2024-2025学年北京市海淀区重点初中高二数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

2024-2025学年北京市海淀区重点初中高二数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．函数 (,则 ( )
A． B． C． D．大小关系不能确定
3．已知，，，成等差数列，，，成等比数列，则（ ）
A． B． C．或 D．或
4．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为
A．100 B．200 C．300 D．400
5．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线为正态分布的密度曲线)的点的个数的估计值为（ ）
附：若，则，.

A．1193 B．1359 C．2718 D．3413
6．某次战役中，狙击手A受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2、0.4、0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立。若A至多射击两次，则他能击落敌机的概率为（ ）
A．0.23 B．0.2 C．0.16 D．0.1
7．下列有关统计知识的四个命题正确的是（ ）
A．衡量两变量之间线性相关关系的相关系数越接近，说明两变量间线性关系越密切
B．在回归分析中，可以用卡方来刻画回归的效果，越大，模型的拟合效果越差
C．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点
D．线性回归方程中，变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位
8．已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为（）
A．75% B．96% C．72% D．78.125%
9．圆的圆心为(　　)
A． B． C． D．
10．设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
11．同时具有性质“①最小正周期是”②图象关于对称；③在上是增函数的一个函数可以是（ ）
A． B．
C． D．
12．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线，弦过焦点，为阿基米德三角形，则的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某人抛掷一枚均匀骰子，构造数列，使，记，则且的概率为_____.
14．若{an}为等差数列，Sn是其前n项的和，且S11＝π，则tana6＝________.
15．将4个不同的小球任意放入3个不同的盒子中，则每个盒子中至少有1个小球的概率为________．
16．条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
年份

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

年份代号t

1

2

3

4

5

6

7

人均纯收入y

2.9

3.3

3.6

4.4

4.8

5.2

5.9

（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
18．（12分）如图，已知四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，，且

求证：平面BDEF；
求二面角的余弦值．
19．（12分）在平面直角坐标系中，对于点、直线，我们称为点到直线的方向距离.
（1）设双曲线上的任意一点到直线，的方向距离分别为，求的值；
（2）设点、到直线的方向距离分别为，试问是否存在实数，对任意的都有成立？说明理由；
（3）已知直线和椭圆，设椭圆的两个焦点到直线的方向距离分别为满足，且直线与轴的交点为、与轴的交点为，试比较的长与的大小.
20．（12分）已知函数.
（1）判断的图象是否是中心对称图形？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由；
（2）设，试讨论的零点个数情况.
21．（12分）第届冬季奥林匹克运动会，将在年月日至日在北京和张家口联合举行.某研究机构为了解中学生对冰壶运动的兴趣，随机从某中学学生中抽取人进行了问卷调查，其中男、女生各人，将问卷得分情况制成茎叶图如右图：

（Ⅰ）将得分不低于分的称为“A类”调查对象，某研究机构想要进一步了解“A类”调查对象的更多信息，从“A类”调查对象中抽取人，设被抽到的女生人数为，求的分布列及数学期望；
（Ⅱ）通过问卷调查，得到如下列联表.完成列联表，并说明能否有的把握认为是否为“A类”调查对象与性别有关？

不是“A类”调查对象
是“A类”调查对象
总计
男

女

总计

附参考公式与数据：，其中.

22．（10分）某地区2011年至2017年农村居民家庭人均纯收入（单位：千元）的数据如下表：

（I）求关于的线性回归方程；
（II）利用（I）中所求的线性回归方程，分析该地区2011年至2017年农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入.
参考公式：.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
先作出约束条件表示的平面区域，令，由图求出的范围，进而求出的最大值.
【详解】
作出可行域如图：

