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第二章 方程与不等式
第七讲 一次方程（组）
【基础知识回顾】
一、 等式的概念及性质：
1、等式：用“=”连接表示 关系的式子叫做等式
2、等式的性质：
①、性质1：等式两边都加（减） 所得结果仍是等式，
即：若a=b,那么a±c=
②、性质2：等式两边都乘以或除以 （除数不为0）所得结果仍是等式 即：若a=b,
那么a c= ，若a=b（c≠o）那么=
【名师提醒：①用等式性质进行等式变形，必须注意“都”，不能漏项；②等式两边都除以一个数或式时必须保证它的值 】
二、方程的有关概念：
1、含有未知数的 叫做方程
2、使方程左右两边相等的 的值，叫做方程的解
3、 叫做解方程
4、一个方程两边都是关于未知数的 ，这样的方程叫做整式方程
三、一元一次方程：
1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 的 方程叫做一元一次方程，一元一次方程一般可以化成 的形式。
2、解一元一次方程的一般步骤：
1。 2。 3。
4。 5。
【名师提醒：1、一元一次方程的解法的各个步骤的依据分别是等式的性质和合并同类法则，要注意灵活准确运用；2、特别提醒：去分母时应注意不要漏乘项，移项时要注意。 】
四、二元一次方程组及解法：
1、二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0(a.b.c是常数，a≠0,b≠0)；
2、由几个含有相同未知数的 合在一起，叫做二元一次方程组；
3、 二元一次方程组中两个方程的 叫做二元一次方程组的解；
4、 解二元一次方程组的基本思路是： ；
5、 二元一次方程组的解法：① 消元法 ② 消元法
【名师提醒：1、一个二元一次方程的解有 组，我们通常在实际应用中要求其正整数解
的形式
x=a

y=b
2、二元一次方程组的解应写成
五、列方程（组）解应用题：
一般步骤：1、审：弄清题意，分清题目中的已知量和未知量
2、设：直接或间接设未知数
3、列：根据题意寻找等量关系列方程（组）
4、解：解这个方程（组），求出未知数的值
5、验：检验方程（组）的解是否符合题意
6：答：写出答案（包括单位名称）
【名师提醒：1、列方程（组）解应用题的关键是：
2、几个常用的等量关系：①路程= × ②工作效率= 】

【重点考点例析】
考点一：二元一次方程组的解法
例1 （2016•黄冈）解方程组： ．

对应训练
1．（2016•湘西州）解方程组： ．
．

考点二：一（二）元一次方程的应用
例2 （2016•齐齐哈尔）假期到了，17名女教师去外地培训，住宿时有2人间和3人间可供租住每个房间都要住满，她们有几种租住方案（　　）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
例3 （2016•张家界）为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准部分的水价为1.5元/吨，超过月用水标准量部分的水价为2.5元/吨．该市小明家5月份用水12吨，交水费20元．请问：该市规定的每户月用水标准量是多少吨？

对应训练
2．（2016•黄石）四川雅安地震期间，为了紧急安置60名地震灾民，需要搭建可容纳6人或4人的帐篷，若所搭建的帐篷恰好（既不多也不少）能容纳这60名灾民，则不同的搭建方案有（　　）
A．1种 B．11种 C．6种 D．9种
3．（2016•永州）中国现行的个人所得税法自2011年9月1日起施行，其中规定个人所得税纳税办法如下：
一．以个人每月工资收入额减去3500元后的余额作为其每月应纳税所得额；
二．个人所得税纳税税率如下表所示：
纳税级数
个人每月应纳税所得额
纳税税率
1
不超过1500元的部分
3%
2
超过1500元至4500元的部分
10%
3
超过4500元至9000元的部分
20%
4
超过9000元至35000元的部分
25%
5
超过35000元至55000元的部分
30%
6
超过55000元至80000元的部分
35%
7
超过80000元的部分
45%
（1） 若甲、乙两人的每月工资收入额分别为4000元和6000元，请分别求出甲、乙两人的每月应缴纳的个人所得税；
（2）若丙每月缴纳的个人所得税为95元，则丙每月的工资收入额应为多少？

考点三：一元一次方程组的应用
例4 （2016•宜宾）2013年4月20日，我省芦山县发生7.0级强烈地震，造成大量的房屋损毁，急需大量帐篷．某企业接到任务，须在规定时间内生产一批帐篷．如果按原来的生产速度，每天生产120顶帐篷，那么在规定时间内只能完成任务的90%．为按时完成任务，该企业所有人员都支援到生产第一线，这样，每天能生产160顶帐篷，刚好提前一天完成任务．问规定时间是多少天？生产任务是多少顶帐篷？

