等离子体物理基础期末考试(含答案).doc

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中文版低温等离子体作业
一. 氩等离子体密度, 电子温度, 离子温度, 存在恒定均匀磁场B = 800 Gauss, 求
（1） 德拜半径；
（2） 电子等离子体频率和离子等离子体频率；
（3） 电子回旋频率和离子回旋频率；
（4） 电子回旋半径和离子回旋半径。
解：1、，
2、氩原子量为40，
，
3、
4、设粒子运动与磁场垂直

二、一个长度为2L的柱对称磁镜约束装置，沿轴线磁场分布为，并满足空间缓变条件。
求：（1）带电粒子能被约束住需满足的条件。
（2）估计逃逸粒子占全部粒子的比例。
解：1、由B(z)分布，可以求出，由磁矩守恒得
，即 （1）
当粒子能被约束时，由粒子能量守恒有，因此带电粒子能被约束住的条件是在磁镜中央，粒子速度满足
2、逃逸粒子百分比 （2）
三、 在高频电场中，仅考虑电子与中性粒子的弹性碰撞，并且碰撞频率正比于速度。求电子的速度分布函数，电子平均动能，并说明当时，电子遵守麦克斯韦尔分布。
解：课件6.6节。
电子分布函数满足

因为的弛豫时间远远大于的弛豫时间，因此近似认为不随时间改变，具有的频率，即

(2.2)代入(1.2)中，得
（3）
对比和的系数，(3)解得
（4）
(4)代入(1.1)得

（5）
对(5)求时间平均得
（6）
引入有效电场代入(6)得
（7）
对(7)两端积分，得
（8）
所以电子分布函数为
（9）
其中A为归一化系数，电子动能为
（10）
当时，

（11）
为麦克斯韦分布。

四、设一长柱形放电室，放电由轴向电场维持，有均匀磁场沿着柱轴方向，求：
（1）径向双极性电场和双极扩散系数；
（2）电子和离子扩散系数相等时，磁场满足的条件；
（3）当磁场满足什么条件时，双极性电场指向柱轴。
解：课件8.5节。
1、粒子定向速度u满足
（1）
其中，，。
双极性扩散中，电子密度等于离子密度，电子通量等于离子通量，根据(1)，因此径向方向上有

（2）
解方程(2)得径向双极性电场
（3）
代入(2)得到
（4）
因此径向双极扩散系数为。
2、电子和离子扩散系数分别为

（5）
解方程(5)得
（6）
注意到，因此磁场满足。
3、双极性电场指向柱轴等价于
（7）
当考虑时，(7)简化为
（8）
(8)成立即双极性电场指向柱轴的条件是。
五、如果温度梯度效应不能忽略, 推导无磁场时双极扩散系数和双极性电场。
解：粒子运动方程
（1）
若等离子体温度有梯度，即，有
（2）
即
（3）
其中。
双极性扩散中，电子密度等于离子密度，电子通量等于离子通量，因此有
（4）
由方程（4）解得双极性电场满足
（5）
将（5）带入（4），得
（6）
因此双极性扩散系数为。
六、推导出无碰撞鞘层Child定律和玻姆鞘层判据。
解：课件9.1节。
在无碰撞鞘层中作如下假设：电子具有麦克斯韦分布；离子温度为0K；等离子体-鞘层边界处坐标为0，电场电势为0，此处电子离子密度相等，离子速度为。
根据粒子能量守恒得
（1）
根据粒子通量守恒得
（2）
解得，。电子满足玻尔兹曼分布，带入泊松方程得
（3）
上式两端乘并对x积分，注意有，得

（4）
（4）要保证右端为正，当时显然成立。当较小时，对其线形展开得，

化简得玻姆鞘层判据。
当阴极鞘层的负偏压较大时，，，此时（4）近似等于
（5）
记，（5）两边开方再积分，注意边界条件得
（6）
（6）中带入边界条件，化简得无碰撞鞘层Child定律

七、设一无碰撞朗谬尔鞘层厚度为S，电压为V，证明：一个初始能量为零的离子穿过鞘层到达极板所需时间为，这里。
解：朗缪尔鞘层中电势的分布为
（1）
Child定律为，带入（1）得鞘层电势分布满足
（2）
由粒子能量守恒得
（3）
带入得（2），化简得
（4）
对于方程(4)将含x项移到左边，两边乘dt再积分，注意到初始条件得
（5）
当粒子到达极板时，有，带入（5）得

