向量的概念与运算.doc

向量的概念与运算

　　本周教学内容：
　　1. 向量的概念；
　　2. 向量的运算(加法、减法、数乘).

　　学习要求：
　　1. 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念；
　　2. 掌握向量的加法与减法；
　　3. 掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件；
　　4. 了解平面向量的基本定理.

　　教学重难点：
　　1. 向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示；
　　2. 对向量的加法和减法的定义的理解；
　　3. 实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件.

　　知识要点：
　　一、向量的概念
　　1. 向量的基本概念：
　　向量：既有大小、又有方向的量.
　　向量的二要素：大小、方向.

　　有些向量与起点有关，如位移、力等，有些向量与起点无关，如速度等. 与起点无关的向量叫做自由向量，数学中所谈及向量如无特别说明，均指自由向量.

　　2. 向量的表示：(1)几何表示法：用有向线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向；(2)字母表示法：用有向线段的起点和终点，起点在前，终点在后，或者用英文小写字母，并在字母上加箭头表示，如等.

　　注意：手写体均需要加箭头. 打印字体中向量一般用黑体来表示.

　　3. 向量的相关概念：

　　模向量的大小称为模. 的模分别记为

　　零向量：模为零的向量叫做零向量，规定：零向量的方向是任意的.

　　单位向量：模为一个单位长度的向量叫做单位向量.

　　相等向量：大小相等且方向相同的向量叫做相等向量，若相等，则记为，规定：零向量和零向量相等，即

　　相反向量：大小相等且方向相反的向量叫做相反向量，的相反向量记为.规定：零向量的相反向量是零向量，即

　　平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，若平行，则记为 由于数学中所研究向量与起点无关，于是可以将平行向量平移到同一条直线上，于是平行向量又叫做共线向量. 规定：零向量和任意向量平行.

　　注：(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小；

　　(2)平行向量的定义中“非零”限制；

　　(3)相等向量、相反向量、平行向量(共线向量)的定义都有“规定”；

　　(4)向量中的平行与平面几何中的平行含义不完全相同，尤其要注意到不同：时，A、B、C、D四点是可以共线的，但AB∥CD成立时，A、B、C、D四点是不可以共线的。

　　二、向量的加法与减法

　　加法定义：(三角形法则)

　　注：需要明确一个向量的起点是另一个向量的终点。

　　减法定义：

　　说明：1. 加法、减法的结果依然是一个向量；

　　2. (1)若

　　(2)若

　　(3)若同向，且

　　3. 运算律

　　加法交换律：(由此可得出平行四边形法则)

　　结合律：

　　注：(1)平行四边形法则作图求和时，两个向量的起点应该相同；

　　(2)常用结论特征是首尾相连.

　　减法：-

　　三、实数与向量的乘积(数乘)

　　1. 定义：从模、方向两个方面理解。

　　(1)模：

　　(2)方向：当需要明确的记住：实数与向量的乘法结果是一个向量。

　　2. 运算律

　　3. 向量共线的充要条件

　　注：(1)非零条件不可去掉；因为如果，则存在无数个实数满足条件；若，则不存在实数满足条件；(2)书中的解释没有明确说明实数的惟一性。

　　4. 平面向量基本定理

　　设是平面内不共线的两个向量，那么对于该平面内的任意一个向量有且只有一对实数使得

　　不共线的向量叫做表示这一平面向量的一组基底。

　　说明：(1)

　　(2)表示一个平面的基底有无数组

　　(3)在给定的基底的前提下，平面的向量与实数对是一一对应的。

　　例题：

　　例1.判断真假

　　①单位向量都相等；

　　②向量的模都是正实数；

　　③共线向量一定在同一条直线上；

　　④若；

　　⑤若；

　　⑥若ABCD是平行四边形，则.

　　解析：①错，向量相等应该是大小和方向都相等；单位向量只是规定了大小为1，方向可以不同；

　　②错，向量的模是指向量的大小，零向量的模为0，不是正实数；

　　③错，共线向量是指可以平移到同一条直线上的向量，如平行四边形ABCD中，不在同一条直线上；

　　④错，如图，成立，但AB∥CD不成立；

　　⑤对；⑥错，的方向不相同.

　　例2. 如图是4×3的矩形(每个方格都是单位正方形)，在起点与终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：与相等的向量有几个(不含)？与的向量有几个？与有几个？

　　解析：与相等的向量有5个，

　　与的向量有24个，

　　与同向且模为

　　例3. 化简

　　解：法一：

　　法二：

　　注意：向量的加、减、数乘运算的最后结果都是向量，因此不可写作0.

　　例4. 如图，已知△ABC三边中点为D、E、F，求证：

　　证明：因为D、E、F为中点，

　　所以

　　发展：G为△ABC重心

　　例5. 如图，在△AOB中，，BE：EA=1：2，F是OA中点，线段OE与BF交于点G，试用基底表示：(1)(2)；(3).