例5 （2016•嘉兴）某镇水库的可用水量为12000立方米，假设年降水量不变，能维持该镇16万人20年的用水量．实施城市化建设，新迁入4万人后，水库只够维持居民15年的用水量．
（1）问：年降水量为多少万立方米？每人年平均用水量多少立方米？
（2）政府号召节约用水，希望将水库的保用年限提高到25年，则该镇居民人均每年需节约多少立方米才能实现目标？

对应训练
4．（2016•苏州）苏州某旅行社组织甲乙两个旅游团分别到西安、北京旅行，已知这两旅游团共有55人，甲旅游团的人数比乙旅游团的人数的2倍少5人．问甲、乙两个旅游团个有多少人？

5． （2016•长沙）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线．已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元．
（1）求1号线，2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？
（2）除1、2号线外，长沙市政府规划到2018年还要再建91.8千米的地铁线网．据预算，这91.8千米地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍，则还需投资多少亿元？

【聚焦其他中考】
1．（2016•滨州）把方程x=1变形为x=2，其依据是（　　）
A．等式的性质1 B．等式的性质2
C．分式的基本性质 D．不等式的性质1
2．（2016•淄博）把一根长100cm的木棍锯成两段，使其中一段的长比另一段的2倍少5cm，则锯出的木棍的长不可能为（　　）
A．70cm B．65cm C．35cm D．35cm或65cm
3．（2016•济宁）服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这款服装每件的标价比进价多（　　）
A．60元 B．80元 C．120元 D．180元

4．（2016•潍坊）为了研究吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地抽查了10000人，并进行统计分析．结果显示：在吸烟者中患肺癌的比例是2.5%，在不吸烟者中患肺癌的比例是0.5%，吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多22人．如果设这10000人中，吸烟者患肺癌的人数为x，不吸烟者患肺癌的人数为y，根据题意，下面列出的方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2016•济宁）在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（倍加增指从塔的顶层到底层）．请你算出塔的顶层有 3
盏灯．
6． （2016•淄博）解方程组．

7．（2016•聊城）夏季来临，天气逐渐炎热起来，某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10%，将某种果汁饮料每瓶的价格下调了5%，已知调价前买这两种饮料个一瓶共花费7元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，问这两种饮料在调价前每瓶各多少元？

8． （2016•临沂）为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买A，B两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元．
（1）若购买这批学习用品用了26000元，则购买A，B两种学习用品各多少件？
（2）若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？

【备考真题过关】
一、选择题
1．（2013•株洲）一元一次方程2x=4的解是（　　）
A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4
2．（2013•凉山州）已知方程组，则x+y的值为（　　）
A．-1 B．0 C．2 D．3

3．（2016•永州）已知（x-y+3）2+=0，则x+y的值为（　　）
A．0 B．-1 C．1 D．5
4．（2016•广安）如果a3xby与-a2ybx+1是同类项，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2016•太原）王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是4.25%．若到期后取出得到本息（本金+利息）33825元．设王先生存入的本金为x元，则下面所列方程正确的是（　　）
A．x+3×4.25%x=33825 B．x+4.25%x=33825
C．3×4.25%x=33825 D．3（x+4.25x）=33825
6．（2016•宁夏）雅安地震后，灾区急需帐篷．某企业急灾区之所急，准备捐助甲、乙两种型号的帐篷共1500顶，其中甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，共安置8000人．设该企业捐助甲种帐篷x顶、乙种帐篷y顶，那么下面列出的方程组中正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2016•随州）我市围绕“科学节粮减损，保障食品安全”，积极推广农户使用“彩钢小粮仓”．每套小粮仓的定价是350元，为了鼓励农户使用，中央、省、市财政给予补贴，补贴部分是农户实际出资的三倍还多30元，则购买一套小货仓农户实际出资是（　　）
A．80元 B．95元 C．135元 D．270元
8．（2016•黑龙江）今年校团委举办了“中国梦，我的梦”歌咏比赛，张老师为鼓励同学们，带了50元钱取购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本7元，乙种笔记本每本5元，每种笔记本至少买3本，则张老师购买笔记本的方案共有（　　）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
9．（2016•南宁）陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（　　）