八、 一个截面为正方形（边长为a）长方体放电容器内，纵向电场维持了定态等离子体，设直接电离项为，并忽略温度梯度效应，求：
（1）在截面内等离子体密度分布和电离平衡条件：
（2）设纵向电流密度为，给出穿过放电室截面的总电流表达式。
解：1、由平衡态粒子数守恒方程得，化简得亥姆霍兹方程
（1）
对（1）分离变量法求解。设，有
（2）
为了保证XY方向的对称性，所以有，考虑到边界条件
的限制，由（2）得
（3）
注意到密度n恒正，所以自然数m只能等于1，由（3）得密度分布和电离条件为
（4）
2、总电流为。
九、电子静电波的色散关系为，这里。给出波的相速度和群速度；证明在大的波数k时，波的相速度和群速度相等，并给出其值。
证：群速，
相速，
当k很大时。
十、一个碰撞阴极鞘层，忽略鞘层中电子密度和电离效应，取离子定向速度为，推导鞘层中的电场分布、电势分布、碰撞情形Child定律及鞘层厚度与平均自由程的关系式。
解：课件9.2节。
粒子连续性方程满足
带入得 （1）
将（1）代入高斯公式得，

在鞘层边界近似有，解得电场分布为
（2）
令电势满足，对（2）积分得电势分布为
（3）
注意到，，所以得到Child定律形式为
（4）
由（4）得鞘层厚度与平均自由程的关系式为
（5）
十一、由流体运动方程，忽略掉粘性应力项，（1）推导出无磁场时电子、离子在等离子体中的定向速度表达式；（2）忽略温度梯度，证明定向速度为零时，带电粒子遵守波尔兹曼分布。
解：1、课件7章。
无磁场玻尔兹曼积分微分方程
（1）
在速度空间上积分。方程(1)左边第一项为
（2）
左边第二项为
（3）
左边第三项为
（4）
右边碰撞项为
（5）
由(2)-(5)得粒子连续性方程
（6）
方程(1)两端乘上mv，在速度空间上积分。方程(1)左边第一项积分得
（7）
令，其中u为定向速度，w为无规则速度。注意u不显含v，第二项积分得

（8）
因为w为无规则速度，(8)第二项等于零；(8)的第四项为粘性应力项，这里忽略为零；(8)的第三项为压强的微观表达式，当粒子分布为各向同性的麦克斯韦分布时

（9）
所以 10）
将粒子连续性方程(6)，等式(10)代入积分(8)，并认为粒子密度n不随空间改变，得
（11）
第三项积分得

（12）
右边碰撞项积分得
（13）
由(7)、(11)、(12)、(13)得无磁场时带电粒子在等离子体中的定向速度表达式
（14）
2、当定向速度并且忽略温度梯度时，稳定状态下方程(7)变为
（15）
代入于方程(8)中，得

（16）
这里为积分常数，所以由(16)得到玻尔兹曼分布

十二、在等离子体源离子注入中，当负高压脉冲（幅值V）加到金属靶上时，靶表面附近电子立即被排斥出鞘层区域，由于离子质量大，没有来得及运动，留下一个均匀的离子鞘层，设离子密度为常数n, 并假设在鞘层边界电场和电势为零，求平板、柱形和球形靶鞘层内电场和电势分布，以及鞘层厚度表达式。
解：鞘层电势满足泊松方程
（1）
1、对于直角坐标系，（1）为
（2）
（2）积分得

带入边界条件，解得
（3）
2、对于球坐标系，（1）为
（4）
（4）积分得

带入边界条件，解得
（5）
鞘层厚度s满足
（6）
3、对于柱坐标系，（1）为
（7）
（7）积分得

带入边界条件，解得
（8）
鞘层厚度s满足
（9）

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英文版低温等离子体作业
1-1、In a strictly steady state situation, both the ions and the electrons will follow the Boltzmann relation.