　　解1)

　　(2)

　　(3)法一：设

　　又

　　所以

　　所以

　　法二：过E作EM∥BF交OA于M，下略.

　　练习：

　　1. 设是三个向量，若，则( )

　　A. B. 当 C. 当 D. 当

　　2. 已知 ( )

　　A. 一定共线 B. 一定不共线

　　C. 仅当共线时共线 D. 仅当时共线

　　3. 已知向量不共线，共线，则k等于( )

　　A. ±1 B. 1 C. -1 D. 0

　　4. 设向量有相同的起点O，且，则当m，n满足什么条件时才能使的终点A，B，C在一条直线上( )

　　A. m+n=-1 B. m+n=0 C. m-n=1 D. m+n=1

　　5. 平行四边形ABCD的中心为点O，P为该平面上一点，，则

　　6. 化简

　　(1)；

　　(2).

　　7. 如图，已知.

　　8. 若向量不共线，实数x，y满足

　　练习答案与提示：

　　1. C 提示：注意任意向量和零向量平行.

　　2. C 提示：.

　　3. A 提示：显然k≠0，所以

　　4. D 提示：A，B，C共线则

　　所以，则m=1-k，n=k.

　　5.

　　6. (1)(2).

　　7. .

　　8. 1 提示：2x-y=5，4=x-2y，得x=2，y=-1. 向量的概念与运算

　　本周教学内容：
　　1. 向量的概念；
　　2. 向量的运算(加法、减法、数乘).

　　学习要求：
　　1. 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念；
　　2. 掌握向量的加法与减法；
　　3. 掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件；
　　4. 了解平面向量的基本定理.

　　教学重难点：
　　1. 向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示；
　　2. 对向量的加法和减法的定义的理解；
　　3. 实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件.

　　知识要点：
　　一、向量的概念
　　1. 向量的基本概念：
　　向量：既有大小、又有方向的量.
　　向量的二要素：大小、方向.

　　有些向量与起点有关，如位移、力等，有些向量与起点无关，如速度等. 与起点无关的向量叫做自由向量，数学中所谈及向量如无特别说明，均指自由向量.

　　2. 向量的表示：(1)几何表示法：用有向线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向；(2)字母表示法：用有向线段的起点和终点，起点在前，终点在后，或者用英文小写字母，并在字母上加箭头表示，如等.

　　注意：手写体均需要加箭头. 打印字体中向量一般用黑体来表示.

　　3. 向量的相关概念：

　　模：向量的大小称为模. 的模分别记为

　　零向量：模为零的向量叫做零向量，规定：零向量的方向是任意的.

　　单位向量：模为一个单位长度的向量叫做单位向量.

　　相等向量：大小相等且方向相同的向量叫做相等向量，若相等，则记为，规定：零向量和零向量相等，即

　　相反向量：大小相等且方向相反的向量叫做相反向量，的相反向量记为.规定：零向量的相反向量是零向量，即

　　平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，若平行，则记为 由于数学中所研究向量与起点无关，于是可以将平行向量平移到同一条直线上，于是平行向量又叫做共线向量. 规定：零向量和任意向量平行.

　　注：(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小；

　　(2)平行向量的定义中“非零”限制；

　　(3)相等向量、相反向量、平行向量(共线向量)的定义都有“规定”；

　　(4)向量中的平行与平面几何中的平行含义不完全相同，尤其要注意到不同：时，A、B、C、D四点是可以共线的，但AB∥CD成立时，A、B、C、D四点是不可以共线的。

　　二、向量的加法与减法

　　加法定义：(三角形法则)

　　注：需要明确一个向量的起点是另一个向量的终点。

　　减法定义

　　说明：1. 加法、减法的结果依然是一个向量；

　　2. (1)若

　　(2)若

　　(3)若同向，且

　　3. 运算律

　　加法交换律：(由此可得出平行四边形法则)

　　结合律：

　　注：(1)平行四边形法则作图求和时，两个向量的起点应该相同；

　　(2)常用结论特征是首尾相连.

　　减法：-

　　三、实数与向量的乘积(数乘)

　　1. 定义：从模、方向两个方面理解。

　　(1)模：

　　(2)方向：当需要明确的记住：实数与向量的乘法结果是一个向量。

　　2. 运算律

　　3. 向量共线的充要条件

　　注：(1)非零条件不可去掉；因为如果，则存在无数个实数满足条件；若，则不存在实数满足条件；(2)书中的解释没有明确说明实数的惟一性。

　　4. 平面向量基本定理

　　设是平面内不共线的两个向量，那么对于该平面内的任意一个向量有且只有一对实数使得

　　不共线的向量叫做表示这一平面向量的一组基底。

　　说明：(1)

　　(2)表示一个平面的基底有无数组

　　(3)在给定的基底的前提下，平面的向量与实数对是一一对应的。

　　例题：

　　例1.判断真假

　　①单位向量都相等；

　　②向量的模都是正实数；

　　③共线向量一定在同一条直线上；

　　④若；

　　⑤若；

　　⑥若ABCD是平行四边形，则.

