安徽省合肥市一中、六中、八中2025年数学高二下期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

安徽省合肥市一中、六中、八中2025年数学高二下期末学业质量监测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过点且与平行的直线与圆：交于两点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．某班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”，则在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
3．已知，若将其图像右移个单位后,图象关于原点对称，则的最小值是 ( )
A． B． C． D．
4．已知等差数列中， ，则（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
5．推理“①圆内接四边形的对角和为；②等腰梯形是圆内接四边形；③”中的小前提是（　）
A．① B．② C．③ D．①和②
6．以下几个命题中：
①线性回归直线方程恒过样本中心；
②用相关指数可以刻画回归的效果，值越小说明模型的拟合效果越好；
③随机误差是引起预报值和真实值之间存在误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差；
④在含有一个解释变量的线性模型中，相关指数等于相关系数的平方.
其中真命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为（ ）
A． B． C． D．
8．在的展开式中，含项的系数为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
9．欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
10． “数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相间，若中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（ ）

A．72 B．108 C．144 D．196
11．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A． B． C． D．
12．一盒中装有5张彩票，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票．设第1次抽出的彩票有奖的事件为A，第2次抽出的彩票有奖的事件为B，则( )
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在的展开式中，含项的系数为______．
14．已知直线过点，且它的一个方向向量为，则原点到直线的距离为______．
15．曲线在点处的切线方程为______．
16．从字母中选出个字母排成一排，其中一定 要选出和，并且它们必须相邻(在前面)，共有排列方法__________种.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）
（Ⅰ）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程;
（Ⅱ）若过且与直线垂直的直线与曲线相交于两点，，求.
18．（12分）已知直线l的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)写出直线l经过的定点的直角坐标，并求曲线的普通方程；
(2)若，求直线的极坐标方程，以及直线l与曲线的交点的极坐标．
19．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；
（2）设动点在圆上，动线段的中点的轨迹为，与直线交点为，且直角坐标系中，点的横坐标大于点的横坐标，求点的直角坐标.
20．（12分）在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P.
（1）当时，求及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
21．（12分）高二年级数学课外小组人:
（1）从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法?
（2）从中选名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法?
22．（10分）设椭圆的离心率为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
由题意可得直线，求得圆心到直线距离，再由弦长公式即可求解
【详解】
设直线过点，可得，则直线
圆的标准方程为，圆心为，
圆心到直线距离，
，故选D
本题考查用设一般方程求平行直线方程以及几何法求圆的弦长问题
2、A
【解析】
分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，都是0、1、2、3天，共四种情况，利用组合知识可得结论．
详解：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，
所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，
所以共有=141种．
故选：A．
点睛：本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同是关键．
3、C
【解析】
利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得φ的最小值．
【详解】
∵f（x）＝sinxcosx＝2sin（x） （x∈R），
若将其图象右移φ（φ＞0）个单位后，可得y＝2sin（x﹣φ）的图象；
若所得图象关于原点对称，则﹣φkπ，k∈Z，
故φ的最小值为，
故选：C．
本题主要考查两角和差的三角公式，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．
4、A
【解析】
等差数列中，，
，
．
故选A．
5、B
【解析】
由演绎推理三段论可知, ①是大前提；②是小前提；③是结论．
【详解】
由演绎推理三段论可知, ①是大前提；②是小前提；③是结论，故选B．
本题主要考查演绎推理的一般模式．
6、C
【解析】
由线性回归直线恒过样本中心可判断①，由相关指数的值的大小与拟合效果的关系可判断②，由随机误差和方差的关系可判断③，由相关指数和相关系数的关系可判断④.
【详解】
①线性回归直线方程恒过样本中心,所以正确.
②用相关指数可以刻画回归的效果，值越大说明模型的拟合效果越好，所以错误.
③随机误差是引起预报值和真实值之间存在误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差；所以正确.
④在含有一个解释变量的线性模型中，相关指数等于相关系数的平方,所以正确.
所以①③④正确.
故选：C
本题考查线性回归直线方程和相关指数刻画回归效果、以及与相关系数的变形，属于基础题.
7、B
【解析】
根据展开式中二项式系数最大的项是，由此求出它的系数．
【详解】
的展开式中，二项式系数最大的项是
其系数为-1．
故选B.．
本题考查了二项式展开式系数的应用问题，是基础题．
8、B
【解析】
分析：利用二项展开式的通项公式求出的第项，令的指数为2求出展开式中 的系数．然后求解即可．
详解：6展开式中通项
令可得， ，
∴展开式中x2项的系数为1，
在的展开式中，含项的系数为：1．
故选：B．
点睛：本题考查二项展开式的通项的简单直接应用．牢记公式是基础，计算准确是关键．
9、C
【解析】
先由题意得到，进而可求出结果.
【详解】
由题意可得：，所以虚部为.
故选C
本题主要考查复数的应用，熟记复数的概念即可，属于常考题型.
10、C
【解析】
分步完成，5的上方和左边只能从1，2，3，4中选取，5的下方和右边只能从6，7，8，9中选取．
【详解】
按题意5的上方和左边只能从1，2，3，4中选取，5的下方和右边只能从6，7，8，9中选取．因此填法总数为．
故选：C.
本题考查分步计数原理．解题关键是确定完成这件事的方法．
11、D
【解析】
先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.
【详解】
解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，
，又，分别为、中点，
，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ，故选D．

