2025届重庆市云阳县高二数学第二学期期末监测模拟试题含解析.doc

2025届重庆市云阳县高二数学第二学期期末监测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，则方程的根的个数为（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
2．在平面几何中有如下结论：正三角形的内切圆面积为，外接圆面积为，则，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体的内切球体积为，外接球体积为，则为（ ）
A． B． C． D．
3．已知是等比数列的前n项和，且是与的等差中项，则（ ）
A．成等差数列 B．成等差数列
C．成等差数列 D．成等差数列
4．下列命题错误的是
A．若直线平行于平面，则平面内存在直线与平行
B．若直线平行于平面，则平面内存在直线与异面
C．若直线平行于平面，则平面内存在直线与垂直
D．若直线平行于平面，则平面内存在直线与相交
5．已知函数， 与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
6．64个直径都为的球，记它们的体积之和为，表面积之和为；一个直径为a的球，记其体积为，表面积为，则（）
A．>且> B．<且<
C．=且> D．=且=
7．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
8．某体育彩票规定: 从01到36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想先选定吉利号18，然后再从01到17个号中选出3个连续的号，从19到29个号中选出2 个连续的号，从30到36个号中选出1个号组成一注．若这个人要把这种要求的号全买，至少要花的钱数为( )
A．2000元 B．3200 元 C．1800元 D．2100元
9．下列函数中,既是偶函数又在单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知数列的前项和为，，则“”是“数列是等比数列”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．设f（x）＝＋x﹣4，则函数f（x）的零点位于区间（　　）
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
12．某科研单位准备把7名大学生分配到编号为1，2，3的三个实验室实习，若要求每个实验室分配到的大学生人数不小于该实验室的编号，则不同的分配方案的种数为（ ）
A．280 B．455 C．355 D．350
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知是双曲线的右焦点，的右支上一点到一条渐近线的距离为2，在另一条渐近线上有一点满足，则________________．
14．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图三所示，则其中每天在校平均开销在元的学生人数为_________．

15．若，则a4+a2+a0＝_____
16．数列满足下列条件：，且对于任意正整数，恒有，则______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四棱锥的底面是直角梯形，∥，⊥，，⊿是正三角形。

（1）试在棱上找一点，使得∥平面；
（2）若平面⊥，在（1）的条件下试求二面角的正弦值。
18．（12分）男生4人和女生3人排成一排拍照留念.
（1）有多少种不同的排法（结果用数值表示）？
（2）要求两端都不排女生，有多少种不同的排法（结果用数值表示）？
（3）求甲乙两人相邻的概率.（结果用最简分数表示）
19．（12分）设为虚数单位，为正整数，
（1）证明：；
（2），利用（1）的结论计算．
20．（12分）已知在上有意义，单调递增且满足.
(1)求证：；
(2)求的值；
(3)求不等式的的解集
21．（12分）已知复数（，为正实数，是虚数单位）是方程的一个根.
（1）求此方程的另一个根及的值；
（2）复数满足，求的取值范围.
22．（10分）已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求a的值：
（2）求函数的值域；
（3）当时，恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
令，先求出方程的三个根，，，然后分别作出直线，，与函数的图象，得出交点的总数即为所求结果.
【详解】
令，先解方程.
（1）当时，则，得；
（2）当时，则，即，解得，.
如下图所示：

直线，，与函数的交点个数为、、，
所以，方程的根的个数为，故选A.
本题考查复合函数的零点个数这类问题首先将函数分为内层函数与外层函数，求出外层函数的若干个根，再作出这些直线与内层函数图象的交点总数即为方程根的个数，考查数形结合思想，属于难题．
2、B
【解析】
平面图形类比空间图形,二维类比三维,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论.
【详解】
设正四面体P-ABC的边长为a，设E为三角形ABC的中心，H为正四面体P-ABC的中心，则HE为正四面体P-ABC的内切球的半径r,BH=PH且为正四面体P-ABC的外接球的半径R，所以BE=，
所以在中 ，，
解得，所以R=PE-HE=，所以，
根据的球的体积公式有，，
故选：B.

