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《鸡兔同笼》教学案例及反思
一、思考的问题：
1、数学课堂如何引导学生发现、探究 、解决问题呢？
2、新课程下学生方法多样时教师该如何处理呢？
二、背景介绍：
“鸡兔同笼”问题是人教版课程标准实验教科书六年级上册第112—114页内容。在传统教材中，这一问题都是以提高题出现，面对的是少部分学有余力的学生。在新教材中，此问题成为面向全体学生的教学内容。《教师教学用书》中提到：教材选“鸡兔同笼”这个题材，主要不是解决“鸡兔同笼”问题本身，而是要借助“鸡兔同笼”这个载体让学生经历列表、尝试和不断调整的过程，从中体会出解决问题的一般策略――列表。教学时，教师不必组织学生总结用公式解答题目的规律。
三、案例描述：
（一）创设情境
师：同学们你知道哪些数学名著呢？（课件出示许多数学名著）今天这一节课，我们要共同研究我国古代数学名著《孙子算经》中的一道趣题“鸡兔同笼”问题。（板书：鸡兔同笼）你们知道鸡兔同笼是什么意思？
生：鸡兔同笼就是鸡兔在一个笼子里。
（媒体出示情景图）
师：请你猜一猜，图中大约有几只兔子，几只鸡？
生1：我猜大约是7只，兔子5只鸡。
生2：不一定。因为有一棵树把鸡和兔子挡住了，所以我不知道各有几只。
(二)探求新知
1、师：如果告诉你：鸡兔同笼，有20个头，54条脚，鸡、兔各多少？能求出几只兔子，几只鸡吗？（媒体出示题目的条件）
师：想一想，要解决这个问题可以用什么方法？想好了，写在练习本上。
师：请同学们把自己的想法在小组内交流一下，看哪个小组的方法多样。
各小组有的在激烈地讨论，有的在画图、列表，我也加入其中。
2、用多种算法解决问题
生1：我用假设法。假设这20只全部是兔子，那么就应该有80条腿，而题目只告诉我们有54条腿，80比54多算了26条腿，因为一只鸡是两条腿，而我们把它当成四条腿算了，如果用一只鸡来换一只兔，就要减少2条腿，也就是我们把多少只鸡当成了兔子，显然26÷2＝13(只）所以鸡有13只，兔子有7只。可以列式为：
20×4＝80 80-54＝26 4-2=2 26÷2＝13（只），20-13=7(只）。
（没想到提问的第一个学生就用了假设法，这时另一个声音响起，还可以假设全部是鸡。）
生2：也可以假设这20只全部是鸡，那么就应该有40条腿，比实际少了14条腿，是因为每只兔子少算了2条腿，这样共有兔子是7只，鸡则是13只。
这样列式：（54-20×4)÷(4－2）=13(只），20－13＝7（只）。
（经过调查，用假设法的学生有10个左右，都是学习过奥数知识的学生。）
生3：我是用列表格的方法。
鸡和兔共20只的条件，假设鸡只有1只，那么兔有19只，腿共有78条… 在这样的逐一举例中，直至寻求到答案。
生4：我也是用表格法。先作一些分析，比较后再列表。
生5：先假设鸡和兔各占一半，再列表。
第3、4、5三种方法中，第一张表格是常规的逐一列举法，即根据鸡与兔共20只的条件，假设鸡只有1只，那么兔就有19只，腿共有78条；假设鸡有2只，那么兔就有18只，腿共有76条…，再这样的逐一举例中，直至找到所求的答案。经过课堂调查此种方法我们班只有几个学生采用，学生觉得从一开始列举，比较麻烦。第二张表格是估计鸡与兔数量的可能范围，以减少举例的次数。第三张表格是采用取中列举的方法由于鸡和兔共20只，所以各取10只，接着在举例中根据实际数据的情况确定举例的方向，这样可以大大缩小举例的范围。我们班有一半的学生采用这种方法。