A．19 B．18 C．16 D．15
A．①② B． ②③ C． ②③④ D． ①③④
二、填空题
10．（2016•泉州）方程x+1=0的解是 x=-1
．
11．（2016•安顺）4xa+2b-5-2y3a-b-3=8是二元一次方程，那么a-b= 0
．
12．（2013•泉州）方程组的解是 ．
13．（2016•鞍山）若方程组，则3（x+y）-（3x-5y）的值是 24
．

14．（2016•湘潭）湖园中学学生志愿服务小组在“三月学雷锋”活动中，购买了一批牛奶到敬老院慰问老人，如果送给每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送给每位老人3盒牛奶，则正好送完．设敬老院有x位老人，依题意可列方程为 2x+16=3x
．

15． （2016•江西）某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是到瑞金的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为x人，到瑞金的人数为y人，请列出满足题意的方程组 ．

16．（2016•深圳）某商场将一款空调按标价的八折出售，仍可获利10%，若该空调的进价为2000元，则标价 2750
元．
17．（2016•绥化）某班组织20名同学去春游，同时租用两种型号的车辆，一种车每辆有8个座位，另一种车每辆有4个座位．要求租用的车辆不留空座，也不能超载．有 2
种租车方案．

18．（2016•绍兴）我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一题，今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？此题的答案是：鸡有23只，兔有12只，现在小敏将此题改编为：今有鸡兔同笼，上有33头，下有88足，问鸡兔各几何？则此时的答案是：鸡有 22
只，兔有 11
只．
19．（2016•鞍山）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的 ．两根铁棒长度之和为220cm，此时木桶中水的深度是 80
cm．
三、解答题
20．（2016•广东）解方程组．
21．（2016•梅州）解方程组．
，22．（2016•邵阳）解方程组：．
23． （2016•扬州）已知关于x、y的方程组的解满足x＞0，y＞0，求实数a的取值范围．

24．（2016•曲靖）某种仪器由1种A部件和1个B部件配套构成．每个工人每天可以加工A部件1000个或者加工B部件600个，现有工人16名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？
25．（2016•凉山州）根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球水面升高 2
cm，放入一个大球水面升高 3
cm；
（2）如果要使水面上升到50cm，应放入大球、小球各多少个？

26． （2016•宜昌）[背景资料]
一棉花种植区的农民研制出采摘棉花的单人便携式采棉机（如图），采摘效率高，能耗低，绿色环保，经测试，一个人操作该采棉机的采摘效率为35公斤/时，大约是一个人手工采摘的3.5倍，购买一台采棉机需900元，雇人采摘棉花，按每采摘1公斤棉花a元的标准支付雇工工钱，雇工每天工作8小时．
[问题解决]
（1）一个雇工手工采摘棉花，一天能采摘多少公斤？
（2）一个雇工手工采摘棉花7.5天获得的全部工钱正好购买一台采棉机，求a的值；
（3）在（2）的前提下，种植棉花的专业户张家和王家均雇人采摘棉花，王家雇佣的人数是张家的2倍，张家雇人手工采摘，王家所雇的人中有的人自带彩棉机采摘，的人手工采摘，两家采摘完毕，采摘的天数刚好一样，张家付给雇工工钱总额为14400元，王家这次采摘棉花的总重量是多少？

27．
（2016•湖州）为激励教师爱岗敬业，某市开展了“我最喜爱的老师”评选活动．某中学确定如下评选方案：有学生和教师代表对4名候选教师进行投票，每票选1名候选教师，每位候选教师得到的教师票数的5倍与学生票数的和作为该教师的总票数．以下是根据学生和教师代表投票结果绘制的统计表和条形统计图（不完整）．
学生投票结果统计表
候选教师
王老师
赵老师
李老师
陈老师
得票数

200

300
（1）若共有25位教师代表参加投票，则李老师得到的教师票数是多少？请补全条形统计图．（画在答案卷相对应的图上）
（2）王老师与李老师得到的学生总票数是500，且王老师得到的学生票数是李老师得到的学生票数的3倍多20票，求王老师与李老师得到的学生票数分别是多少？
（3）在（1）、（2）的条件下，若总得票数较高的2名教师推选到市参评，你认为推选到市里的是两位老师？为什么？

