2025届福州三校联盟数学高二第二学期期末调研模拟试题含解析.doc

2025届福州三校联盟数学高二第二学期期末调研模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平面直角坐标系xOy中，圆C1：经过伸缩变换后得到线C2，则曲线C2的方程为（　　）
A．4x2+y2＝1 B．x2+4y2＝1 C．1 D．x21
2．已知函数为奇函数,则（ ）
A． B． C． D．
3．已知实数满足，且，则　　
A． B．2 C．4 D．8
4．已知,是离心率为的双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，且直线的斜率分别为，，，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．)
5．在一次独立性检验中，其把握性超过99％但不超过99.5％，则的可能值为（ ）
参考数据：独立性检验临界值表

0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A．5.424 B．6.765 C．7.897 D．11.897
6．在中，，若，则　　
A． B． C． D．
7．一盒中装有5张彩票，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票．设第1次抽出的彩票有奖的事件为A，第2次抽出的彩票有奖的事件为B，则( )
A． B． C． D．
8．若是关于的实系数一元二次方程的一个根，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．已知a＞b，则下列不等式一定正确的是（　　）
A．ac2＞bc2 B．a2＞b2 C．a3＞b3 D．
10．如图，是可导函数，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则（ ）．

A．－1 B．0 C．2 D．4
11．设有一个回归方程为y=2-2.5x,则变量x增加一个单位时（ ）
A．y平均增加2.5个单位 B．y平均增加2个单位
C．y平均减少2.5个单位 D．y平均减少2个单位
12．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若实数满足则的最小值为_______．
14．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为________.
15．将极坐标方程化为直角坐标方程得________．
16．的平方根为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数在处有极大值．
（1）求的值；
（2）求在处的切线方程．
18．（12分）平顶山市公安局交警支队依据《中华人民共和国道路交通安全法》第条规定：所有主干道路凡机动车途经十字口或斑马线，无论转弯或者直行，遇有行人过马路，必须礼让行人，违反者将被处以元罚款，记分的行政处罚．如表是本市一主干路段监控设备所抓拍的个月内，机动车驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：
月份

违章驾驶员人数

（Ⅰ）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；
（Ⅱ）预测该路段月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数．
参考公式：，．
19．（12分）已知椭圆过点，且离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）为椭圆的左、右顶点，直线与轴交于点，点是椭圆上异于
的动点，直线分别交直线于两点.证明：恒为定值.
20．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．求证：为等腰直角三角形
21．（12分） (1)设是两个正实数，且，求证：；
（2）已知是互不相等的非零实数，求证：三个方程，， 中至少有一个方程有两个相异实根．
22．（10分）已知函数
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）若在时恒成立，求的取值范围。
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据条件所给的伸缩变换，反解出和的表达式，然后代入到中，从而得到曲线.
【详解】
因为圆，经过伸缩变换
所以可得，代入圆
得到
整理得，即
故选C项.
本题考查通过坐标伸缩变换求曲线方程，属于简单题.
2、A
【解析】
根据奇函数性质,利用计算得到,再代入函数计算
【详解】
由函数表达式可知，函数在处有定义，则，，则，.故选A.
解决本题的关键是利用奇函数性质,简化了计算,快速得到答案.
3、D
【解析】
由，可得，从而得，解出的值即可得结果．
【详解】

实数满足，故，
又由得：，
解得：，或舍去，
故，
，故选D．
本题考查的知识点是指数的运算与对数的运算，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题．
4、B
【解析】
因为M,N关于原点对称，所以设其坐标，然后再设P坐标，将表示出来. 做差得，即有，最后得到关于的函数，求得值域.
【详解】
因为双曲线的离心率，所以有，故双曲线方程即为.设M,N,P的坐标分别是,则，并且做差得，即有，于是有

因为的取值范围是全体实数集，
所以或，
即的取值范围是，
故选B.
本题考查双曲线的性质，有一定的综合性和难度.
5、B
【解析】
根据独立性检验表解题
详解】

把握性超过99％但不超过99.5％，，选B
本题考查独立性检验表，属于简单题．
6、A
【解析】
根据平面向量的线性运算法则，用、表示出即可.
【详解】

即：
本题正确选项：
本题考查平面向量的加法、减法和数乘运算，属于基础题.
7、D
【解析】
由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，即可求出．
【详解】
由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，
所以．
故选：D．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础．
8、B
【解析】
由题意可知，关于的实系数一元二次方程的两个虚根分别为和，然后利用韦达定理可求出实数与的值.
【详解】
由题意可知，关于的实系数一元二次方程的两个虚根分别为和，
由韦达定理得，解得.
故选B.
本题考查利用实系数方程的虚根求参数，解题时充分利用实系数方程的两个虚根互为共轭复数这一性质，并结合韦达定理求解，也可以将虚根代入方程，利用复数相等来求解，考查运算求解能力，属于中等题.
9、C
【解析】
分别找到特例，说明A，B，D三个选项不成立，从而得到答案.
【详解】
因为，所以当时，得到，故A项错误；
当，得到，故B项错误；
当时，满足，但，故D项错误；
所以正确答案为C项.
本题考查不等式的性质，通过列举反例，排除法得到答案，属于简单题.
10、B
【解析】
将点的坐标代入切线方程得出的值，得出以及，再对函数
求导得，即可得出的值。
【详解】
将点代入直线的方程得，得，所以，，
由于点在函数的图象上，则，
对函数求导得，
，故选：B。
本题考查导数的几何意义，在处理直线与函数图象相切的问题时，抓住以下两点：
（1）函数在切点处的导数值等于切线的斜率；
（2）切点是切线与函数图象的公共点。
11、C
【解析】
试题分析：根据题意，对于回归方程为，当增加一个单位时，则的平均变化为，故可知平均减少个单位，故选C.
考点：线性回归方程的应用.
12、A
【解析】
以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，
直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，
整理可得，即即，
从而，则椭圆的离心率，
故选A.
【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】略
视频
14、
【解析】
根据极值点个数可确定根的个数，将问题转化为与有两个不同交点，利用数形结合的方式可求得结果.
【详解】
由题意得：.
有两个极值点有两个不等实根，
即有两个不等实根，可等价为与有两个不同交点，
，
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
；当时，；当时，，
可得图象如下图所示：

