2025届甘肃省会宁县高二下数学期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2025届甘肃省会宁县高二下数学期末质量跟踪监视试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某体育彩票规定: 从01到36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想先选定吉利号18，然后再从01到17个号中选出3个连续的号，从19到29个号中选出2 个连续的号，从30到36个号中选出1个号组成一注．若这个人要把这种要求的号全买，至少要花的钱数为( )
A．2000元 B．3200 元 C．1800元 D．2100元
2．使函数y＝xsin x＋cos x是增函数的区间可能是(　　)
A． B．(π，2π)
C． D．(2π，3π)
3．已知函数，则在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离为（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．将函数的图形向左平移个单位后得到的图像关于轴对称，则正数的最小正值是（）
A． B． C． D．
6．已知，且，则等于(　　)
A． B． C． D．
7．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)＝（ ）
A． B．
C． D．
8．如图所示为底面积为2的某三棱锥的三视图，则该三棱锥的侧面积为（ ）

A． B．
C． D．
9．等差数列中的是函数的两个极值点，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．已知，的最小值为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知集合，，则（　）
A． B． C． D．
12．设，若是的最小值，则的取值范围是（　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在的二项展开式中，常数项的值为__________
14．设随机变量服从正态分布，如果，则 ________.
15．的展开式中常数项为 ；各项系数之和为 .（用数字作答）
16．若向量，，，，且，则与的夹角等于________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数的单调性．
18．（12分）不等式的解集是 ，关于x的不等式的解集是 。
(1)若,求；
(2)若，求实数 的取值范围。
19．（12分）某学校课题组为了研究学生的数学成绩与学生细心程度的关系，在本校随机调查了100名学生进行研究.研究结果表明：在数学成绩及格的60名学生中有45人比较细心，另外15人比较粗心；在数学成绩不及格的40名学生中有10人比较细心，另外30人比较粗心.
（I）试根据上述数据完成列联表：

（II）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系？

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：，其中.
20．（12分）已知，命題对任意，不等式恒成立；命题存在，使得成立.
(1)若为真命题，求的取值范围；
(2)若为假，为真，求的取值范围.
21．（12分）已知函数，.
（I）判断曲线在点处的切线与曲线的公共点个数；
（II）若函数有且仅有一个零点，求的值；
（III）若函数有两个极值点，且，求的取值范围.
22．（10分）如图，已知海岛与海岸公路的距离为，，间的距离为，从到，需先乘船至海岸公路上的登陆点，船速为，再乘汽车至，车速为，设.

（1）用表示从海岛到所用的时间，并指明的取值范围；
（2）登陆点应选在何处，能使从到所用的时间最少？
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
第步从到中选个连续号有种选法；第步从到中选个连续号有种选法；第步从到中选个号有种选法.由分步计数原理可知：满足要求的注数共有注,故至少要花,故选D.
2、C
【解析】
求函数y＝xsin x＋cos x的导函数，根据导函数分析出它的单调增区间．
【详解】
由函数得，=．
观察所给的四个选项中，均有，故仅需，
结合余弦函数的图像可知，时有，所以答案选C．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，对于函数，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，这是解题关键．此题属于基础题．
3、C
【解析】
分析：求导得到在处的切线斜率，利用点斜式可得在处的切线方程.
详解：已知函数，则 则 即在处的切线斜率为2，又 则在处的切线方程为 即.
故选C.
点睛：本题考查函数在一点处的切线方程的求法，属基础题.
4、A
【解析】
首先根据双曲线的焦距得到，再求焦点到渐近线的距离即可.
【详解】
由题知：，，.
到直线的距离.
故选：A
本题主要考查双曲线的几何性质，同时考查了点到直线的距离公式，属于简单题.
5、D
【解析】
由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，得出结论．
【详解】
解：将函数的图形向左平移个单位后，
可得函数的图象，
再根据得到的图象关于轴对称，可得，即，
令，可得正数的最小值是，
故选：D．
本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．
6、A
【解析】
令，即可求出，由即可求出
【详解】
令，得，所以，故选A。
本题主要考查赋值法的应用。
7、A
【解析】
这是求小赵独自去一个景点的前提下，4 个人去的景点不相同的概率，求出相应基本事件的个数，按照公式计算，即可得出结论．
【详解】
小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种情况，即n(B)＝108,4个人去的景点不同的情况有种，即n(AB)＝24，
.
故选：A
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．
8、B
【解析】
由三视图可以看出有多个直角，将该三棱锥放入正方体中，依次求各面面积即可
【详解】
由三视图可知该几何体是三棱锥（放在棱长为2的正方体中则侧面是边长为的等边三角形，面积为；侧面和都是直角三角形，面积均为，因此，此几何体的侧面积为，故选B

本题考查三视图、几何体侧面积，将棱锥放入棱柱中分析是解题的关键.
9、D
【解析】
求导，根据导数得到是方程的实根，根据等差数列的性质得到答案.
【详解】
由题意可知：，又是函数的极值点，∴是方程的实根，由韦达定理可得.等差数列的性质可得，
∴.
本题考查了等差数列的性质，函数的极值，对数运算，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.
10、C
【解析】
如图所示：在直角坐标系中，取点，，，得到的轨迹方程为，故，得到答案.
【详解】
如图所示：在直角坐标系中，取点
则，，满足，设，
过点作垂直于所在的直线与，则的最小值为，
即，根据抛物线的定义知的轨迹方程为：.
取，故，
即，
当垂直于准线时等号成立.
故选：.