第八讲 一元二次方程及应用
【基础知识回顾】
一、 一元二次方程的定义：
1、一元二次方程：含有 个未知数，并且未知数最高次数是2的 方程
2、一元二次方程的一般形式： 其中二次项是 一次项是 ， 是常数项
【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠0这一条件
2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正】
二、一元二次方程的常用解法：
1、直接开平方法：如果ax 2 =b 则X 2 = X1= X2=
2、配方法：解法步骤：①、化二次项系数为 即方程两边都 二次项系数,②、移项：把 项移到方程的 边
③、配方：方程两边都加上 把左边配成完全平方的形式
④、解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程
3、公式法：如果方程ax 2 +bx+c=0(a≠0) 满足b 2-4ac≥0，则方程的求根公式
为
4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生A.B=0的形式，则可将原方程化为两个 方程，即 、 从而得方程的两根
【名师提醒：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是 法和 法】
三、一元二次方程根的判别式
关于X的一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a≠0)根的情况由 决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号 表示
方程有两个实数跟，则
①当 时，方程有两个不等的实数根
②当 时，方程看两个相等的实数根
③当 时，方程没有实数根
【名师提醒：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数 】
四、一元二次方程根与系数的关系：
关于X的一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a±0)有两个根分别为X1、X2
则x1+x2 = x1x2 =
五、 一元二次方程的应用：
解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行
常见题型
1、 增长率问题：连续两率增长或降低的百分数a（1+x）2=b
2、 利润问题：总利润= × 或总利润= —
3、 几何图形的面积、体积问题：按面积、体积的计算公式列方程
【名师提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件】
【重点考点例析】
考点一：一元二次方程的解
例1 （2016•牡丹江）若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013-a-b的值是（　　）
A．2018 B．2008 C．2014 D．2012
对应训练
1．（2016•黔西南州）已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是 1
．
1．1
考点二：一元二次方程的解法
例2 （2016•宁夏）一元二次方程x（x-2）=2-x的根是（　　）
A． -1 B．2 C．1和2 D．-1和2

例3 （2016•佛山）用配方法解方程x2-2x-2=0+1
．

例4 （2016•兰州）解方程：x2-3x-1=0．

对应训练
2．（2016•陕西）一元二次方程x2-3x=0的根是 x1=0，x2=3
．
3．（2016•白银）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2-3a+b，如：3★5=32-3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是 -1或4
．
4． （2016•山西）解方程：（2x-1）2=x（3x+2）-7．

考点三：根的判别式的运用
例5 （2016•乐山）已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．

对应训练
5．（2016•泰州）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是（　　）
A．x2-3x+1=0 B．x2+1=0 C．x2-2x+1=0 D．x2+2x+3=0
6．（2016•乌鲁木齐）若关于x的方程式x2-x+a=0有实根，则a的值可以是（　　）
A．2 B．1 C．0.5 D．0.25
7．（2016•六盘水）已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜-2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠1
8．（2016•北京）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．

考点四：一元二次方程的应用
例6 （2016•连云港）小林准备进行如下操作实验；把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？
（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2．”他的说法对吗？请说明理由．

对应训练
9． （2016•重庆）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？
（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）

【聚焦其他中考】
1．（2016•威海）已知关于x的一元二次方程（x+1）2-m=0有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≥- B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2
2．（2016•日照）已知一元二次方程x2-x-3=0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（　　）
A．-2＜x1＜-1 B．-3＜x1＜-2 C．2＜x1＜3 D．-1＜x1＜0
3．（2016•滨州）对于任意实数k，关于x的方程x2-2（k+1）x-k2+2k-1=0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
4．（2016•潍坊）已知关于x的方程kx2+（1-k）x-1=0，下列说法正确的是（　　）
A．当k=0时，方程无解
B．当k=1时，方程有一个实数解
C．当k=-1时，方程有两个相等的实数解
D．当k≠0时方程总有两个不相等的实数解．
5．（2016•东营）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
6．（2016•滨州）一元二次方程2x2-3x+1=0的解为 ．
7．（2016•哈尔滨）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为 20%
．
8．（2016•临沂）对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42-4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则x1﹡x2= 3或2
．
9． （2016•日照）已知，关于x的方程x2-2mx=-m2+2x的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，求实数m的值．

10．（2016•菏泽）已知：关于x的一元二次方程kx2-（4k+1）x+3k+3=0 （k是整数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），设y=x2-x1，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由．

11． （2016•淄博）关于x的一元二次方程（a-6）x2-8x+9=0有实根．
（1）求a的最大整数值；
（2）当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x2-的值．

12．（2016•泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？

13．（2016•威海）要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的设计方案．
（1）求小亮设计方案中甬路的宽度x；
（2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的与小亮设计方案中的取值相同）

