2025届山东省德州市齐河县一中高二下数学期末监测模拟试题含解析.doc

2025届山东省德州市齐河县一中高二下数学期末监测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列命题是真命题的为（ ）
A．若,则 B．若,则
C．若,则 D．若,则
2．一盒中装有5张彩票，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票．设第1次抽出的彩票有奖的事件为A，第2次抽出的彩票有奖的事件为B，则( )
A． B． C． D．
3．若实数满足约束条件，则的最大值是（ ）
A． B．1
C．10 D．12
4．设是虚数单位，复数为实数，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于，两点，为坐标原点，则的面积为（ ）
A． B． C．4 D．1
6．已知等差数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知命题：①函数的值域是；
②为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点向右平移个单位长度；
③当或时，幂函数的图象都是一条直线；
④已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是.
其中正确的命题个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．已知a＞b，则下列不等式一定正确的是（　　）
A．ac2＞bc2 B．a2＞b2 C．a3＞b3 D．
9．若函数没有零点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
10．设全集U＝｛1,3,5,7｝，集合M＝｛1，|a－5|｝，MU，M＝｛5，7｝，则实数a的值为 ( )
A．2或－8 B．－8或－2 C．－2或8 D．2或8
11．已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是（ ）.
A．-1 B． C． D．
12．已知双曲线，若其过一、三象限的渐近线的倾斜角，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图所示，则阴影部分的面积是 .

14．某班有名学生,其中人选修课程,另外人选修课程,从该班中任选两名学生,他们选修不同课程的概率是__________.
15．抛物线 的焦点到准线的距离为________．
16．在正方体中，为的中点，为底面的中心，为棱上任意一点，则直线与直线所成的角是____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数的定义域是，关于的不等式的解集为．
（1）求集合；
（2）已知，，若是的必要不充分条件，试求实数的取值范围．
18．（12分）在四棱锥中,平面平面，,四边形是边长为的菱形，,是的中点.

(1)求证: 平面；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
19．（12分）实数m取什么数值时，复数分别是：
(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？
20．（12分）如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，BC＝2AD，AD⊥CD，PD⊥平面ABCD，E为PB的中点.

(1)求证：AE//平面PDC；
(2)若BC＝CD＝PD，求直线AC与平面PBC所成角的余弦值.
21．（12分）已知三点，，，曲线上任意一点满足．
（1）求的方程；
（2）动点在曲线上，是曲线在处的切线．问：是否存在定点使得与都相交，交点分别为，且与的面积之比为常数？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
22．（10分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：
月份x
1
2
3
4
5
y（万盒）
4
4
5
6
6
（1）该同学为了求出关于的线性回归方程 ，根据表中数据已经正确计算出=0.6，试求出的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；
（2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题，记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
试题分析：B若，则，所以错误；C．若，式子不成立．所以错误；D．若，此时式子不成立．所以错误，故选择A
考点：命题真假
2、D
【解析】
由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，即可求出．
【详解】
由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，
所以．
故选：D．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础．
3、C
【解析】
本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.
【详解】
在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数经过平面区域的点时，取最大值.

解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.
4、C
【解析】
由复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0可得答案.
【详解】
解：，
复数为实数，可得，，
故选：C.
本题主要考查复数代数形式的乘除运算法则，属于基础题，注意运算准确.
5、B
【解析】
求出抛物线的焦点坐标可得直线方程与抛物线方程联立，利用弦长公式求出，利用点到直线距离公式求得点到直线的距离，再由三角形面积公式可得结果.
【详解】
因为抛物线的焦点为，
所以代入直线方程得，即，
所以直线方程为，
与抛物线方程联立得，
所以弦长，
又点到直线的距离为，
所以的面积为,故选B.
本题主要考查抛物线的方程与简单性质，考查了弦长公式、点到直线的距离公式与三角形面积公式，意在考查计算能力以及综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
6、C
【解析】
分析：根据等差数列的通项公式，可求得首项和公差，然后可求出值。
详解：数列为等差数列，，，所以由等差数列通项公式得
，解方程组得
所以
所以选C
点睛：本题考查了等差数列的概念和通项公式的应用，属于简单题。
7、C
【解析】
：①根据指数函数的单调性进行判断；
②根据三角函数的图形关系进行判断；
③根据幂函数的定义和性质进行判断；
④根据函数与方程的关系，利用数形结合进行判断.
【详解】
①因为是增函数，所以当时，函数的值域是，故①正确；
②函数图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图像，故②错误；
③当时，直线挖去一个点，当时，幂函数的图形是一条直线，故③错误；
④作出的图像如图所示：

