2025年内蒙古自治区包头市第二中学数学高二第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

2025年内蒙古自治区包头市第二中学数学高二第二学期期末教学质量检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在直角梯形中，，是的中点，若在直角梯形中投掷一点，则以，，2为三边构成的三角形为钝角三角形的概率为（ ）

A． B． C． D．
2．点、在以为直径的球的表面上，且，，，若球的表面积是，则异面直线和所成角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 ，则函数g（x）＝xf（x）﹣1的零点的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．某校学生一次考试成绩X（单位：分）服从正态分布N（110，102），从中抽取一个同学的成绩ξ，记“该同学的成绩满足90＜ξ≤110”为事件A，记“该同学的成绩满足80＜ξ≤100”为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率P（B|A）＝（　　）
附：X满足P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.68，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.95，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）＝0.1．
A． B． C． D．
5．设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A． B． C． D．
7．若,则( )
A． B． C． D．
8．若，则m等于(　 　)
A．9 B．8 C．7 D．6
9．已知函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
10．一盒中装有5张彩票，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票．设第1次抽出的彩票有奖的事件为A，第2次抽出的彩票有奖的事件为B，则( )
A． B． C． D．
11．在个排球中有个正品，个次品.从中抽取个，则正品数比次品数少的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知向量满足，且 ，则的夹角为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为___________．
14．从混有张假钞的张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，则两张都是假钞的概率是_________.
15．若，且，则称集合是“兄弟集合”，在集合中的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“兄弟集合”的概率是__________
16．在的二项展开式中，项的系数为________（结果用数值表示）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在六条棱长分别为2、3、3、4、5、5的所有四面体中，最大的体积是多少？证明你的结论．
18．（12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数．
（1）求的分布列（结果用数字表示）；
（2）求所选3个中最多有1名女生的概率．
19．（12分）已知曲线的极坐标方程为，直线，直线．以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系．
（1）求直线的直角坐标方程以及曲线的参数方程；
（2）已知直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求的周长．
20．（12分）已知定义在上的函数是奇函数．
（1）求的值，并判断函数在定义域中的单调性（不用证明）；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21．（12分）已知在上有意义，单调递增且满足.
(1)求证：；

(2)求的值；
(3)求不等式的的解集
22．（10分）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据，，2为三边构成的三角形为钝角三角形建立不等式，其几何意义为以原点为圆心，半径为2的圆在第一象限的部分，用此部分去掉即为符合条件的的运动区域，作出面积比即可
【详解】
由题，，，故设为最长边长，
以，，2为三边构成的三角形为钝角三角形，
即以原点为圆心，半径为的圆，
，
故选
本题考查钝角三角形的三边关系，几何意义转化的能力及几何概型
2、C
【解析】
首先作出图形，计算出球的半径，通过几何图形，找出异面直线和所成角，通过余弦定理即可得到答案.
【详解】

设球的半径为,则，故，如图所示：分别取PA,PB,BC的中点M,N,E，连接MN,NE,ME,AE，易知，平面，由于，所以，所以，因为E为BC的中点，则，由于M,N分别为PA,AB的中点，则，且，同理，且，所以，异面直线和所成角为或其补角，且,在中，，由余弦定理得：
，因此异面直线和所成角余弦值为，故选C.
本题主要考查外接球的相关计算，异面直线所成角的计算.意在考查学生的空间想象能力，计算能力和转化能力，难度较大.
3、B
【解析】
由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得f（x），根据条件作出函数f（x）与h（x）的图象，研究两个函数的交点个数即可得到结论．
【详解】
由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得xf（x）＝1，
当x＝0时，方程xf（x）＝1不成立，即x≠0，
则等价为f（x）＝，
当2＜x≤4时，0＜x﹣2≤2，此时f（x）＝f（x﹣2）＝（1﹣|x﹣2﹣1|）＝﹣|x﹣3|，
当4＜x≤6时，2＜x﹣2≤4，此时f（x）＝f（x﹣2）＝ [﹣|x﹣2﹣3|]＝﹣|x﹣5|，
作出f（x）的图象如图，
则f（1）＝1，f（3）＝f（1）＝，f（5）＝f（3）＝，
设h（x）＝ ，
则h（1）＝1，h（3）＝，h（5）＝＞f（5），
作出h（x）的图象，由图象知两个函数图象有3个交点，
即函数g（x）的零点个数为3个，
故选：B．