【备考真题过关】
一、选择题
1．（2016•新疆）方程x2-5x=0的解是（　　）
A．x1=0，x2=-5 B．x=5 C．x1=0，x2=5 D．x=0
2．（2016•安顺）已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（　　）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
3．（2016•鞍山）已知b＜0，关于x的一元二次方程（x-12=b的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有两个实数根
4．（2016•昆明）一元二次方程2x2-5x+1=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定

5．（2016•珠海）已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0．下列说法正确的是（　　）
A．①②都有实数解 B．①无实数解，②有实数解
C．①有实数解，②无实数解 D．①②都无实数解
6．（2016•十堰）已知关于x的一元二次方程x2+2x-a=0有两个相等的实数根，则a的值是（　　）
A．4 B．-4 C．1 D．-1
7．（2016•宜宾）若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k＞1 C．k=1 D．k≥0
8．（2016•大连）若关于x的方程x2-4x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜-4 B．m＞-4 C．m＜4 D．m＞4
9．（2016•咸宁）关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．-1
10．（2016•丽水）一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（　　）
A．x-6=-4 B．x-6=4 C．x+6=4 D．x+6=-4
11．（2016•兰州）用配方法解方程x2-2x-1=0时，配方后得的方程为（　　）
A．（x+1）2=0 B．（x-1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x-1）2=2
二、填空题
12．（2016•黑龙江）若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n= -2
．
13．（2016•常州）已知x=-1是关于x的方程2x2+ax-a2=0的一个根，则a= -2或1
．
14．（2016•天津）一元二次方程xx-6）=0的两个实数根中较大的根是 6
．
15．（2016•温州）方程x2-2x-1=0的解是 。
16．（2016•广安）方程x2-3x+2=0的根是 1或2
．
17．（2016•张家界）若关于x的一元二次方程kx2+4x+3=0有实根，则k的非负整数值是 1
．
18．（2016•沈阳）若关于x的一元二次方程x2+4ax+a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 或a＜0
．
19．（2016•巴中）方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 15
．
20．（2016•绵阳）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2-3x+8=0，则△ABC的周长 6或12或10
．
三、解答题
21．（2016•无锡）解方程：x2+3x-2=0．

22． （2016•杭州）当x满足条件时，求出方程x2-2x-4=0的根．

23． （2016•南充）关于x的一元二次方程为（m-1）x2-2mx+m+1=0．
（1）求出方程的根；
（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？

24．（2016•淮安）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？

25．（2016•绵阳）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．
（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？
（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？

第九讲 分式方程

【基础知识回顾】
一、 分式方程的概念
分母中含有 的方程叫做分式方程
【名师提醒：分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的根本依据】
二、分式方程的解法：
1、解分式方程的基本思路是 把分式方程转化为整式方程：即

去分母

分式方程 ﹥整式方程
转化

2、解分式方程的一般步骤：
①、 ②、 ③、
3、增根：
在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为 的根称为方程的增根。因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 的根是增根应舍去。
【名师提醒：1、分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不被省略
2、分式方程有增根与无解并非用一个概念，无解既包含产生增根这一情况，也包含原方程去分母后的整式方程无解。如： 有增根，则a= ，若该方程无解，则a= 。】

三、分式方程的应用：
解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必须 ，既要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。
【名师提醒：分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型】
【重点考点例析】
考点一：分式方程的解
例1 （2016•黑龙江）已知关于x的分式方程=1的解是非正数，则a的取值范围是（　　）
A．a≤-1 B．a≤-1且a≠-2 C．a≤1且a≠-2 D．a≤1．
对应训练
1．（2016•贵港）关于x的分式方程=-1的解是负数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞-1 B．m＞-1且m≠0 C．m≥-1 D．m≥-1且m≠0
2．（2016•绥化）若关于x的方程+1无解，则a的值是 2
．
考点二：解分式方程
例2 （2016•资阳）解方程： ．

对应训练
3． （2016•泰州）解方程：．

考点三：由实际问题抽象出分式方程
例3 （2016•深圳）小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱速度是x米/分，则根据题意所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
对应训练
4．（2016•锦州）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等，如果设第一次捐款人数是x人，那么x满足的方程是（　　）
A． B．
C． D．

考点四：分式方程的应用
例4 （2016•湘西州）吉首城区某中学组织学生到距学校20km的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学生沿“谷韵绿道”骑自行车先走，半小时后，其余学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时到达（两条道路路程相同），已知汽车速度是自行车速度的2倍，求骑自行车学生的速度．

对应训练
5．（2016•三明）兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元．
（1）第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？
（2）老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T恤衫每件售价至少要多少元？（利润=售