所以在上递减，在上递增，在上递减，
又因为在上有两个，在上有一个，
不妨设，
则，即，则的范围即为的范围，
由，得，
则有，即的范围是，所以④正确；
所以正确的命题有2个，故选C.
该题考查的是有关真命题的个数问题，在结题的过程中，涉及到的知识点有指数函数的单调性，函数图像的平移变换，零指数幂的条件以及数形结合思想的应用，灵活掌握基础知识是解题的关键.
8、C
【解析】
分别找到特例，说明A，B，D三个选项不成立，从而得到答案.
【详解】
因为，所以当时，得到，故A项错误；
当，得到，故B项错误；
当时，满足，但，故D项错误；
所以正确答案为C项.
本题考查不等式的性质，通过列举反例，排除法得到答案，属于简单题.
9、A
【解析】
将问题转化为曲线与直线没有交点，并将函数表示为分段函数的形式，并作出该函数的图象，分析直线的斜率与函数图象每段折线的斜率的大小关系，结合图象得出实数的取值范围。
【详解】
因为函数没有零点，
所以方程无实根，
即函数与的图像无交点，
如图所示，则的斜率应满足，故选：A。

本题考查绝对值函数的零点个数问题，解本题需注意：
（1）零点个数问题转化为两个函数的公共点的个数问题；
（2）含绝对值的函数一般利用零点分段法表示为分段函数。
10、D
【解析】
分析：利用全集，由，列方程可求的值.
详解：由，且，
又集合，
实数的值为或，故选D.
点睛：本题考查补集的定义与应用，属于简单题. 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.
11、A
【解析】
先根据的单调性确定出最小值从而确定出的值，再由不等式即可得到的范围，根据二次函数零点的分布求解出的取值范围.
【详解】
因为，
所以当 时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，所以，所以，
又因为，所以，
因为对应的，且有零点，
（1）当时，或，
所以，所以，所以，
（2）当时，或，
此时，所以，
综上可知：，所以.
故选：A.
本题考查利用导数判断函数的零点以及根据二次函数的零点分布求解参数范围，属于综合性问题，难度较难.其中处理二次函数的零点分布问题，除了直接分析还可以采用画图象的方法进行辅助分析.
12、B
【解析】
分析：利用过一、三象限的渐近线的倾斜角θ∈[，]，可得1≤≤，即可求出双曲线的离心率e的取值范围.
详解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，
由过一、三象限的渐近线的倾斜角θ∈[，]，
∴tan≤≤tan，
∴1≤≤，
∴1≤≤3，
∴2≤1+≤4，
即2≤e2≤4，
解得≤e≤2，
故选：B．
点睛：求离心率的常用方法有以下两种：
（1）求得的值，直接代入公式求解；
（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
试题分析：由题意得，直线与抛物线，解得交点分别为和，抛物线与轴负半轴交点，设阴影部分的面积为，则
．
考点：定积分在求面积中的应用．
【方法点晴】本题主要考查了定积分求解曲边形的面积中的应用，其中解答中根据直线方程与曲线方程的交点坐标，确定积分的上、下限，确定被积函数是解答此类问题的关键，同时解答中注意图形的分割，在轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
14、
【解析】
先计算出总的方法数，然后在每类选科人中各选一人，利用分步计算原理计算得方法数，根据古典概型概率计算公式计算出所求概率.
【详解】
∵该班有名学生则从班级中任选两名学生共有种不同的选法又∵15人选修课程,另外35人选修课程∴他们是选修不同课程的学生的情况有: 故从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的概率.
本小题主要考查古典概型的计算，考查分步乘法计数原理，属于基础题.
15、
【解析】 ，所以 ，所以抛物线的焦点到准线的距离为 .
16、90°
【解析】
直线在平面内的射影与垂直．
【详解】

