专题十八-圆.doc

专题十八 圆
一、选择题
1.（上海市2008年Ⅰ组4分）如图，从圆外一点引圆的两条切线，切点分别为．如果，，那么弦的长是【 】
A．4 B．8 C． D．
2.（上海市2010年4分）已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO1
= 3，则圆O1与圆O2的位置关系是【 】
A.相交或相切 B.相切或相离 C.相交或内含 D.相切或内含
3.（上海市2004年3分）下列命题中，不正确的是【 】
A. 一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，这个点在圆外
B. 一条直线垂直于圆的半径，这条直线一定是圆的切线；
C. 两个圆的圆心距等于它们的半径之和，这两个圆有三条公切线；
D. 圆心到一条直线的距离小于这个圆的半径，这条直线与圆有两个交点。
二、填空题
1. （2001上海市2分）一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为 ▲ 米．
2. （上海市2002年2分）两个以点O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，如果AB的长为24，大圆的半径OA为13，那么小圆的半径为 ▲ ．
3.（上海市2008年4分）在中，，（如图）．如果圆的半径为，且经过点，那么线段的长等于 ▲ ．

三、解答题
1.工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一种如图1所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm），将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求。图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图。已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，。请你结合图1中的数据，计算这种铁球的直径。
（05年河北）

图1

图2

2. 一座拱型桥，桥下水面宽度AB是20米，拱高CD是4米。若水面上升3米至EF，则水面宽度EF是多少米？

图4
（1）若把它看作是抛物线的一部分，在坐标系中（如图4），可设抛物线的表达式为。请你填空：
a＝____________，c＝___________，EF＝_________米。
（2）若把它看作是圆的一部分，则可构造图形（如图5）计算如下：设圆的半径是r米，在中，易知

图5

同理，当水面上升3米至EF，由中可计算出米，即水面宽度米。
（3）请估计（2）中EF与（1）中你计算出的EF的差的近似值（误差小于0.1米）
（05年佛山）

3. 如图6，已知圆锥的母线长OA＝8，底面圆的半径r＝2，若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是_________（结果保留根式）

图6
4. 当汽车在雨天行驶时，为了看清道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器。图8是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆AB与雨刷CD在B处固定连接（不能转动），当杆AB绕A点转动90°时，雨刷CD扫过的面积是多少呢？

图8
小明仔细观察了雨刷器的转动情况，量得CD＝80cm，，端点C、D与点A的距离分别是115cm，35cm。他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果，你知道小明是怎样计算的吗？
也请你算一算雨刷CD扫过的面积为__________cm2（取3.14）（04年济南）

5. 牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组成体，尺寸如图9所示，请你算出要搭建这样一个蒙古包至少需要多少平方米的篷布？（取3.14，结果保留一位小数）
（05年新疆生产建设兵团）

参考答案.
选择题1.【答案】B。
【考点】切线的性质，等边三角形和判定和性质。
【分析】∵是圆的两条切线，∴。
又∵，∴是等边三角形。
又∵，∴。故选B。
2.【答案】A。
【考点】圆与圆的位置关系。
【分析】根据圆与圆的五种位置关系，分类讨论：当两圆外切时，切点A能满足AO1=3，当两圆相交时，交点A能满足AO1=3，当两圆内切时，切点A能满足AO1=3，所以，两圆相交或相切。故选A。

3.【答案】B。
【考点】命题与定理，圆的性质。
【分析】根据圆的有关性质即可作出判断：
∵半径等于圆心到圆的距离，如果这个点圆心的距离大于这个圆的半径，这个点在圆外，A正确；
一条直线垂直于圆的半径，这条直线可能是圆的割线，B不正确；
两个圆的圆心距等于它们的半径之和，这两个圆相切，有三条公切线，C正确；
∵半径等于圆心到圆的距离，圆心到一条直线的距离小于这个圆的半径，则这条直线一定经过园内，与圆有两个交点，D正确。
故选B
二、填空题
1.【答案】。
【考点】垂径定理，勾股定理。
【分析】根据题意画出图形，利用垂径定理和勾股定理解答：
根据题意，AB=4，CD=1，则根据垂径定理得AC=2。
设半径为x，根据勾股定理得，，
即，解得x=。
2.【答案】5。
【考点】切线的性质，勾股定理，垂径定理。
【分析】连接过切点的半径OC，根据切线的性质定理和垂径定理得半弦AC是12，再根据勾股定理得小圆的半径OC是5。
3.【答案】3或5。
【考点】锐角三角函数，等腰三角形的性质，弦径定理，勾股定理。
【分析】如图，过点作交于点，根据锐角三角函数，等腰三角形的性质和弦径定理，由，得。由勾股定理，得。
在中，，∴由勾股定理，得。
当点在上方，线段；
当点在下方，线段。

三、解答题
1.分析：构造直角三角形结合垂径定理求解。
解：连结OA、OE，设OE与AB交于点P，如图3

图3
因为AC＝BD，
所以四边形ACDB是矩形
因为CD与⊙O切于点E
所以OE为⊙O的半径
即

所以PA＝PB，PE＝AC
故PA＝8，PE＝4
在中，由勾股定理得

即
解得
所以这种铁球的直径为20cm。
2.
分析：这是一道与抛物线和圆的相关的应用问题。第（1）问由图4得到B、D两点的坐标，用待定系数法可求抛物线的解析式，再由F点纵坐标可得F点横坐标，从而得EF的长。第（2）问虽不要我们计算，但要弄清这是垂径定理的应用。
解：（1）由图4知B（10，0）、D（0，4），则抛物线的解析式为
而F点的纵坐标为3 即 解得 所以
综上，知
（3）误差估计如下：
因为

即
所以差的近似值约为0.6米
3.分析：将圆锥的侧面展开成扇形，小虫从侧面爬行一周又回到A点的最短距离就为AA’（如图7），由的长与圆锥底面圆周长相等可得

图7

所以
即
则为等腰直角三角形
所以
4. 分析：本题是扇形面积的应用，由图形特点可得雨刷CD扫过的面积

而

所以（cm）
5.

图9
分析：本题所需篷布的面积应等于圆锥的侧面积加上圆柱的侧面积
解：设上部圆锥体的母线为l，则

所以

（平方米）

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