生6：我用画图的方法。假设全是鸡，先画20个圆圈表示20个头。再为每个动物画两条腿，20只动物只用完40条腿，还多出了14条腿。把剩下的14条腿用完，要给其中的7只动物加2条腿，这7只就是兔子，另外的13只就是鸡。
接着我提醒学生，还可以怎样画？
生7：先画20个头，接着假设全部是兔，共画80条腿，多出了26条腿，要给其中的13只动物去掉2条腿，这13只就是鸡，另外的7只就是兔了。
（此种作图法，只有2个学生想到，但此法在班上进行展示后，得到了不少同学的喜爱，主要是因为它能直观形象的展示出解题方案。但也有学生提出反对，假如有200个头，岂不是要画很久？）
生8：我用方程解。
设其中有X只兔，有（20－X）只鸡。列式为：2X+4x（20－X）=54,最后算出X＝7，得出兔的只数是7只，那么20－X＝13就是鸡的只数。
一元一次方程法被班上3、4个同学所采用，但因为对于方程，学生运用并不熟练，会列方程，不会解答。
生9：设其中有X只兔，有Y只鸡。列式为：X＋Y＝20，4X+2Y=54。最后算出X=7，Y=13。
（我班史江帆同学当堂提出二元一次方程组由，备课时，我没有考虑到用方程解答，他不但会列式还能有板有眼的算出来。我在课堂上适时的表扬了他。但这种方法基本上除了他自己，其他同学不理解，我也没展开讲。）
这时，有吴薇说：“老师，我还有一种方法，不知对不对。”我鼓励他大胆说出：
4＋2＝6（只），54÷6＝9(个），9－1＝8（只），9－2＝7（只），20－7＝13（只），7X4＝28（条），13X2＝26（条）28+26=54(条）我问：“能说说是怎么想的？”可学生回答，“爸爸教我的，我不会说。”一听，蒙了。我也没有马上理解，只好硬着头皮再问：“有谁知道这种想法吗？”这时教室里静悄悄的，70双眼睛盯着我，我心直发慌，越慌越想不出，只好说老师也想不出，课后我们再讨论。”
（课后，请教了别的老师，才知道，把一只鸡和一只兔看做一个整体，一个整体中就有（4＋2=6）条腿，54条腿应该是几个这样的整体呢？54÷6＝9(个），在9个这样的整体里兔子的只数应该不是9只，因为9只兔和11只鸡的腿的条数超过了总条数54。那么就把兔看成8只，还是偏大，最后把兔的只数看成7只，鸡是13只，腿的总条数就正好是54了。)
师：同学说得都很有道理，无论用什么方法，我们可以根据题目的实际条件，选择适当的方法，这样可以既快又准确地寻找到我们需要的答案。
（三）拓展练习
一只笼子里有若干只鸡和兔子，共有100条腿，36个头，问鸡和兔各有多少只？该题是来自于中国古代的“鸡兔问题”之后，请同学们以小组为单位，从不同角度去探究、发现。
生1：老师，我是这样想的，假如我给这群小动物喊口令：鸡不动，兔子起立！这样它们都只有两条腿在地面上了，就得到72条腿了，那么从少了的28条腿，我们就可以知道兔子是28÷2=14只……
师：你为什么会想到这种方法的？能告诉大家吗？
生1：我让兔子起立，实际上是将兔子的腿分成两部分，一部分和鸡的腿一起计算，一部分单独计算，抓住这个关健，问题就迎刃而解了。
生2：老师，我们也可以假设把鸡和兔子各砍掉两条腿，这样所有的鸡就没有腿了，剩下的腿便是兔子的，而此时的兔子只有两条腿，用(100-36×2)÷2=14只，就求出了兔子的只数。
生3：老师，我们可以假设每只兔子也是两条腿，用100-36×2=28条，这样就多出了28条腿，因为每只兔子少算两条腿，所以28÷2=14只兔。（学生是看课本上的阅读资料获得此想法）
（四）学习总结
师：通过今天的学习，你获得什么知识？学会了哪些学习方法呢？
四、案例反思：
