2025年河北省邢台市第二中学高二数学第二学期期末监测模拟试题含解析.doc

2025年河北省邢台市第二中学高二数学第二学期期末监测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．2019年6月7日，是我国的传统节日“端午节”。这天，小明的妈妈煮了7个粽子，其中3个腊肉馅，4个豆沙馅。小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．
A．30 B．24 C．20 D．15
3．设全集为R，集合，，则
A． B． C． D．
4．下列有关命题的说法正确的是(　　)
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
D．命题“∃x0∈R使得”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0”
5．若复数满足，则复数的虚部为.
A．-2 B．-1 C．1 D．2.
6．已知，、，则向量与的夹角是（
A． B． C． D．
7．以下四个命题中，真命题的是（）
A．
B．“对任意的”的否定是“存在”
C．，函数都不是偶函数
D．中，“”是“”的充要条件
8．已知奇函数是定义在上的减函数，且，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．已知高为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，若二面角的正切值为 4 ，则（ ）
A． B． C． D．
10．如下图，在同一直角坐标系中表示直线y＝ax与y＝x＋a，正确的是( 　)
A． B． C． D．
11． “所有9的倍数都是3的倍数.某数是9的倍数，故该数为3的倍数，”上述推理
A．完全正确 B．推理形式不正确
C．错误，因为大小前提不一致 D．错误，因为大前提错误
12．已知双曲线的焦距是虚轴长的倍，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．正项等比数列{an}中，，则的前9项和_____．
14．对于大于1的自然数n的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：，，，…，仿此，若的“分裂数”中有一个是49，则n的值为________.
15．一个长方体共一项点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是____________.
16．若复数满足，则的取值范围是________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）我们称点到图形上任意一点距离的最小值为点到图形的距离，记作
（1）求点到抛物线的距离；
（2）设是长为2的线段，求点集所表示图形的面积；
（3）试探究：平面内，动点到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹．
18．（12分）已知函数（为自然对数的底数）.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.
19．（12分）已知复数满足：，且在复平面内对应的点位于第三象限.
（I）求复数；
（Ⅱ）设，且，求实数的值.
20．（12分）已知函数.
（1）若在点处的切线方程为,求的值
（2）若是函数的两个极值点,试比较与的大小.
21．（12分）已知函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）判断的单调性，并用定义加以证明；
22．（10分）已知的展开式中的二项式系数之和比各项系数之和大
（1）求展开式所有的有理项；
（2）求展开式中系数最大的项.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
设事件为“取出两个粽子为同一种馅”，事件为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，计算
（A）、的值，从而求得的值．
【详解】
由题意，设事件为“取出两个粽子为同一种馅”，
事件为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，
则（A）， ，
．
故选：B．
本题主要考查古典概型和条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.
2、A
【解析】
根据公式：计算即可.
【详解】
因为，
故选：A.
本题考查排列数的计算，难度较易.
3、B
【解析】
分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果.
详解：由题意可得：，
结合交集的定义可得：.
本题选择B选项.
点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4、C
【解析】
命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，A不正确；由x2－5x－6＝0，解得x＝－1或6，因此“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，B不正确；命题“若x＝y，则sin x＝sin y”为真命题，其逆否命题为真命题，C正确；命题“∃x0∈R使得＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，D不正确．综上可得只有C正确．
5、D
【解析】
根据复数除法的运算法则去计算即可.
【详解】
因为，所以，虚部是，
故选D.
本题考查复数的除法运算以及复数实部、虚部判断，难度较易.复数除法运算时，注意利用平方差公式的形式将分母实数化去计算
6、D
【解析】
设向量与的夹角为，计算出向量与的坐标，然后由计算出的值，可得出的值.
【详解】
设向量与的夹角为，
，，
则，所以，，故选D.
本题考查空间向量的坐标运算，考查利用向量的坐标计算向量的夹角，考查计算能力，属于中等题.
7、D
【解析】
解：A．若sinx＝tanx，则sinx＝tanx，
∵x∈（0，π），∴sinx≠0，则1，即cosx＝1，
∵x∈（0，π），∴cosx＝1不成立，故∃x∈（0，π），使sinx＝tanx错误，故A错误，
B．“对任意的x∈R，x2+x+1＞0”的否定是“存在x0∈R，x02+x0+1≤0”，故B错误，
C．当θ时，f（x）＝sin（2x+θ）＝sin（2x）＝cos2x为偶函数，故C错误，
D．在△ABC中，C，则A+B，
则由sinA+sinB＝sin（B）+sin（A）＝cosB+cosA，则必要性成立；
∵sinA+sinB＝cosA+cosB，
∴sinA﹣cosA＝cosB﹣sinB，
两边平方得sin2A﹣2sinAcosA+cos2A＝sin2B﹣2sinBcosB+cos2B，
∴1﹣2sinAcosA＝1﹣2sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B，
则2A＝2B或2A＝π﹣2B，
即A＝B或A+B，
当A＝B时，sinA+sinB＝cosA+cosB等价为2sinA＝2cosA，
∴tanA＝1，即A＝B，此时C，
综上恒有C，即充分性成立，
综上△ABC中，“sinA+sinB＝cosA+cosB”是“C”的充要条件，故D正确，
故选D．
考点：全称命题的否定，充要条件等
8、C
【解析】
根据对数运算性质和对数函数单调性可得，根据指数函数单调性可知；利用为减函数可知，结合为奇函数可得大小关系.
【详解】
，
即：
又是定义在上的减函数
又为奇函数
，即：
本题正确选项：
本题考查根据指数函数、对数函数单调性，结合奇偶性比较函数值的大小关系，关键是能够通过函数得单调性，利用临界值的方式得到自变量之间的大小关系.
9、D
【解析】
过作平面于，为中点，连接.证明面角的平面角为,计算得到,通过勾股定理计算得到答案.
【详解】
如图：正三棱锥，过作平面于，为中点，连接.

