第十一章-无穷级数名师优质课获奖市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,傅氏级数,第十一章,第1页,无 穷 级 数,从18世纪以来，无穷级数就被认为是微积分一个不可缺乏部分，是高等数学主要内容，同时也是有力数学工具，在表示函数、研究函数性质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域有着广泛应用,本章主要内容包含常数项级数和两类主要函数项级数幂级数和三角级数，主要围绕三个问题展开讨论：级数收敛性判定问题，把已知函数表示成级数问题，级数求和问题。,第2页,重点,级数敛散性，常数项级数审敛法，幂级数收敛域，函数幂级数展开式，函数Fourier 展开式；,难点,常数项级数审敛法，函数展开成幂级数直接法和间接法，Fourier 展开，级数求和；,基本要求,掌握级数敛散性概念和性质,掌握正项级数比较审敛法、检比法、检根法,掌握交织级数Leibniz审敛法,第3页,掌握绝对收敛和条件收敛概念,掌握幂级数及主要性质，会求收敛半径和收敛区间，会求简单幂级数和函数,熟记五个基本初等函数 Taylor 级数展开式及其收敛半径,掌握 Fourier 级数概念，会熟练地求出各种形式Fourier 系数,掌握奇、偶函数 Fourier 级数特点及怎样将函数展开成正弦级数或余弦级数,第4页,常数项级数概念和性质,一、常数项级数概念,二、无穷级数基本性质,三、级数收敛必要条件,第一节,第5页,一、问题提出,1.计算圆面积,正六边形面积,正十二边形面积,正 形面积,第6页,引例3.,(神秘康托尔尘集),把0,1区间三等分,舍弃中,间开区间,将剩下两个子区间分别三等分,并舍弃,在中间开区间,如此重复进行这种“弃中”操作,问丢弃部,分总长和剩下部分总长各是多少？,丢弃各开区间长依次为,故丢弃部分总长,剩下部分总长,剩下部分总长即使为,0,但康托尔证实了其组员和实数“一样多”,它们象尘埃一样散落在,0,1,区间上,人们称其为,康托尔尘集,.,0,1,(此式计算用到后面例1),第7页,二、级数概念,1.级数定义:,普通项,(常数项)无穷级数,级数部分和,部分和数列,第8页,2.级数收敛与发散:,第9页,余项,无穷级数收敛性举例：Koch雪花.,做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对,称产生边长为原边长1/3小正三角形如此,类推在每条凸边上都做类似操作，我们就得到,了面积有限而周长无限图形“Koch雪花”,第10页,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,第11页,第 次分叉：,周长为,面积为,第12页,于是有,雪花面积存在极限（收敛）,结论：雪花周长是无界，而面积有界,第13页,解,收敛,发散,第14页,发散,发散,综上,第15页,解,第16页,例3.,判别以下级数敛散性:,解:,(1),所以级数(1)发散;,技巧:,利用“,拆项相消,”求和,第17页,(2),所以级数(2)收敛,其和为 1.,技巧:,利用“,拆项相消,”求和,第18页,例3.,判别级数,敛散性.,解:,故原级数收敛,其和为,第19页,二、无穷级数基本性质,性质1.,若级数,收敛于,S,则各项,乘以常数,c,所得级数,也收敛,证:,令,则,这说明,收敛,其和为,c S.,说明,:,级数各项乘以,非零常数,后其敛散性不变.,即,其和为,c S.,第20页,性质2.,设有两个收敛级数,则级数,也收敛,其和为,证:,令,则,这说明级数,也收敛,其和为,第21页,说明:,(2)若两级数中一个收敛一个发散,则,必发散.,但若二级数都发散,不一定发散.,比如,(1)性质2 表明收敛级数可逐项相加或相减.,(用反证法可证),第22页,性质3.,在级数前面加上或去掉,有限项,不会影响级数,敛散性.,证:,将级数,前,k,项去掉,部分和为,数敛散性相同.,当级数收敛时,其和关系为,类似可证前面加上有限项情况.,极限情况相同,故新旧两级,所得新级数,第23页,性质4.,收敛级数加括弧后所成级数仍收敛于原级数,和.,证:,设收敛级数,若按某一规律加括弧,则新级数部分和序列,为原级数部分和,序列,一个子序列,推论:,若加括弧后级数发散,则原级数必发散注意:,收敛级数去括弧后所成级数不一定收敛.,但,发散.,所以必有,比如,，,用反证法可证,比如,第24页,三、级数收敛必要条件,设收敛级数,则必有,证:,可见:,若级数普通项不趋于0,则级数必发散.,比如,其普通项为,不趋于0,所以这个级数发散.,第25页,注意:,并非级数收敛充分条件.,比如,调和级数,即使,但此级数发散.,实际上,假设调和级数收敛于,S,则,但,矛盾,!,所以假设不真.,第26页,2项,2项,4项,8项,项,由性质4推论,调和级数发散.,第27页,由定积分几何意义,这块面积显然大于定积分,以 1 为底矩形面积,把每一项看成是以,为高,就是图中,n,个矩形面积之和,即,故调和级数发散,调和级数部分和,第28页,例4.,判断级数敛散性:,解:,考虑加括号后级数,发散,从而原级数发散.,第29页,五、小结,常数项级数基本概念,基本审敛法,第30页,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,第31页,1,第32页,2,第33页,3,第34页,4,第35页,5,第36页,练习题,第37页,第38页,练习题答案,第39页,