如图，分别是的中点，连接，易知在上，，
又在正方形中，是的中点，∴（可通过证得），又正方体中，而，∴，，∴，∴直线与直线所成的角是90°．
故答案为90°．
本题考查两异面直线所成的角，由于它们所成的角为90°，因此可通过证明它们相互垂直得到，这又可通过证明线面垂直得出结论，当然也可用三垂线定理证得．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）当时，；当时，；当时，
（2）
【解析】
（1）由含参二次不等式的解法可得，只需，，即可得解；
（2）由函数定义域的求法求得，再结合命题间的充要性求解即可.
【详解】
解：（1）因为，所以，
当时，；当时，方程无解；当时，，
故当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
（2）解不等式，即，即，解得，
即，
由，，若是的必要不充分条件，
可得是的真子集，
则当时，则，即；
当时，显然满足题意；
当时，则，即，
综上可知：，
故实数的取值范围为.
本题考查了函数定义域的求法、含参二次不等式的解法及充要条件，重点考查了分类讨论的数学思想方法及简易逻辑，属中档题.
18、（1）见解析；（2）
【解析】
(1) 连接，根据几何关系得到, 由平面平面，可得平面，进而得到,再由三角形ABE的角度及边长关系得到，进而得到结果;(2)建立空间坐标系得到面的法向量为，面的一个法向量为，根据向量夹角运算可得结果
【详解】
（1）连接，由，是的中点，得， 由平面平面可得平面，，又由于四边形 是边长为2的菱形，，所以，从而平面.
（2）以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，，，有，，令平面的法向量为，由，可得一个，同理可得平面的一个法向量为，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
本题考查了面面垂直的证法，以及二面角的求法，证明面面垂直经常先证线面垂直，再得面面垂直，或者建立坐标系，求得两个面的法向量，证明法向量公线即可.
19、（1）；（2）；（3）.
【解析】
本试题主要是考查了复数的概念的运用．先求解实数和虚数以及纯虚数的前提下各个参数m的取值问题．注意虚数虚部不为零，虚部为零是实数，实部为零，虚部不为零是纯虚数，因此可知结论．
解1)当，即时，复数z是实数；……4分
(2)当，即时，复数z是虚数；……8分
(3)当，且时，即时，复数z是纯虚数.…12分
20、（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）取的中点，连结、，推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面．
（2）推导出，由，得，再推导出，，从而平面，，，，进而平面，连结，，则就是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的余弦值．
【详解】
解：（1）证明：取的中点，连结、，
是的中点，，且，
，，，且，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面．

（2）解：，是等腰三角形，
，又，，
平面，平面，
，又，平面，
平面，
又，平面，
连结，，则就是直线与平面所成角，
设，
在中，解得，，，
在中，解得，
在中，，
直线与平面所成角的余弦值为．

本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21、（1）；（2）存在，.
【解析】
分析：（1）先求出、的坐标，由此求得||和的值，两式相等，化简可得所求；（2）根据直线PA，PB的方程以及曲线C在点Q（x0，y0）（﹣2＜x0＜2）处的切线方程， D、E两点的横坐标，可得S△PDE和S△QAB的比值，从而求得参数值.
详解：
（1）依题意可得，
，
由已知得，化简得曲线C的方程：  ,
（2）假设存在点满足条件，则直线的方程是，直线的方程是，曲线C在点Q处的切线l的方程为:,它与y轴的交点为，由于，因此
①当时， ，存在，使得，即l与直线平行，故当时与题意不符
②当时，，所以l 与直线一定相交，分别联立方程组，
解得的横坐标分别是
则，又，
有，
又于是
对任意，要使与的面积之比是常数，只需t满足，
解得，此时与的面积之比为2，故存在，使与的面积之比是常数2.
点睛：本题主要考查抛物线的标准方程的应用，利用导数求曲线上某点的切线方程，求得F点的坐标，D、E两点的横坐标，是解题的关键，属于中档题．利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.
22、（1） ，6.1（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）由线性回归方程过点（，）,可得,再求x=6时对应函数值即为6月份生产的甲胶囊产量数（2）先确定随机变量取法：ξ=0，1，2，3，再利用组合数求对应概率，列表可得分布列，最后根据公式求数学期望
试题解析：解：（1）==3，（4+4+5+6+6）=5，
因线性回归方程=x+过点（，），
∴=﹣=5﹣0.6×3=3.2，
∴6月份的生产甲胶囊的产量数： =0.6×6+3.2=6.1．
（2）ξ=0，1，2，3，
P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，
其分布列为
ξ
0
1
2
3
P

所以Eξ==．