本题考查类比推理，常见类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比.
3、B
【解析】
由于是与的等差中项，得到 ，分，两种情况讨论，用等比数列的前n项和公式代入，得到，即，故得解.
【详解】
由于是与的等差中项，故
由于等比数列，
若：，矛盾；
若：

，即成等差数列
故选：B
本题考查了等差、等比数列综合，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
4、D
【解析】
分析：利用空间中线线、线面间的位置关系求解．
详解：A. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与平行，正确；
B. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与异面，正确；
C. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与垂直，正确，可能异面垂直；
D. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与相交，错误，平行于平面，与平面
没有公共点.
故选D.
点睛：本题主要考查命题的真假判断，涉及线面平行的判定和性质，属于基础题．
5、A
【解析】
根据题意，可以将原问题转化为方程在区间上有解，构造函数，利用导数分析的最大最小值，可得的值域，进而分析方程在区间上有解，必有，解之可得实数的取值范围.
【详解】
根据题意，若函数，与的图象上存在关于轴对称的点，则方程在区间上有解
化简可得
设，对其求导
又由，在有唯一的极值点
分析可得：当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
故函数有最小值
又由，比较可得，，
故函数有最大值
故函数在区间上的值域为
若方程在区间有解，必有，则有
则实数的取值范围是
故选：A
本题考查在函数与方程思想下利用导数求最值进而表示参数取值范围问题，属于难题.
6、C
【解析】
分别计算出、、、，再比较大小。
【详解】
，
，
故=，>
已知直径利用公式 ,分别计算出、、、，再比较大小即可。
7、C
【解析】
先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果.
【详解】
因为函数在上连续单调递增，
且,
所以函数的零点在区间内，故选C.
本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
8、D
【解析】
第步从到中选个连续号有种选法；第步从到中选个连续号有种选法；第步从到中选个号有种选法.由分步计数原理可知：满足要求的注数共有注,故至少要花,故选D.
9、B
【解析】
根据函数的奇偶性和单调性，对选项逐一分析，由此得出正确选项.
【详解】
对于A选项，由于定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数.对于B选项，函数为偶函数，当时，为增函数，故B选项正确.对于C选项，函数图像没有对称性，故为非奇非偶函数.对于D选项，在上有增有减.综上所述，本小题选B.
本小题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题.
10、C
【解析】
先令，求出，再由时，根据，求出，结合充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.
【详解】
解：当时，，
当时，
时，，，数列是等比数列；
当数列是等比数列时，，，，
所以，是充分必要条件。
故选C
本题主要考查充分必要条件的判定，熟记概念，以及数列的递推公式即可求解，属于常考题型.
11、C
【解析】
根据零点的判定定理，结合单调性直接将选项的端点代入解析式判正负即可．
【详解】
∵f（x）＝2x+x﹣4中，y＝2x单增，y=x-4也是增函数∴f（x）＝2x+x﹣4是增函数，又f（1）＝﹣1＜0，f（2）＝2＞0，
故选C．
本题考查了函数零点存在定理的应用，考查了函数单调性的判断，属于基础题．
12、B
【解析】
每个实验室人数分配有三种情况，即①1，2，4；②1，3，3；③2，2，3；针对三种情况进行计算组合即可
【详解】
每个实验室人数分配有三种情况，即1，2，4；1，3，3；2，2，3.
当实验室的人数为1，2，4时，分配方案有种；
当实验室的人数为1，3，3时，分配方案有种；
当实验室的人数为2，2，3时，分配方案有种.
故不同的分配方案有455种.选B.
本题考查排列组合的问题，解题注意先分类即可，属于基础题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、4
【解析】
试题分析：双曲线的右焦点F（，0），渐近线方程为，点P到渐近线的距离恰好跟焦点到渐近线的距离相等，所以P 必在过右焦点与一条渐近线平行的直线上，不妨设P在直线上，由方程组得，所以，由方程组得，所以，所以
由于，所以．
考点：向量共线的应用，双曲线的方程与简单几何性质．
【方法点晴】
要求的值，就得求出P、Q两点的坐标，可直接设出P点坐标用点到直线的距离公式，也可结合双曲线的几何性质发现P的轨迹，解方程组即得P、Q 两点坐标，从而求出两个向量的坐标，问题就解决了．
14、1
【解析】
分析：由频率分布直方图，得每天在校平均开销在[50，60]元的学生所点的频率为0.3，由此能求出每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数．
详解：由频率分布直方图，得：
每天在校平均开销在[50，60]元的学生所点的频率为：1﹣（0.01+0.024+0.036）×10=0.3
∴每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为500×0.3=1．
故答案为1
点睛：本题考查频率分布直方图的应用，考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.
15、1
【解析】
利用特殊值法，令x＝0，1，﹣1，将所得结果进行运算可得解．
【详解】
令x＝0，可得a0＝1；
令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+a4＝1，
即a1+a2+a3+a4＝0 ①；
令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝81，
即﹣a1+a2﹣a3+a4＝80 ②，
将①和②相加可得，2（a2+a4）＝80，
所以a2+a4＝40，
所以a0+a2+a4＝1．
故答案为1．
本题考查二项式展开式的系数的求解方法：赋值法，对题目中的x合理赋值是解题的关键，属于基础题．
16、512
【解析】
直接由，可得，这样推下去
，再带入等比数列的求和公式即可求得结论。
【详解】

