2024-2025学年湖北省各地高二下数学期末检测试题含解析.doc

2024-2025学年湖北省各地高二下数学期末检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（ ）
A．150种 B．180种 C．240种 D．540种
2．点是椭圆上的一个动点,则的最大值为(   )
A． B． C． D．
3．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是
A．，则
B．，则
C．，则
D．，则
4．设曲线及直线所围成的封闭图形为区域，不等式组所确定的区域为，在区域内随机取一点，则该点恰好在区域内的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．将曲线按变换后的曲线的参数方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知为虚数单位，复数满足，在复平面内所对的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，、为上两点，且的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ）

A．点到平面的距离
B．直线与平面所成的角
C．三棱锥的体积
D．△的面积
8．△ABC的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是 ( )
A． B．（y≠0）
C． D．（y≠0）
9．已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
10．某体育彩票规定: 从01到36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想先选定吉利号18，然后再从01到17个号中选出3个连续的号，从19到29个号中选出2 个连续的号，从30到36个号中选出1个号组成一注．若这个人要把这种要求的号全买，至少要花的钱数为( )
A．2000元 B．3200 元 C．1800元 D．2100元
11．已知复数，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．已知，则等于( )
A．-4 B．-2 C．1 D．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．数列满足，则_________.
14．已知函数的图象上存在点,函数的图象上存在点,且点和点关于原点对称，则实数的取值范围是________.
15．在的展开式中的所有的整数次幂项的系数之和为__________．
16．已知正项数列{an}满足，若a1＝2，则数列{an}的前n项和为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数，曲线通过点，且在点处的切线垂直于轴.
（1）用分别表示和；
（2）当取得最小值时，求函数的单调区间.
18．（12分）（本小题满分12分）
在等比数列中，.
(1)求；
(2)设，求数列的前项和.
19．（12分） “DD共享单车”是为城市人群提供便捷经济、绿色低碳的环保出行方式，根据目前在三明市的投放量与使用的情况，有人作了抽样调查，抽取年龄在二十至五十岁的不同性别的骑行者，统计数据如下表所示：

男性
女性
合计
20～35岁

40
100
36～50岁
40

90
合计
100
90
190
(1)求统计数据表中的值；
(2)假设用抽到的100名20～35岁年龄的骑行者作为样本估计全市的该年龄段男女使用“DD共享单车”情况，现从全市的该年龄段骑行者中随机抽取3人，求恰有一名女性的概率；
(3)根据以上列联表，判断使用“DD共享单车”的人群中，能否有的把握认为“性别”与“年龄”有关，并说明理由.
参考数表：

参考公式：，.
20．（12分）已知双曲线的右焦点是抛物线的焦点，直线与该抛物线相交于、两个不同的点，点是的中点，求(为坐标原点)的面积.
21．（12分）已知二次函数的图象过原点，满足，其导函数的图象经过点.
求函数的解析式；
设函数，若存在，使得对任意，都有，求实数的取值范围.
22．（10分）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．

（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
先将个人分成三组, 或,分组方法有中,再将三组全排列有种,故总的方法数有种.选A.
2、A
【解析】
设，由此，根据三角函数的有界性可得结果.
【详解】
椭圆方程为,设,
则 (其中),
故,的最大值为，故选A.
本题主要考查椭圆参数方程的应用，辅助角公式的应用，属于中档题. 利用公式 可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域；④对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.
3、D
【解析】
根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理依次判断各个选项即可
【详解】
两平行平面内的直线的位置关系为：平行或异面，可知错误；
且，此时或，可知错误；
，，，此时或，可知错误；
两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条必垂直于该平面，正确.
本题正确选项：
本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查学生对于定理的掌握程度，属于基础题.
4、C
【解析】
分析：求出两个区域的面积，由几何概型概率公式计算可得.
详解：由题意，，
∴，
故选C.
点睛：以面积为测度的几何概型问题是几何概型的主要问题，而积分的重要作用正是计算曲边梯形的面积，这类问题巧妙且自然地将新课标新增内容——几何概型与定积分结合在一起，是近几年各地高考及模拟中的热点题型．预计对此类问题的考查会加大力度．
5、D
【解析】
由变换：可得：,代入曲线可得：，
即为：令 (θ为参数)即可得出参数方程．
故选D.
6、B
【解析】
化简得到，得到答案.
【详解】
，故，故对应点在第二象限.
故选：.
本题考查了复数的化简，对应象限，意在考查学生的计算能力.
7、B
【解析】
试题分析：将平面延展到平面如下图所示，由图可知，到平面的距离为定值.由于四边形为矩形，故三角形的面积为定值，进而三棱锥的体积为定值.故A，C，D选项为真命题，B为假命题.