“鸡兔同笼”借助我国古代趣题“鸡兔同笼”问题，使学生展开讨论，应用假设的数学思想，从多角度思考，猜测、推理，运用多种方法解题，学生在具体的解决问题过程中，根据自己的经验，逐步探索不同的方法，找到解决问题的策略，在合作交流学习的过程中，积累解决问题的经验，掌握解决问题的方法。“学起于思，思源于疑”。学生的思维往往是从问题开始的，“问题”是引发学生积极探索，使学生有主动参与的热情。比如上例中，我在出示了例题之后，并没有急于讲解，而是让学生自己主动去探索、发现，使学生能产生奇思妙想，形成独到的解题思路，培养了学生独立探究的意识。
（一）充分调动学生的积极性。
当新的问题提出后，我并没有急于讲解如何做的方法，而是先让学生独立思考，再在小组内交流，最后全班共同研究讨论。使同学们在民主、和谐的氛围中开拓了思维，实现了运用多种方法解决问题的目的。
(二)关注每一个同学的发展。
由于学生原有认知背景的不同，他们对解答本课时的题目存在较大的差异，所以，在同样的列表中，学生的认知水平也有一定的层次。但在教学的过程中，我并没有提出统一的要求，允许不同的学生采用不同的解题方法。在交流时，有些学生用逐一列表的方法，也没去指责他们，而是肯定他们想出好的方法；对于比较优秀的学生，则在课中请他们总结根据题目的条件选择适当方法的优点。这样做的目的，不同的学生在同一节课中就会都有不同程度地提高
（三）在放手探究中体会解题思想。
在学生刚接触“鸡兔同笼”问题时，学生要列式计算往往感到困难，通过列表枚举解决问题是一种实用的解决问题的策略。猜想法和列表法都是解决问题的策略，但都有其局限性。教学中，既让学生理解、掌握和运用了这些策略，又未局限于这些基本的策略；既体现了解决问题策略的多样化，又通过表格规律的发现，为探索新策略奠定了不可缺少的基础；教师既关注了学生解决问题的结果，更关注了学生解决问题的过程与方法，并在不断提升学生解决问题的技能技巧。
（四）在策略多样性中体验最优思想。
让学生认识、理解、运用假设法是本节课的教学重点，也是教学难点。为此，以表格中数据变化规律为探究基础，以小组合作、师生互动为探究方式，以课件动态演示为探究辅助手段，巧妙地将认知经验和思维过程转化成了数学语言，即数学算式，从而形成了解决问题的全新的一般策略，发展了学生的思维水平和推理能力。
(五)注重数学思想的渗透。
“鸡兔同笼”是我国民间广为流传的数学趣题，教学中揭去了它令人生畏的奥数面纱，还其生动有趣的一面。通过学习，不仅使学生感受祖先的聪明才智，而且体会到解题策略的多样性以及其中蕴含的丰富的数学思想方法，培养学生的学习兴趣和能力。教学中，学生先后运用猜测法、列表法、假设法、代数法等分析和解决问题，从而获得了分析问题和解决问题的能力。组织学生多手段、多层面、多角度地探索问题，解决问题的基本方法和一般方法，体验了解决问题策略的多样性，使学生感受“鸡兔同笼”问题的变式及其在生活中的广泛的应用，同时体会解题过程中化难为易、化繁为简的思想方法，发展了学生创新意识，开拓了学生解题思路，发展了学生的个性，使学生在各种数学思想的渗透中形成良好的数学解题能力。
这节课给了我一个警示：学无境止。新课程下的教师如何才能备好一节数学课呢？常说中“备教材、备教法、备学生”三要素一个也不能少。新课程下的学生已跳出教材的限制，摆脱传统的教学方法，是活生生的人，是发展的人，所以“备学生”尤为重要。但教师也要充分利用教材与学生进行有效的沟通。“备教材”除了吃透教材外，课前还要多收集资料，课堂中充分发动学生的主观能动性，而不是将学生一步一步带进教师课前预设的陷阱。教学中，教师要营造和谐的课堂气氛，唤起学生主动探索的热情，让学生在宽松的氛围中合作探究，并能运用所学知识解决生活中的问题。只有这样，才能使每一个学生都能得到全面发展，我们的数学教育也就会焕发出生命的活力。