故选C。
利用递推式的特点，反复带入递推式进行计算，发现规律，求出结果，本题是一道中等难度题目。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）为边的中点；（2）.
【解析】
(1)由 平面得到∥，在底面中,根据关系确定M为AB中点.
(2)取的中点，的中点，接可证明∠为二面角的平面角，在三角形中利用边关系得到答案.
【详解】
解：(1)因为∥平面,,
平面平面,所以∥由题设可知点为边的中点
（2）平面⊥平面,平面平面,取的中点,连接,在正三角形中为则⊥,由两平面垂直的性质可得⊥平面.取的中点连接可证明∠为二面角的平面角.设，在直角三角形中，所以为所求
本题考查了线面平行，二面角的计算，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
18、（1）5040；（2）1440；（3）.
【解析】
（1）根据排列的定义及排列数公式,即可求得总的排列方法.
（2）根据分步计数原理,先把两端的位置安排男生,再安排中间5个位置即可.
（3）根据捆绑法计算甲乙两人相邻的排列方法,除以总数即可求得甲乙两人相邻的概率.
【详解】
（1）男生4人和女生3人排成一排
则总的安排方法为种
（2）因为两端不安排女生,所以先把两端安排男生,共有种
剩余5人安排在中间位置,总的安排方法为种
根据分步计数原理可知两端不安排女生的方法共有种
（3）甲乙两人相邻,两个人的排列为
把甲乙看成一个整体,和剩余5人一起排列,总的方法为
因为男生4人和女生3人排成一排总的安排方法为种
所以甲乙两人相邻的概率为
本题考查了排列组合的综合应用,对特殊位置要求及相邻问题的求法,属于基础题.
19、 (1)证明见解析.
(2) .
【解析】
分析：（1）利用数学归纳法先证明，先证明当时成立，假设当时，命题成立，只需证明当时，命题也成立，证明过程注意三角函数和差公式的应用；（2）由（1）结论得 ，结合诱导公式与特殊角的三角函数可得结果.
详解：（1）1°当时，
左边，右边，
所以命题成立
2°假设当时，命题成立，
即，
则当时，

所以，当时，命题也成立
综上所述，（为正整数）成立
（2）
由（1）结论得

点睛：本题主要考查复数的运算、诱导公式、特殊角的三角函数、归纳推理的应用以及数学归纳法证明，属于中档题.利用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证时结论成立；（2）假设时结论正确，证明时结论正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.
20、 (1)证明见解析；
(2)0；
(3) .
【解析】
分析：(1)令y=x，得，（2）令y=x=1，得的值；（3）先探求，再根据函数单调性转化不等式组，解得结果.
详解：(1)∵(大前提)
∴2)＝

＝．(结论)
(2)∵＝12)＝2，(小前提)
∴.(结论)
(3)∵
，(小前提)
且函数在(0，＋∞)上单调递增，(大前提)
∴解得(结论)
点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.
21、 (1) ,;(2)
【解析】
(1)先求得的根,再根据题意求另一根即可.
(2)根据复数模长的计算表达再求解即可.
【详解】
(1),故,,.
(2)由有,即.
所以.
本题主要考查了复数的基本运算以及模长的用法等,属于基础题型.
22、（1）（2）（3）
【解析】
（1）利用函数是奇函数的定义求解a即可(2)判断函数的单调性，求解函数的值域即可(3)利用函数恒成立，分离参数m,利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可.
【详解】
（1）∵是R上的奇函数，
∴
即：.
即
整理可得.
（2）在R上递增
∵，
,

∴函数的值域为.
（3）由
可得，，.
当时，
令），
则有，
函数在1≤t≤3上为增函数，
∴，
，
故实数m的取值范围为
本题主要考查了函数恒成立条件的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，属于中档题.