考点：空间点线面位置关系.
8、D
【解析】

所以定点的轨迹为以A,B为焦点的椭圆，去掉A,B,C共线的情况，即 ，选D.
9、C
【解析】
解：令导数y′=-x2+81＞0，解得0＜x＜9；
令导数y′=-x2+81＜0，解得x＞9，
所以函数y=-x3+81x-234在区间（0，9）上是增函数，
在区间（9，+∞）上是减函数，
所以在x=9处取极大值，也是最大值，故选C．
10、D
【解析】
第步从到中选个连续号有种选法；第步从到中选个连续号有种选法；第步从到中选个号有种选法.由分步计数原理可知：满足要求的注数共有注,故至少要花,故选D.
11、D
【解析】
因为，所以复数在复平面内对应的点为，在第四象限，选D.
12、D
【解析】
首先对f（x）求导，将1代入，求出f′（1）的值，化简f′（x），最后将x＝3代入即可．
【详解】
因为f′（x）＝1x+1f′（1），
令x＝1，可得
f′（1）＝1+1f′（1），
∴f′（1）＝﹣1，
∴f′（x）＝1x+1f′（1）＝1x﹣4，
当x＝3，f′（3）＝1．
故选：D
本题考查导数的运用，求出f′（1）是关键，是基础题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、.
【解析】
根据数列递推关系，列出前面几项，发现数列是以6为周期的周期数列，然后根据周期数列的性质特点可得出的值．
【详解】
由题干中递推公式可得：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
数列是以6为最小正周期的周期数列．
，
．
故答案为：.
本题主要考查周期数列的判定及利用周期数列的性质特点求数列任一项的值，考查不完全归纳法的应用，考查从特殊到一般的思想和基本的运算求解能力．
14、
【解析】
由题可以转化为函数y＝a+2lnx（x∈[，e]）的图象与函数y＝x2+2的图象有交点，即方程a+2lnx＝x2+2（x∈[，e]）有解，即a＝x2+2﹣2lnx（x∈[，e]）有解，令f（x）＝x2+2﹣2lnx，利用导数法求出函数的值域，可得答案．
【详解】
函数y＝﹣x2﹣2的图象与函数y＝x2+2的图象关于原点对称，
若函数y＝a+2lnx（x∈[，e]）的图象上存在点P，函数y＝﹣x2﹣2的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，
则函数y＝a+2lnx（x∈[，e]）的图象与函数y＝x2+2的图象有交点，
即方程a+2lnx＝x2+2（x∈[，e]）有解，
即a＝x2+2﹣2lnx（x∈[，e]）有解，
令f（x）＝x2+2﹣2lnx，则f′（x），
当x∈[，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，e]时，f′（x）＞0，
故当x＝1时，f（x）取最小值3，
由f（）4，f（e）＝e2，
故当x＝e时，f（x）取最大值e2，
故a∈[3，e2]，
故答案为
本题考查的知识点是函数图象的对称性，函数的值域，难度中档．
15、122
【解析】
分析：根据二项式定理的通项公式，写出所有的整数次幂项的系数，再求和即可。
详解：所以整数次幂项为为整数是
，所以系数之和为122
点睛：项式定理中的具体某一项时，写出通项的表达式，使其满足题目设置的条件。
16、.
【解析】
先化简得到数列{an}是一个等比数列和其公比，再求数列{an}的前n项和.
【详解】
因为，
所以，
因为数列各项是正项，所以，
所以数列是等比数列，且其公比为3，
所以数列{an}的前n项和为.
故答案为：
（1）本题主要考查等比数列性质的判定，考查等比数列的前n项和，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)解答本题的关键是得到.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；（2）的减区间为和；增区间为.
【解析】
分析：（1）求函数的导数，利用已知条件和导数的几何意义，即可用分别表示和；