易知：
为中点二面角的平面角为
正切值为4
在中，根据勾股定理：
故答案选D
本题考查了三棱锥的外接球，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
10、A
【解析】
由题意逐一考查所给的函数图像是否符合题意即可.
【详解】
逐一考查所给的函数图像：
对于选项A，过坐标原点，则，直线在轴的截距应该小于零，题中图像符合题意；
对于选项C，过坐标原点，则，直线在轴的截距应该大于零，题中图像不合题意；
过坐标原点，直线的倾斜角为锐角题中BD选项中图像不合题意；
本题选择A选项.
本题主要考查分类讨论的数学思想，一次函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11、A
【解析】
根据三段论定义即可得到答案.
【详解】
根据题意，符合逻辑推理三段论，于是完全正确，故选A.
本题主要考查逻辑推理，难度不大.
12、A
【解析】
，，渐近线方程为，即，故选A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由题意得 ,当 时, 当 时,所以或
点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
14、7
【解析】
n每增加1，则分裂的个数也增加1个，易得是从3开始的第24个奇数，利用等差数列求和公式即可得到.
【详解】
从到共用去奇数个数为，而是从3开始的第24个奇
数，当时，从到共用去奇数个数为个，当时，从到共用去奇数个
数为个，所以.
故答案为：7
本题考查新定义问题，归纳推理，等差数列的求和公式，考查学生的归纳推理能力，是一道中档题.
15、
【解析】
由长方体对角线与棱长的关系计算．
【详解】
设长方体的长、宽、高分别为，则，解得，
∴对角线长．
故答案为．
本题考查求长方体的对角线长，设长方体棱长分别为，则对角线长．
16、
【解析】
分析：由复数的几何意义解得点的轨迹为以为端点的线段，表示线段上的点到的距离，根据数形结合思想，结合点到直线距离公式可得结果.
详解：因为复数满足，
在复平面内设复数对应的点为，
则到的距离之和为，
所以点的轨迹为以为端点的线段，
表示线段上的点到的距离，
可得最小距离是与的距离，等于；
最大距离是与的距离，等于；
即的取值范围是，故答案为.
点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，是基础题. 复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若，则表示点与点的距离，表示以为圆心，以为半径的圆.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
(1)设A是抛物线上任意一点，先求出|PA|的函数表达式，再求函数的最小值得解； (2）由题意知集合所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，再求出面积；(3) 将平面内到定圆的距离转化为到圆上动点的距离，再分点现圆的位置关系，结合圆锥曲线的定义即可解决．
【详解】
(1)设A是抛物线上任意一点，则
，
因为,
所以当时，.
点到抛物线的距离.
（2）设线段的端点分别为，，以直线为轴，的中点为原点建立直角坐标系，
则，，点集由如下曲线围成：
，，，，
，，，，
集合所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，
其面积为．