解法二:
设，分别为中点，
，且，为边长为2的等边三角形，
又
中余弦定理，作于，，
为中点，，，
，，又，两两垂直，，，，故选D.
本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．
12、D
【解析】
由题意，第1次抽出的彩票有奖剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，即可求出．
【详解】
由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，
所以．
故选：D．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
利用二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，再代入通项可得出项的系数.
【详解】
二项式展开式的通项为，
令，因此，在的展开式中，含项的系数为，故答案为：.
本题考查利用二项式通项求指定项的系数，考查运算求解能力，属于基础题.
14、
【解析】
求出直线的方程，然后利用点到直线的距离公式可求出原点到直线的距离.
【详解】
由于直线的一个方向向量为，则直线的斜率为，所以，直线的方程为，即，因此，原点到直线的距离为.
故答案为：.
本题考查点到直线距离的计算，同时也考查了直线方向向量的应用，解题时要根据题中条件得出直线的斜率，并写出直线的方程，考查计算能力，属于中等题.
15、
【解析】
求出函数的导数，可得切线的斜率，运用斜截式方程可得切线的方程．
【详解】
曲线y＝（1﹣3a）ex在点（1，1），可得：1＝1﹣3a，解得a＝1，
函数f（x）＝ex的导数为f′（x）＝ex，
可得图象在点（1，1）处的切线斜率为1，
则图象在点（1，1）处的切线方程为y＝x+1，
即为x﹣y+1＝1．
故答案为：x﹣y+1＝1．
本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和运用斜截式方程是解题的关键，属于基础题．
16、36
【解析】
从剩余的4个字母中选取2个，再将这2个字母和整体进行排列，根据分步计数原理求得结果．
【详解】
由于已经选出，故再从剩余的4个字母中选取2个，方法有种，
再将这2个字母和整体进行排列，方法有种，
根据分步计数原理求得所有的排列方法共有种，故答案为36.
本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，属于中档题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ），（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得直线的直角坐标方程，消去参数，即可求得曲线的普通方程；
（Ⅱ）求得直线的参数方程，代入椭圆的方程，利用直线参数的几何意义，即可求解．
【详解】
（Ⅰ）由直线极坐标方程为，
根据极坐标与直角坐标的互化公式，可得直线直角坐标方程：，
由曲线的参数方程为（为参数），则，
整理得，即椭圆的普通方程为．
（Ⅱ）直线的参数方程为，即（为参数）
把直线的参数方程代入得：，
故可设，是上述方程的两个实根，则有
又直线过点，故由上式及的几何意义得：.
本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及参数方程与普通方程的互化，以及直线参数的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
18、（1）；（2）
【解析】
试题分析：⑴由题意可知当时直线经过定点，设，即可求出曲线的普通方程；
⑵将代入直线的参数方程，可求出直线的普通方程，将代入即可求得直线的极坐标方程，然后联立曲线：，即可求出直线与曲线的交点的极坐标
解析：（1）直线经过定点，
由得，
得曲线的普通方程为，化简得；
（2）若，得的普通方程为，
则直线的极坐标方程为，
联立曲线：.
∵得，取，得，
所以直线与曲线的交点为.
19、 (1) 的直角坐标方程是.直线的普通方程为. (2) .
【解析】
（1）消去参数后可得的普通方程，把化成，利用互化公式可得的直角方程.
（2）设点，则，利用在椭圆上可得的直角方程，联立直线的普通方程和的直角坐标方程可得的直角坐标.
【详解】
解：（1）由，得，
将互化公式代上式，得，
故圆的直角坐标方程是.
由，得，即.
所以直线的普通方程为.
（2）设点.
由中点坐标公式得曲线的直角坐标方程为.
联立，解得，或.
故点的直角坐标是.
极坐标转化为直角坐标，关键是，而直角坐标转化为极坐标，关键是．参数方程化为直角方法，关键是消去参数，消参的方法有反解消参、平方消参、交轨法等．
20、（1），l的极坐标方程为；（2）
【解析】
（1）先由题意，将代入即可求出；根据题意求出直线的直角坐标方程再化为极坐标方程即可；
（2）先由题意得到P点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围.
【详解】
（1）因为点在曲线上，
所以；
即，所以，
因为直线l过点且与垂直，
所以直线的直角坐标方程为，即；
因此，其极坐标方程为，即l的极坐标方程为；
（2）设，则， ，
由题意，，所以，故，整理得，
因为P在线段OM上，M在C上运动，所以，
所以，P点轨迹的极坐标方程为，即.
本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.
21、（1）90（2）45
【解析】
（1）应用排列进行计算；（2）应该用组合来进行计算。
【详解】
（1）选一名正组长和一名副组长，因为正组长与副组长属于不同的职位，所以应该用排列，.
（2）选名参加省数学竞赛，都是同样参加数学竞赛，所以应该用组合，.
本题考查了排列和组合的基本概念和应用，属于基础题。
22、（1）； （2）见解析.
【解析】
（I）结合离心率，得到a,b,c的关系，计算A的坐标，计算切线与椭圆交点坐标，代入椭圆方程，计算参数，即可．（II）分切线斜率存在与不存在讨论，设出M,N的坐标，设出切线方程，结合圆心到切线距离公式，得到m,k的关系式，将直线方程代入椭圆方程，利用根与系数关系，表示，结合三角形相似，证明结论，即可．
【详解】
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率为知，，
∴椭圆的方程可设为.
易求得，∴点在椭圆上，∴，
解得，∴椭圆的方程为.
(Ⅱ)当过点且与圆相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为，由(Ⅰ)知，，
，∴.
当过点且与圆相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为，，
∴，即.
联立直线和椭圆的方程得，
∴，得.
∵，
∴，

，
∴.
综上所述，圆上任意一点处的切线交椭圆于点，都有.
在中，由与相似得，为定值.
本道题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与椭圆位置关系，考查了向量的坐标运算，难度偏难．