　　解析：①错，向量相等应该是大小和方向都相等；单位向量只是规定了大小为1，方向可以不同；

　　②错，向量的模是指向量的大小，零向量的模为0，不是正实数；

　　③错，共线向量是指可以平移到同一条直线上的向量，如平行四边形ABCD中，不在同一条直线上；

　　④错，如图，成立，但AB∥CD不成立；

　　⑤对；⑥错，的方向不相同.

　　例2. 如图是4×3的矩形(每个方格都是单位正方形)，在起点与终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：与相等的向量有几个(不含)？与的向量有几个？与有几个？

　　解析：与相等的向量有5个，

　　与的向量有24个，

　　与同向且模为

　　例3. 化简

　　解：法一：

　　法二：

　　注意：向量的加、减、数乘运算的最后结果都是向量，因此不可写作0.

　　例4. 如图，已知△ABC三边中点为D、E、F，求证：

　　证明：因为D、E、F为中点，

　　所以

　　发展：G为△ABC重心

　　例5. 如图，在△AOB中，，BE：EA=1：2，F是OA中点，线段OE与BF交于点G，试用基底表示：(1)(2)；(3).

　　解：(1)

　　(2)

　　(3)法一：设

　　又

　　所以

　　所以

　　法二：过E作EM∥BF交OA于M，下略.

　　练习：

　　1. 设是三个向量，若，则( )

　　A. B. 当 C. 当 D. 当

　　2. 已知 ( )

　　A. 一定共线 B. 一定不共线

　　C. 仅当共线时共线 D. 仅当时共线

　　3. 已知向量不共线，共线，则k等于( )

　　A. ±1 B. 1 C. -1 D. 0

　　4. 设向量有相同的起点O，且，则当m，n满足什么条件时才能使的终点A，B，C在一条直线上( )

　　A. m+n=-1 B. m+n=0 C. m-n=1 D. m+n=1

　　5. 平行四边形ABCD的中心为点O，P为该平面上一点，，则

　　6. 化简

　　(1)；

　　(2).

　　7. 如图，已知.

　　8. 若向量不共线，实数x，y满足

　　练习答案与提示：

　　1. C 提示：注意任意向量和零向量平行.

　　2. C 提示：.

　　3. A 提示：显然k≠0，所以

　　4. D 提示：A，B，C共线则

　　所以，则m=1-k，n=k.

　　5.

　　6. (1)(2).

　　7. .

　　8. 1 提示：2x-y=5，4=x-2y，得x=2，y=-1.
向量的运算
1.运算定义
运 算
图形语言
符号语言
坐标语言
加法与减法

+=
=
记=(x1，y1)，=(x2，y2)
则=(x1+x2，y1+y2)
=(x2-x1，y2-y1)

+=

实数与向量的乘积

记=(x，y)
则
两个向量的数量积

记
则=x1x2+y1y2

2.运算律
　　加法：
　　①(交换律)； ②(结合律)
　　实数与向量的乘积：
　　①； ②；③
　　两个向量的数量积：
　　①·=·； ②()·=·()=(·)；③(+)·=·+·

3.运算性质及重要结论
　　(1)平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，
　 　　有且只有一对实数，使，称为的线性组合.
　 　　①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；
　 　　②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一
　 　　　的.
　 　　③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实
　 　　　际上是平面向量坐标表示的基础.
　 　　向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，
　 　　即若A(x，y)，则=(x，y)；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即
　 　　若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1)
　　(2)两个向量平行的充要条件
　 　　符号语言：
　 　　坐标语言为：设非零向量，则∥(x1，y1)=(x2，y2)，
　 　　或x1y2-x2y1=0.
　　(3)两个向量垂直的充要条件
　 　　符号语言：
　 　　坐标语言：设非零向量，则
　　(4)两个向量数量积的重要性质：
　 　　① 即 求线段的长度)；
　 　　②(垂直的判断)；
　 　　③ (求角度).

四、规律方法指导
1. 向量的线性运算
　　(1)在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能
　 　　利用向量运算完成简单的几何证明；
　　(2)向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，减法的三角形法则应
　 　　记住：连接两端(两向量的终点)，指向被减(箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提.

2. 共线向量与三点共线问题
　　向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.
(1)用向量证明几何问题的一般思路：
　　先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向
　　量的运算来证明.

(2)向量在几何中的应用：
　　①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件
　　　(x1，y1)=(x2，y2)
　　②证明垂直问题，常用垂直的充要条件

　　③求夹角问题，利用
　　④求线段的长度，可以利用或