(3) 设动点为，
当点在圆内不与圆心重合，连接并延长，交于圆上一点，由题意知，，所以，即的轨迹为一椭圆；如图．
如果是点在圆外，由，得，为一定值，即的轨迹为双曲线的一支；
当点与圆心重合，要使，则必然在与圆的同心圆，即的轨迹为一圆.

本题主要考查新定义的理解和应用，考查抛物线中的最值问题，考查轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18、（1）极小值为 （2）
【解析】
分析：（1）根据利用导数求函数极值的一般步骤求解即可；
（2）,由于函数在区间上是增函数，所以，令，则即在上恒成立，由此可求的取值范围..
详解：
（1）当时，，
，令，解得，
当变化时，，的变化情况如下表

0
+

单调递减
1
单调递增
因此，当时，有极小值，并且极小值为
（2）,由于函数在区间上是增函数
所以，令，则
即在上恒成立
设，则在上为增函数，
∴
∴，即的取值范围是．
点睛：本题考查利用到时研究函数的单调性，极值，考查分析问题解决问题的能力．是圣.
19、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（I）设,利用复数相等的概念求出复数z; （Ⅱ）先计算出，再求a的值.
【详解】
解；（Ⅰ）设，则，

解得或（舍去）.
.
（Ⅱ），
，
，.
本题主要考查复数的求法和复数的运算，考查复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
20、（1）； （2）.
【解析】
（1）先求得切点的坐标，然后利用切点和斜率列方程组，解方程组求得的值.（2）将转化为只含有的式子.对函数求导，利用二次函数零点分布的知识求得的取值范围并利用韦达定理写出的关系式.化简的表达式，并利用构造函数法求得.用差比较法比较出与的大小关系.
【详解】
（1）根据题意可求得切点为,由题意可得,,
∴,即,解得.
（2）∵,∴,则.
根据题意可得在上有两个不同的根.
即,解得,且.
∴.
令,则,
令,则当时,,
∴在上为减函数,即,
∴在上为减函数,即,
∴,
又∵,
∴,即,
∴.
本小题主要考查利用导数求解有关切线方程的问题，考查利用导数研究函数的极值点问题难度较大.
21、 (1) ；(2) 在定义域上是减函数．证明见解析
【解析】
（1）直接根据奇函数的性质f（0）＝0，求出a，再进行验证；（2）先判断函数单调递减，再利用函数单调性的定义用作差比较法证明；
【详解】
（1）由题知的定义域为，
因为是奇函数，所以，即
解得.
经验证可知是奇函数，
所以.
（2）在定义域上是减函数，
由（1）知，，任取，且，
所以.

， ，
，即
所以在定义域上是减函数．
本题主要考查了指数函数的图象与性质的综合应用，涉及函数的奇偶性，单调性，属于中档题．
22、（1）；（2）
【解析】
令可得展开式的各项系数之和，而展开式的二项式系数之和为，列方程可求的值及通项，
（1）为整数，可得的值，进而可得展开式中所有的有理项；
（2）假设第项最大，且为偶数，则，解出的值，进而可求得系数最大的项.
【详解】
解：令可得，展开式中各项系数之和为，而展开式中的二项式系数之和为，
，
，
，
（1）当为整数时，为有理项，则，
所以展开式所有的有理项为：；
（2）设第项最大，且为偶数
则，
解得：，
所以展开式中系数最大的项为：.
本题主要考查了利用赋值法求解二项展开式的各项系数之和及展开式的二项式系数和的应用，二项展开式的通项的应用，属于基本知识的综合应用.