Show that the shielding distance is then given approximately by

and that is determined by the temperature of the colder species.
解：英文版1.4节。
泊松方程满足
（1）
对（1）的右端做线性展开，保留电势的一阶项得
（2）
假设电势是球对称的，在球坐标系下（2）变成
（3）
注意边界条件，解得电势分布并求出表达式
（4）
当时，德拜长度
（5）
取决于较小的温度值。
2-1、The magnetic moment of a charged particle gyrating in a magnetic field is defined as the product of the current generated by the rotating particle times the area enclosed by the rotation. Show that this is equal to .
证：粒子所受的力F满足
（1）
解得粒子回旋半径和回旋频率为
（2）
粒子在垂直磁场方向上圆周运动形成一个小的电流环，其电流满足
（3）
所以，此电流环的磁矩为
（4）
2-2、Consider a uniform magnetic field and a transverse electric field that varies slowly with time. Then the electric drift velocity also varies slowly with time. Therefore there is an inertial force. Show that the polarization drift can be deduced by the expression of the drift in the general force field. So it is also called inertial drift.
证：粒子在电场中的漂移速度为
（1）
所以粒子在时变电场中所受的惯性力为
（2）
粒子在一般力场中的漂移速度为
（3）
将（2）代入（3），注意，得

（4）
这正是极化漂移的速度公式。
2-3、Consider the magnetic mirror system with length L. The magnetic field may be approximated by ,where denotes the coordinate from the midplane along the field. z
(1) which particle will be confined?
(2) Calculate the probability of loss.
(3) Show that particle motion is simple harmonic and give out the frequency.
解：1、1、由B(z)分布，可以求出，由磁矩守恒得
，即 （1）
当粒子能被约束时，由粒子能量守恒有，因此带电粒子能被约束住的条件是在磁镜中央，粒子速度满足
2、逃逸粒子百分比
（2）
3、在z轴方向，粒子受力F等于
（3）
粒子运动方程为
（4）
粒子运动为简谐振动，其频率为。
5-1、Assuming that the distribution function for electrons is the Druyvesteyn distribution, calculate the average electron energy and the directed velocity.
解：德留维斯坦分布为
（1）
归一化系数A满足
（2）
令代入(2)得
（3）
所以归一化系数。
平均动能为

定向速度为

*7-1、Consider a high-pressure steady-state discharge confined inside of a rectangular box having edges of length a meters along x, b meters along y, and c meters along z. The center of the box is located at . The plasma is created by a volume ionization and is lost to the walls by ambipolar diffusion with a constant ambipolar diffusion coefficient . Here iν is the electron-neutral ionization frequency. Assume that the electron density is in the center of the box and is zero on the walls.
(a) Find an expression for the density inside the box.
(b) Find the relation between ,and the dimensions of the box.
解：由平衡态粒子数守恒方程得，化简得亥姆霍兹方程
（1）
对（1）分离变量法求解。设，有

解方程（2.1），考虑到边界条件和得
（3.1）
同理有 ， (3.2)
（3.3）
注意到，由(3.1)(3.2)(3.3)得
（4）
由(2.4)得电离平衡条件
（5）
8-1、Calculate the electric potential and field and the ion density distributions in child law sheath.
解：Child鞘层中，根据粒子能量守恒和电流守恒得
， （1）
由(1)解得粒子密度n满足
（2）
代入泊松方程得
（3）
(3)式两端乘并对x积分，注意有，得
（4）
(4)两边开方再积分，注意边界条件得
（5）
(5)中带入边界条件，化简得无碰撞鞘层Child定律
（6）
将(6)代入(5)，化简得鞘层电势分布
（7）
对(7)求导得鞘层电场分布
（8）
将(6)(7)代入(2)，得粒子密度分布
（9）
*8-2、For a high-pressure, high-voltage, collisional sheath, the ion drift velocity can be written as, where is the constant ion mobility, with a constant ion-neutral momentum transfer frequency. Using particle con- servation and Poisson’s equation, derive the high-pressure, collisional child law for ions.
解：由电流守恒方程得
（1）
由(1)得到
（2）
将(2)代入高斯定理得
（3）
在鞘层边界，有，解(3)得
（4）
在鞘层边界，有，对(4)积分得
（5）
在电极表面，有，代入(5)得高气压Child定律
（6）

*为考了原题！

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