本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．
4、A
【解析】
利用条件概率公式，即可得出结论.
【详解】
由题意，
，
，
所以，
故选A项.
本题考查条件概率的计算，正态分布的简单应用，属于简单题.
5、A
【解析】
解析：当时，；当时，，故，应选答案A．
6、D
【解析】
分析：先求出A集合，然后由图中阴影可知在集合A中出去A,B的交集部分即可.
详解：由题得：
所以
故有题中阴影部分可知：阴影部分表示的集合为
故选D.
点睛：考查集合的交集和补集，对定义的理解是解题关键，属于基础题.
7、B
【解析】
对求导,在导函数里取,解得,代入函数,再计算
【详解】

答案为B
本题考查了导数的计算,属于简单题.
8、C
【解析】
分析：根据排列与组合的公式，化简得出关于的方程，解方程即可.
详解：，
，
即，解得，故选C.
点睛：本题主要考查排列公式与组合公式的应用问题，意在考查对基本公式掌握的熟练程度，解题时应熟记排列与组合的公式，属于简单题.
9、B
【解析】
根据奇函数的定义或性质求出，然后可求出导函数，得切线斜率，从而得切线方程
【详解】
∵是奇函数，
∴，
∴，，
是奇函数，，，，
切线方程为，即．
故选B．
本题考查导数的几何意义，考查函数的奇偶性，本题难度一般．
10、D
【解析】
由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，即可求出．
【详解】
由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，
所以．
故选：D．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础．
11、A
【解析】
分析：根据超几何分布，可知共有 种选择方法，符合正品数比次品数少的情况有两种，分别为0个正品4个次品，1个正品3个次品，分别求其概率即可。
详解：正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，
由超几何分布的概率可知，当0个正品4个次品时
当1个正品3个次品时
所以正品数比次品数少的概率为
所以选A
点睛：本题考查了超几何分布在分布列中的应用，主要区分二项分布和超几何分布的不同。根据不同的情况求出各自的概率，属于简单题。
12、C
【解析】
设的夹角为，两边平方化简即得解.
【详解】
设的夹角为，
两边平方，得，
即，
又，
所以，
则，
所以.
故选C
本题主要考查平面向量的数量积的计算和向量夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
首先根据奇函数的定义，得到，即，从而确定出函数的解析式，之后对函数求导，结合导数的几何意义，求得对应切线的斜率，应用点斜式写出直线的方程，最后整理成一般式，得到结果.
【详解】
因为函数是奇函数，
所以，从而得到，即，
所以，所以，所以切点坐标是，
因为，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
故答案是.
该题考查的是有关函数图象在某点处的切线问题，涉及到的知识点有奇函数的定义，导数的几何意义，属于简单题目.
14、
【解析】
试题分析：设事件表示“抽到的两张都是假钞”，事件表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即为，因为,所以，故答案为.
考点：条件概率.
【方法点睛】本题主要考查了条件概率的求法，考查了等可能事件的概率，体现了转化的思想，注意准确理解题意，看是在什么条件下发生的事件，本题是求条件概率，而不是古典概型，属于基础题.解答时，先设表示“抽到的两张都是假钞”，表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即为，再根据条件概率的公式求解.
15、
【解析】
首先确定非空子集的个数；根据“兄弟集合”的定义，可列举出所有“兄弟集合”，根据古典概型概率公式求得结果.
【详解】
集合的非空子集共有：个
集合的非空子集中，为“兄弟集合”的有：，，，，，，，共个
根据古典概型可知，所求概率
本题正确结果：
本题考查古典概型概率问题的求解，关键是能够根据“兄弟集合”的定义确定符合题意的集合个数.
16、
【解析】
根据二项式定理展开式的通项公式,即可求得项的系数.
【详解】
二项式展开式的通项公式为
所以当时为项
则
所以项的系数为
故答案为:
本题考查了二项式定理展开式的应用,求指定项的系数,属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、；证明见解析
【解析】
根据三角形两边之差小于第三边这个性质，按题设数据，所有一边是2的三角形其余两边只可能是（A）3,3；（B）5,5；（C）4，5；（D）3,4，从而题设四面体中，以棱长为2的棱为公共边的两个面的其余两边只可能是下列三种情形：（I）（A）与（B），（II）（A）与（C）；（III）（B）与（C），于是问题转化为对棱长分别为（I）（II）（III）的四面体来计算体积的最大值（或估计）.
【详解】
由三角形两边之差小于第三边这个性质，按题设数据，所有一边是2的三角形其余两边只可能是（A）3,3；（B）5,5；（C）4，5；（D）3,4，从而题设四面体中，以棱长为2为公共边的两个面的其余两边只可能是下列三种情形：（I）（A）与（B），（II）（A）与（C）；（III）（B）与（C）.