由图象可知，若与有两个不同交点，则，
解得：，即实数的取值范围为.
故答案为：.
本题考查根据函数极值点的个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为导函数为零的方程根的个数，进而进一步转化为两函数交点个数问题的求解，利用数形结合的方式可求得结果.
15、
【解析】
在曲线极坐标方程两边同时乘以，由可将曲线的极坐标方程化为普通方程.
【详解】
在曲线极坐标方程两边同时乘以，得，
化为普通方程得，即，

故答案为：.
本题考查曲线极坐标方程与普通方程之间的转化，解题时充分利用极坐标与普通方程之间的互化公式，考查运算求解能力，属于中等题.
16、
【解析】
根据可得出的平方根.
【详解】
，因此，的平方根为.
故答案为.
本题考查负数的平方根的求解，要熟悉的应用，考查计算能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）先由得出或，然后就和时，函数在处取得极大值进行检验，从而可得出实数的值；
（2）由（1）得出函数的解析式，计算出和的值，然后利用点斜式可写出所求切线的方程.
【详解】
（1）函数的导数为，
由题意可得，可得，解得或，
当时，，
由或，，函数单调递增；
由，，函数单调递减，可得为极小值点；
当时，，
由或，，函数单调递增；
由，，函数单调递减，可得为极大值点.
综上可得；
（2）函数的导数为，
可得在处的切线斜率为，
切点为，可得切线方程为，即为．
本题考查利用导数求函数的极值，以及利用导数求函数的切线方程，在求函数的极值时，除了求出极值点外，还应对导数在极值点左右的导数符号进行分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
18、（Ⅰ）；（Ⅱ）人.
【解析】
（Ⅰ）计算出和，然后根据公式，求出和，得到回归直线方程；（Ⅱ）根据回归直线方程，代入
【详解】
解：（Ⅰ）由表中数据，计算；，
，
，

所以与之间的回归直线方程为；
（Ⅱ）时，，
预测该路段月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为人．
本题考查最小二乘法求回归直线方程，根据回归方程进行预测，属于简单题.
19、（Ⅰ）. （Ⅱ）为定值.证明见解析．
【解析】
本试题主要是考出了椭圆方程的求解，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系的运用的综合考查，体现了运用代数的方法解决解析几何的本质的运用．
（1）首先根据题意的几何性质来表示得到关于a,b,c的关系式，从而得到其椭圆的方程．
（2设出直线方程，设点P的坐标，点斜式得到AP的方程，然后联立方程组，可知借助于韦达定理表示出长度，进而证明为定值．
（Ⅰ）解：由题意可知，，，
解得. …………4分
所以椭圆的方程为. …………5分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知,，.设，依题意，
于是直线的方程为，令，则.
即. …………7分
又直线的方程为，令，则，
即. …………9分
…………11分
又在上，所以,即，代入上式，
得,所以为定值. …………12分
20、见解析
【解析】
根据正弦定理，可得，然后利用余弦定理可得，最后可得结果.
【详解】
证法一：由正弦定理及，
得
，，
，
，
又，
由余弦定理，
得，
即
，
为等腰直角三角形．
证法二：由正弦定理及，
得
，，
，
，，
由正弦定理及，
得，
，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形．
本题考查利用正弦定理、余弦定理的判断三角形的形状，关键在于边角之间的转化，属基础题.
21、（1）见解析；（2）见解析
【解析】
(1)先证明，再在两边同时乘以正数(a+b),不等式即得证；（2）利用反证法证明即可.
【详解】
(1)证明：∵，∴，
∴，∴，
而均为正数，∴，
∴，
∴成立．
(2)证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，
则，，．
相加有，
．①
则，与由题意、、互不相等矛盾．
∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．
本题主要考查不等式的证明，考查反证法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
22、（1）（2）
【解析】
（1）求得函数的导数，得到，，利用直线的点斜式方程，即可求解其切线的方程；
（2）利用导数求得函数在单调递增，在单调递减，求得函数，进而由，即可求解的取值范围。
【详解】
（1）由题意，函数，则，
可得，又，
所以函数在点处的切线方程为。
（2）因为，令，解得，
当时，，当时，，
所以函数在单调递增，在单调递减，
所以，
若，在恒成立，即恒成立，所以，
所以的取值范围是。
本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数求解函数的恒成立问题，其中解答中熟记导数的几何意义，以及准确利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题。