令，
由得，点；由得，点，
由图知当目标函数经过点时，最大值为4，当经过点时，最小值为，所以的最大值为8.
故选：C
本题主要考查了简单线性规划问题，考查了学生的作图能力与数形结合的思想.
2、C
【解析】
对函数求导得到函数的导函数，进而得到原函数的单调性，从而得到结果.
【详解】
函数 (,对函数求导得到当x>1时，导函数大于0，函数单调增，当x<1时，导函数小于0，函数单调递减，因为，故得到.
故答案为C.
这个题目考查了导函数对于研究函数单调性的应用，函数的单调性可以通过常见函数的性质得到，也可以通过定义法证明得到函数的单调性，或者通过求导得到函数的单调性．
3、D
【解析】
根据等差数列的性质可得出的值，利用等比中项的性质求出的值，于此可得出
的值。
【详解】
由于、、、成等差数列，则，
又、、成等比数列，则，，
当时，；当时，，因此，或，
故选：D。
本题考查等差数列和等比数列的性质，在处理等差数列和等比数列相关问题时，可以充分利用与下标相关的性质，可以简化计算，考查计算能力，属于中等题。
4、B
【解析】
试题分析：设没有发芽的种子数为，则，，所以
考点：二项分布
【方法点睛】
一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X～B（n，p）），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E（X）＝np）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.
5、B
【解析】
由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积 ，
则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为 .
本题选择B选项.
点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法
①熟记P(μ－σ和曲线与x轴之间面积为1.
6、A
【解析】
每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为,未命中敌机的概率为,且各次射击相互独立，若射击一次就击落敌机，则他击中利敌机的机尾，故概率为；若射击次就击落敌机，则他次都击中利敌机的机首，概率为；或者第一次没有击中机尾、且第二次击中了机尾，概率为 ,若至多射击两次，则他能击落敌机的概率为 ,故选.
7、A
【解析】
分析：利用“卡方”的意义、相关指数的意义及回归分析的适用范围，逐一分析四个答案的真假，可得答案．
详解：A. 衡量两变量之间线性相关关系的相关系数越接近，说明两变量间线性关系越密切，正确；
B. 在回归分析中，可以用卡方来刻画回归的效果，越大，模型的拟合效果越差，错误
对分类变量与的随机变量的观测值来说， 越大，“与有关系”可信程度越大; 故B错误；
C. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点，错误，回归直线可能不经过其样本数据点中的任何一个点；
D. 线性回归方程中，变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位，错误，由回归方程可知变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位.
故选A.
点睛：本题考查回归分析的意义以及注意的问题．是对回归分析的思想、方法小结．要结合实例进行掌握.
8、C
【解析】
不妨设出产品是100件，求出次品数，合格品中一级品数值，然后求解概率.
【详解】
解：设产品有100件，次品数为：4件，合格品数是96件，合格品中一级品率为75%.
则一级品数为：96×75%＝72，
现从这批产品中任取一件，恰好取到一级品的概率为：.
故选：C.
本题考查概率的应用，设出产品数是解题的关键，注意转化思想的应用.
9、D
【解析】
将ρ＝2cos（）化为直角坐标方程，可得圆心的直角坐标，进而化为极坐标．
【详解】
ρ＝2cos（）即ρ2＝2ρcos（），
展开为ρ2＝2ρ（cosθ﹣sinθ），化为直角坐标方程：x2+y2（x﹣y），
∴1，
可得圆心为C，可得1，
tanθ＝﹣1，又点C在第四象限，θ．
∴圆心C．
故选D．
本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10、C
【解析】
分析：函数有极值点，则有解，可得的取值范围，再根据随机变量服从正态分布，可得曲线关于直线对称，从而可得结论.
详解：函数有极值点，
有解，
，
，
随机变量服从正态分布，若，
.
故选：C.
点睛：本题考查函数的极值点，考查正态分布曲线的对称性，同时考查运算求解的能力，属于中档题.
11、B
【解析】
利用所给条件逐条验证，最小正周期是得出，把②③分别代入选项验证可得.
【详解】
把代入A选项可得，符合；把代入B选项可得，符合；把代入C选项可得，不符合，排除C；把代入D选项可得，不符合，排除D；
当时，，此时为减函数；当时，，此时为增函数；故选B.
本题主要考查三角函数的图象和性质，侧重考查直观想象的核心素养.
12、B
【解析】
利用导数的知识，可得，即三角形为直角三角形，利用基本不等式，可得当直线垂直轴时，面积取得最小值.
【详解】
设，过A，B的切线交于Q，
直线的方程为：，
把直线的方程代入得：，
所以，则，
由导数的知识得：，
所以，
所以，所以，
因为，
当时，可得的最大值为，故选B.
本题是一道与数学文化有关的试题，如果能灵活运用阿基米德三角形的结论，即当直线过抛物线的焦点，则切线与切线互相垂直，能使运算量变得更小.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、.
【解析】
根据题意，抛掷一枚均匀骰子，出现奇数或偶数概率为，则且的情况有2种：①当前2次同时出现偶数时，则后6次出现3次偶数3次奇数，②当前2次出现奇数时，则后6次出现5次偶数1次奇数，分别计算相应的概率求和即可.
【详解】
抛掷一枚均匀骰子，出现奇数或偶数概率为，
构造数列，使，记，
则且的情况为：
①当前2次同时出现偶数时，则后6次出现3次偶数3次奇数，相应的概率，
②当前2次出现奇数时，则后6次出现5次偶数1次奇数，相应的概率为，
所以概率为.
故答案为：.
本题考查二项分布概率计算，结合排列组合与数列的知识，属于综合题，解题的关键在于对所求情况进行分析，再利用二项分布进行概率计算即可，属于中等题.
14、－
【解析】
S11＝＝11a6＝π，∴a6＝，∴tana6＝－
15、
【解析】
试题分析：将个不同的小球任意放入个不同的盒子中，每个小球有种不同的放法，共有种放法，每个盒子中至少有个小球的放法有种，故所求的概率.
考点：1、排列组合；2、随机变量的概率.
16、
【解析】
解：是的充分而不必要条件，
，
等价于，的解为，或，
，
故答案为：．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（1）在1557至1512年该地区农村居民家庭人均纯收入在逐年增加，平均每年增加千元；元.
【解析】
试题分析：本题主要考查线性回归方程、平均数等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先利用平均数的计算公式，由所给数据计算和，代入公式中求出和，从而得到线性回归方程；第二问，利用第一问的结论，将代入即可求出所求的收入．
试题解析：（1）由所给数据计算得＝（1＋1＋2＋3＋4＋6＋7）＝3，＝（1．9＋2．2＋2．6＋3．3＋3．8＋4．1＋4．9）＝3．2，
，