（2）当取得最小值时，求得，和的值.写出函数的解析式，根据求导法则求出，令=0求出的值，分区间讨论的正负，即可得到函数的单调区间.
详解：解：（1）因为，所以
又因为曲线通过点,
故，而，从而.
又曲线在处的切线垂直于轴，
故，即，因此.
（2）由（1）得，
故当时，取得最小值.
此时有.
从而，，
，
所以.
令，解得.
当时，，故在上为减函数；
当时，，故在上为增函数.
当时，，故在上为减函数.
由此可见，函数的单调递减区间为和；单调递增区间为.
点睛：本题考查导数的几何意义，利用函数的导数研究函数的单调性，以及二次函数的最值问题，做题时要注意函数的求导法则的正确运用.
18、 (1).（2）.
【解析】
试题分析：(1)设的公比为q，依题意得方程组，
解得，即可写出通项公式.
（2）因为，利用等差数列的求和公式即得.
试题解析：(1)设的公比为q，依题意得
，
解得，
因此，.
（2）因为，
所以数列的前n项和.
考点：等比数列、等差数列.
19、 (1)，.(2)；(3)答案见解析.
【解析】
试题分析：
(1)由题意结合题中所给的列联表可得，.
(2)由题意结合二项分布的概率公式可得恰有一名女性的概率是；
(3)利用独立性检验的结论求得.所以在使用共享单车的人群中，有的把握认为“性别”与“年龄”有关.
试题解析：
(1)，.
(2)依题意得，每一次抽到女性的概率，
故抽取的3人中恰有一名女性的概率.
(3).
所以在使用共享单车的人群中，有的把握认为“性别”与“年龄”有关.
点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．
20、
【解析】
分析：由双曲线方程可得右焦点，即为抛物线的焦点，可得抛物线的方程，利用点差法得到直线的斜率为联立直线方程，可得y的二次方程，解得，利用割补法表示的面积为，带入即可得到结果.
详解：∵ 双曲线的左焦点的坐标为
∴的焦点坐标为，∴，
因此抛物线的方程为
设，，，则，
∴
∵为的中点，所以，故
∴直线的方程为
∵ 直线过点， ∴，
故直线的方程为，其与轴的交点为
由得：，，
∴的面积为.
点睛：本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查直线方程与抛物线的方程联立，考查了点差法，考查了利用割补思想表示面积，以及化简整理的运算能力，属于中档题．
21、（1）（2）或
【解析】
（1）设函数，当满足时，函数关于对称，且，这样利用待定系数法可求得函数的解析式；（2）根据题意可知，分别求两个函数的的最大值，求解不等式.
【详解】
解：设，
所以的对称轴方程为
又，则
两式联立，解得，
所以
由已知
因为，
所以在单增，单减，当时，
法一：当时，在上为减函数，．
，此时，解得
当时，上为增函数，
此时，解得
综上，实数的取值范围是或
（法二：因为且，所以为单调函数，，又，
于是由，解得
又且，所以实数的取值范围是或
本题考查了二次函数解析式和最值的求法，对于第二问两个都改成任意，那么转化为，如果两个都是存在，转化为，理解任意，存在的问题如何转化为最值的问题.
22、（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析．
【解析】
解法一：（Ⅰ）由抛物线的定义得．
因为，即，解得，所以抛物线的方程为．
（Ⅱ）因为点在抛物线上，
所以，由抛物线的对称性，不妨设．
由，可得直线的方程为．
由，得，
解得或，从而．
又，
所以，，
所以，从而，这表明点到直线，的距离相等，
故以为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为．
因为点在抛物线上，
所以，由抛物线的对称性，不妨设．
由，可得直线的方程为．
由，得，
解得或，从而．
又，故直线的方程为，
从而．
又直线的方程为，
所以点到直线的距离．
这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．
考点：1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系．