本题考查了向量和抛物线的综合应用，根据抛物线的定义得到的轨迹方程是解题的关键.
11、B
【解析】
先求出集合A，B，由此能求出A∩B．
【详解】
因为所以.
故选：B
本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12、B
【解析】
当时，可求得此时；当时，根据二次函数性质可知，若不合题意；若，此时；根据是在上的最小值可知，从而构造不等式求得结果.
【详解】
当时，（当且仅当时取等号）
当时，
当时，在上的最小值为，不合题意
当时，在上单调递减
是在上的最小值 且
本题正确选项：
本题考查根据分段函数的最值求解参数范围的问题，关键是能够确定每一段区间内最值取得的点，从而确定最小值，通过每段最小值之间的大小关系可构造不等式求得结果.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、15
【解析】
写出二项展开式通项，通过得到，从而求得常数项.
【详解】
二项展开式通项为：
当时，
常数项为：
本题正确结果：
本题考查二项式定理的应用，属于基础题.
14、
【解析】
根据随机变量符合正态分布和正态分布的曲线关于对称，得到一对对称区间的概率之间的关系，即可求得结果
【详解】
随机变量服从正态分布
曲线关于直线对称

故答案为
本题主要考查的知识点是正态分布，解题的关键是正态分布和正态分布的曲线关于对称，属于基础题。
15、10；32
【解析】
的展开式的通项为

由得故展开式中常数项为
取即得各项系数之和为.
16、
【解析】
由平面向量数量积的运算的：，
即与的夹角等于

【详解】
由，，所以，，，
所以，
即与的夹角等于，
故答案为：
本题考查向量数量积的坐标运算、向量的夹角公式、向量模的求法，属于基础题。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ）讨论见解析
【解析】
（Ⅰ）利用导数的几何意义求解即可；
（Ⅱ）分类讨论参数的范围，利用导数证明单调性即可.
【详解】
解：（Ⅰ）当时，
所以．
所以．
所以曲线在点处的切线方程为．
（Ⅱ）因为，
所以．
（1）当时，因为
由得，
由得，
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减．
（2）当时，令，得．
① 当时，
由，得；
由，得或．
所以在区间内单调递增，在区间和内单调递减．
②当时，
由得或；
由得．
所以在区间和内单调递增，在区间内单调递减．
③当时，因为
所以在区间内单调递增．
④当时，由得或；
由得．
所以在区间和内单调递增，在区间内单调递减．
综上可知，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减；
当时，在区间内单调递增，在区间和内单调递减；
当时，在区间和内单调递增，在区间内单调递减；
当时，在区间内单调递增；
当时，在区间和内单调递增，在区间内单调递减．
本题主要考查了导数的几何意义以及利用利用导数证明含参函数的单调性，属于中档题.
18、 (1) (2)
【解析】
(1)解集合A，当解得集合B,从而可得；（2）由可得，对m进行讨论得出集合B的范围即可得出m范围.
【详解】
（1）,解得即，由得，所以,所以;
(2) 即 (i),所以且，得；(ii),所以且，得；
综上，.
本题考查了分式不等式和二次不等式的解法，集合交集的运算，集合补集运算的转化，属于中档题.
19、（I）列联表见解析；（II）能.
【解析】
（I）根据题意填写2×2列联表即可；（II）根据2×2列联表求得K2的观测值，对照临界值表即可得出结论．
【详解】
（I）填写的列联表如下：

（II）根据列联表可以求得的观测值
，
所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系.
本题考查了独立性检验的应用问题，准确计算是关键，是基础题．
20、 (1)；(2)
【解析】
（1）由题得，解不等式即得解；（2）先由题得，
由题得，中一个是真命题，一个是假命题，列出不等式组，解不等式组得解.
【详解】
(1)对任意，不等式恒成立，
当，由对数函数的性质可知当时，的最小值为，
，解得.
因此，若为真命题时，的取值范围是.
(2)存在，使得成立，.
命题为真时，，
且为假，或为真，
，中一个是真命题，一个是假命题.
当真假时，则解得；
当假真时，，即.
综上所述，的取值范围为.
本题主要考查指数对数函数的性质和不等式的恒成立问题的解法，考查复合命题的真假和存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21、（I）详见解析；（II）；（III）
【解析】
（I）利用导函数求出函数在点，（1）处的切线方程，和函数联立后由判别式分析求解公共点个数；
（II）写出函数表达式，由得到，求函数的最小值既是所要求的的值；
（III）写出函数的表达式，构造辅助函数，由原函数的极值点是其导函数的零点分析导函数对应方程根的情况，分离参数后构造新的辅助函数，求函数的最小值，然后分析当大于函数最小值的情况，进一步求出当时的的值，则答案可求．
【详解】
解：（I）由，得，
（1），又（1），
曲线在点，（1）处的切线方程为，
代入，得，
当或时，△，有两个公共点；
当或时，△，有一个公共点；
当时，△，没有公共点．
（II），
由，得，
令，，
在上递减，在上递增，
因此，（1）．
（III），
令，
，
即有两个不同的根，，
令，
且当时，随的增大而增大；
当时，
，
，
此时．
即时，
．
本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了函数零点的求法，考查了利用导数求函数的最值，充分利用了数学转化思想方法，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是难度较大的题目．
22、（1），.（2）登陆点与的距离为时，从海岛到的时间最少.
【解析】
求出AD，CD，从而可得出的解析式；
利用导数判断函数单调性，根据单调性得出最小值对应的夹角.
【详解】
（1）在中，∵，，
∴，，
∴，
∴，
即.
∵，
∴，
∴(若写成开区间不扣分).
（2），
，
当时，，当时，，
所以时，取最小值，即从海岛到的时间最少，
此时.
答：（1），.
（2）登陆点与的距离为时，从海岛到的时间最少.
本题考查了解三角形的应用和正弦定理的应用，考查了利用导数求函数最值，属中档题．