，
所求回归方程为．
（1）由（1）知，，故1559年至1514年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加5．4千元．
将1517年的年份代号t＝9，代入（1）中的回归方程，得，
故预测该地区1517年农村居民家庭人均纯收入为6．8千元．
考点：线性回归方程、平均数．
18、（1）见证明；（2）.
【解析】
设AC、BD交于点O，连结OF、DF，推导出，，，由此能证明平面BDEF．
以OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
【详解】
设AC、BD交于点O，连结OF、DF，
四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，，且，

，，，
四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，
，
，平面BDEF．
，，平面ABCD，
以OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，
设，则0，，0，，1，，0，，
，1，，
，
设平面ABF的法向量y，，
则，取，得，
设平面BCF的法向量y，，
则，取，得，
设二面角的平面角为，由图可知为钝角
则．
二面角的余弦值为．
本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19、 (1)；(2)，理由见详解；(3)，证明见详解.
【解析】
(1)根据定义表示出，然后结合点在双曲线上计算出的值；
(2)假设存在满足条件，计算出的值，令，即可求解出满足条件的的值；
(3)根据新定义得到的结果，根据条件得到的范围，将的范围代入到中利用基本不等式即可比较出与的大小，即可比较出与的大小.
【详解】
(1)由题设可知：设，所以，
所以，
又因为，所以；
(2) 假设存在实数满足条件，因为，
，
所以，所以，所以，
故存在满足条件；
(3)因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以，
所以，取等号时，
所以，所以.
本题考查新定义背景下的圆锥曲线的综合应用，难度较难.(1)存在性问题，先假设成立，然后再探究成立的条件；(2)新定义问题，首先要理解定义，其次才是利用所学知识解答问题.
20、（1）的图象是中心对称图形，对称中心为：；（2）当或时，有个零点；当时，有个零点
【解析】
（1）设，通过奇偶性的定义可求得为奇函数，关于原点对称，从而可得的对称中心，得到结论；（2），可知为一个解，从而将问题转化为解的个数的讨论，即的解的个数；根据的范围，分别讨论不同范围情况下方程解的个数，从而得到零点个数，综合得到结果.
【详解】
（1） 设 定义域为：

为奇函数，图象关于对称
的图象是中心对称图形，对称中心为：
（2）令
，可知为其中一个解，即为一个零点
只需讨论的解的个数即可
①当时，无解
有且仅有一个零点
②当时 ， 为方程的解
有，共个零点
③当时，
（i）若，即时，
为方程的解
有，共个零点
（ii）若，即时，的解为：
有且仅有一个零点
（iii）若，即时，，方程无解
有且仅有一个零点
综上所述：当或时，有个零点；当时，有个零点
本题考查函数对称性的判断、函数零点个数的讨论.解决本题中零点个数问题的关键是能够将问题转化为方程根的个数的讨论，从而根据的不同范围得到方程根的个数，进而得到零点个数，属于较难题.
21、（Ⅰ）见解析，（Ⅱ）见解析，没有
【解析】
（Ⅰ）由茎叶图可知得分不低于分的人数及男女分别各几人，可知的可能取值为，结合超几何分布的概率公式即可求得女生人数的分布列，并根据分布列求得其数学期望.
（Ⅱ）根据数据完成列联表，结合公式即可求得的观测值，与临界值作比较即可进行判断.
【详解】
（Ⅰ）人中得分不低于分的一共有人，其中男性人，女性人.
所以的可能取值为.
则，，
，.
所以的分布列为

所以.
（Ⅱ）

不是“A类”调查对象
是“A类”调查对象
合计
男

女

合计

所以，
因为，所以没有的把握认为是否是“A类”调查对象与性别有关.
本题考查了离散型随机变量分布列与数学期望的求法，超几何分布的综合应用，完善列联表并根据公式计算的观测值，对独立性事件进行判断和检验，属于基础题.
22、（I）；（II）6.3千元.
【解析】
（I）由表中数据计算、，求出回归系数，写出回归方程；（II）由0.5＞0知y关于x正相关，求出x＝8时的值即可．
【详解】
（I）由表中数据知，，
，
，
，
关于的线性回归方程为；
（II）由（I）可知，，
故该地区2011年至2017年农村居民家庭人均纯收入在逐年增加，平均每年增加0.5千元，
当时，，
预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入为6.3千元.
本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，考查计算能力，是基础题．