8.6二元函数的极值名师优质课获奖市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,一、二元函数极值,二、条件极值与拉格朗日乘数法,第六节 二元函数极值,第1页,8/6/2025,1,实例,：某工厂生产两种产品1与2，出售单位分别为10元与9元，生产,x,单位产品1与生产,y,单位产品2总费用是,求两种产品各生产多少，工厂能够取得最大利润,求最大利润即为求二元函数,最大值,.,I、,问题提出,第2页,8/6/2025,2,一.,二元函数极值,定义 1,设函数,z,=,f,(,x,y,)在点(,x,0,y,0,)某个邻域内有定义，,假如对于该邻域内异于(,x,0,y,0,)点(,x,y,)都有,(,或,),，,极大值和极小值统称为,极值,.,则称,f,(,x,0,y,0,)为函数,f,(,x,y,),极大值,(,或极小值,),.,第3页,8/6/2025,3,设函数,z,=,f,(,x,y,),在点,P,0,(,x,0,y,0,)偏导数,极大值点和极小值点统称为,极值点,.,称为极大值点,(,或极小值点,),，,使函数取得,极大值点,(,或极小值点,),(,x,0,y,0,)，,定理 1,(,极值存在必要条件,),且在点,P,0,处有极值，,则在该点偏导数必为零，,即,存在，,第4页,8/6/20254,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零点，均称为函数,驻点,.,驻点,极值点,Problem,：,怎样判定一个驻点是否为极值点？,注,意,在点(0,0)有,极大值,(0,0)不是驻点,第5页,8/6/2025,5,设,P,0,(,x,0,y,0,),是函数,z,=,f,(,x,y,),驻点，,且函数在点,P,0,某个邻域内二阶偏导数连续，,定理 2,(,极值存在充分条件,),令,则，,(,1,),当 P 0 且,A,0 时,f,(,x,0,y,0,)是极大值，,当,P,0 时，,f,(,x,0,y,0,)是极小值；,第6页,8/6/2025,6,也可能没有极值.,函数,f,(,x,y,)在点,P,0,(,x,0,y,0,)可能有极值，,(,3,),当,P,=0,时，,(,2,),当,P,0,时，,不是极值；,第7页,8/6/2025,7,(1)先求偏导数,(2)解方程组,求出驻点；,(3)确定驻点处,据此判断出极值点，,并求出极值.,若函数,z,=,f,(,x,y,)二阶偏导数连续，,就能够按照以下步骤求该函数极值：,及 符号，,值,第8页,8/6/2025,8,例,1,求函数 极值.,解,(,1,),求偏导数,(,2,),解方程组,得驻点,(0,0)及(2,2).,第9页,8/6/2025,9,(3)列表判断极值点.,驻点(,x,0,y,0,),(0,0),(2,2),结 论,极大值,f,(0,0)=1,f,(2,2)不是极值,A,4,B,2,2,C,+,第10页,8/6/2025,10,例2.,求函数,解,:,第一步,求驻点,.,得驻点,:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).,第二步,判别,.,(1)在点,(1,0),处,为,极小值,;,解方程组,极值.,求二阶偏导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第11页,8/6/2025,11,(3)在点,(,3,0),处,不是极值;,(4)在点,(,3,2),处,为极大值.,(2)在点,(1,2),处,不是极值;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第12页,8/6/2025,12,二、最大、最小值应用问题,(Applications),最值可疑点,驻点,边界上最值点,尤其,当区域内部最值存在,且,只有一个,极值点,P,时,为极小 值,为最小 值,(大),(大),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第13页,8/6/2025,13,例3,：某工厂生产两种产品1与2，出售单位分别为10元与9元，生产,x,单位产品1与生产,y,单位产品2总费用是,求两种产品各生产多少，工厂能够取得最大利润,第14页,8/6/2025,14,第15页,8/6/2025,15,例,4.,解:,设水箱长,宽分别为,x,y,m,则高为,则水箱所用材料面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2,依据实际问题可知最小值在定义域内应存在,有盖长方体水,问当长、宽、高各取怎样尺寸时,才能使用料最省?,所以可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时,水箱所用材料最省.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第16页,8/6/2025,16,实例,：小王有200元钱，他决定用来购置两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购置 张磁盘，盒录音磁带到达最正确效果，效果函数为 设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他怎样分配这200元以到达最正确效果,问题实质,：求 在条件 下,极值点,三、条件极值拉格朗日乘数法,第17页,8/6/2025,17,条件极值(,Conditional Maximum and Minimum Values,),极值问题,无条件极值:,条 件 极 值:,条件极值求法:,方法,1 代入法.,求一元函数,无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,比如,转化,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第18页,8/6/2025,18,第一步：引入辅助函数,如求二元函数,下极值,第二步：解方程组,在条件,得驻点.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三步：判别 是否为极值,方法2,拉格朗日乘数法(,Lagrange Multipliers,).,第19页,8/6/2025,19,Extension,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件情形.,设,解方程组,可得到条件极值可疑点.,比如,求函数,下极值.,在条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第20页,8/6/2025,20,例6.,要设计一个容量为2单位,则问题为求,x,y,令,解方程组,解:,设,x,y,z,分别表示长、宽、高,下水箱表面积,最小.,z,使在条件,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,长方体开口水箱,试问,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第21页,8/6/2025,21,得唯一驻点,由题意可知合理设计是存在,长、宽为相等时，所用材料最省.,所以,当高,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第22页,8/6/2025,22,第23页,8/6/2025,23,第24页,8/6/2025,24,Conclusions,1.函数极值问题,第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.,即解方程组,第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点.,2.函数条件极值问题,(1)简单问题用代入法,如对二元函数,(2)普通问题用拉格朗日乘数法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第25页,8/6/2025,25,设拉格朗日函数,如求二元函数,下极值,解方程组,第二步 判别,比较驻点及边界点上函数值大小,依据问题实际意义确定最值,第一步 找目标函数,确定定义域(及约束条件),3.函数最值问题,在条件,求驻点.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第26页,8/6/2025,26,