根据复数的类型求解参数值的问题，关键是熟练掌握实数和纯虚数的定义；易错点是在复数为纯虚数时，忽略的要求，造成求解错误.
21、 (1)减区间为（0，），（1，+∞），增区间为（，1）；(2)
【解析】
分析：（1）求导得，得到减区间为（0，），（1，+∞），增区间为（，1）；
（2），在x∈（2，4）上恒成立，等价于上恒成立，即可求出实数a的取值范围
详解：（1）

函数的定义域为（0，+∞），在区间（0，），（1，+∞）上f ′（x）＜0. 函数为减函数；在区间（，1）上f ′（x＞0. 函数为增函数.
（2）函数在（2，4）上是减函数，则，在x∈（2，4）上恒成立.

实数a的取值范围
点睛：本题考查导数的综合应用．导数的基本应用就是判断函数的单调性，，单调递增，，单调递减．当函数含参时，则一般采取分离参数法，转化为已知函数的最值问题，利用导数求解.
22、（1）详见解析；（2）.
【解析】
（1）推导出，，从而面，由此能证明平面平面；
（2）过点作于，过点作的平行线交于点，则面，以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【详解】
（1）证明：四边形为等腰梯形，，，，，是 的两个三等分点，
四边形是正方形，，
，且，面，
又平面，平面平面；
（2）过点作于点，过点作的平行线交于点，则面，
以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，
,,,，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面的法向量，
则，∴，取，得：，
设平面与平面所成锐二面角为，
则．
平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
本题考查平面与平面垂直的判定以及二面角平面角的求法，属于常考题.