举一反三--平行四边形.doc

如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：
①BE=CD；
②∠DGF=135°；
③∠ABG+∠ADG=180°；
④若=，则3S△BDG=13S△DGF．
其中正确的结论是　 　．（填写所有正确结论的序号）

①③④． 解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE，∠AEB=45°，
∵AB=CD，
∴BE=CD，
故①正确；
∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∵点G为EF的中点，
∴CG=EG，∠FCG=45°，
∴∠BEG=∠DCG=135°，
在△DCG和△BEG中，
，
∴△DCG≌△BEG（SAS）．
∴∠BGE=∠DGC，
∵∠BGE＜∠AEB，
∴∠DGC=∠BGE＜45°，
∵∠CGF=90°，
∴∠DGF＜135°，
故②错误；
∵∠BGE=∠DGC，
∴∠ABG+∠ADG=∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣∠CDG=∠ABC+∠ADC=180°，
故③正确；
∵△DCG≌△BEG，
∵∠BGE=∠DGC，BG=DG，
∵∠EGC=90°，
∴∠BGD=90°，
∵BD==，
∴BG=DG=，
∴S△BDG=×=

∴3S△BDG=，
过G作GM⊥CF于M，
∵CE=CF=BC﹣BE=BC﹣AB=1，
∴GM=CF=，
∴S△DGF=•DF•GM==，
∴13S△DGF=，
∴3S△BDG=13S△DGF，
故④正确．

在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．
(1)如图1，证明平行四边形ECFG为菱形；
(2)如图2，若∠ABC=90°，M是EF的中点，求∠BDM的度数；
(3)如图3，若∠ABC=120°，请直接写出∠BDG的度数．

分析：（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE，根据等角对等边可得CE=CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形；
（2）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM=BM，∠DMC=∠BME，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到∠BDM的度数；
（3）延长AB、FG交于H，连接HD，求证平行四边形AHFD为菱形，得出△ADH，△DHF为全等的等边三角形，证明△BHD≌△GFD，即可得出答案．
解答：解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形．

（2）如图，连接BM，MC，
∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF=90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF=∠DAF，
∴BE=AB=DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM=∠ECM=45°，
∴∠BEM=∠DCM=135°，
在△BME和△DMC中，
∵，
∴△BME≌△DMC（SAS），

∴MB=MD，
∠DMC=∠BME．
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°，
∴△BMD是等腰直角三角形，
∴∠BDM=45°；

（3）∠BDG=60°，
延长AB、FG交于H，连接HD．
∵AD∥GF，AB∥DF，
∴四边形AHFD为平行四边形，
∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD，
∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°，
∴△DAF为等腰三角形，
∴AD=DF，
∴平行四边形AHFD为菱形，
∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形，
∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°，
∵FG=CE，CE=CF，CFBH，
∴BH=GF，
在△BHD与△GFD中，
∵，
∴△BHD≌△GFD（SAS），
∴∠BDH=∠GDF
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°．
点评：此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．   
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举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去问他网）

在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
(1)在图1中证明CE=CF；
(2)若∠ABC=90°，G是EF的中点(如图2)，直接写出∠BDG的度数；
(3)若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG(如图3)，求∠BDG的度数．

查看答案
在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．
(1)如图1，证明平行四边形ECFG为菱形；
(2)如图2，若∠ABC=90°，M是EF的中点，求∠BDM的度数；
(3)如图3，若∠ABC=120°，请直接写出∠BDG的度数．