对情形（I）（A）与（B），四边形沿AB折叠后使，则由得，即是四面体以为底面的高，
∴体积为；

对情形（II）（A）与（C）四边形沿AB折叠后使，有两种情形，它们体积相等，记为，∵，∴为钝角，与平面斜交，
∴；

对情形（III），（B）与（C），这样的四面体也有两个，体积也相等，记为，
.

∴最大体积为.
本题考查四面体的体积，解题关键是找到以棱长为2的棱为突破点，分析以它为边的两个三角形的边长可能有哪些情形，然后一一求出它们的体积（可估计体积大小），再比较.难度较大.
18、（1）见解析；（2）．
【解析】
试题分析：（1）由于总共只有2名女生，因此随机变量的取值只能为0,1，2，计算概率为，可写出分布列；（2）显然事件是互斥的，因此．
试题解析：（1）由题意知本题是一个超几何分步，随机变量表示所选3人中女生的人数，可能取的值为0，1，2，
的分布列为：

0
1
2

（2）由（1）知所选3人中最多有一名女生的概率为：．
考点：随机变量分布列，互斥事件的概率．
19、（1），；；（2）.
【解析】
（1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．
（2）利用（1）的结论，建立方程组，进一步利用余弦定理求出结果．
【详解】
（1）解：直线，
所以：直线的直角坐标方程为，
直线．
所以：直线的直角坐标方程为
曲线的直角坐标方程为，
所以：曲线的参数方程为（为参数）；
（2）解：联立，
得到，
同理，
又，
所以根据余弦定理可得，
所以周长．
本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，方程组的应用和余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
20、⑴；⑵.
【解析】
试题分析：(1)根据函数奇偶性的定义和性质建立方程关系即可求的值；(2)根据函数奇偶性和单调性的性质,将不等式进行转化进行求解即可.
试题解析：⑴∵是定义在上的奇函数，
∴，∴．
∴，，∴，
即对一切实数都成立．
∴，∴．
⑵不等式等价于．
又是上的减函数，∴．
∴对恒成立，
∴．
即实数的取值范围是．
考点：函数的奇偶性和单调性.
【方法点晴】本题属于对函数单调性应用的考察，若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中的易错点是容易忽视定义域.
21、 (1)证明见解析；
(2)0；
(3) .
【解析】
分析：(1)令y=x，得，（2）令y=x=1，得的值；（3）先探求，再根据函数单调性转化不等式组，解得结果.
详解：(1)∵(大前提)
∴2)＝
＝．(结论)
(2)∵＝12)＝2，(小前提)
∴.(结论)
(3)∵
，(小前提)
且函数在(0，＋∞)上单调递增，(大前提)
∴解得(结论)
点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.
22、（1）单调递增区间为和，单调递减区间为．（2）最大值为6，,最小值为
【解析】
（1）求出定义域和导数，由导数大于零，可得增区间，由导数小于零，可得减区间。
（2）由（1）可得函数在区间上的单调性，由单调性即可求出极值，与端点值进行比较，即可得到函数在区间上的最大值和最小值。
【详解】
（1）函数的定义域为，由得
令得，
当和时，；
当时，，
因此，的单调递增区间为和，单调递减区间．
（2）由（1），列表得

单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增

因为 ，，，
所以在区间上的最大值为6，,最小值为．
本题考查利用导数研究函数的单调区间和最值问题，考查学生的基本运算能力，属于基础题。