复变函数1.1省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,复变函数,皖西学院数理系,第1页,课程介绍,课程名称,复变函数,教 材,复变函数,(第四版),对 象,复变函数（自变量为复数函数）,主要任务,研究复变数之间相互依赖关系，具,体地就是复数域上微积分。,主要内容,复数与复变函数、解析函数、复变函,数级数、留数等。,第2页,学习方法,复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内推广和发展，它们之间有许多相同之处。但又有不一样之处，在学习中要善于比较、区分、尤其要注意复数域上特有那些性质与结果。,第3页,准备知识与参考书目,1,、准备知识,复数与,多元函数知识,广义积分与曲线积分,微积分与级数知识,第4页,2,、参考书目,复变函数论（第二版）钟玉泉 高等教育出版社,复变函数教程 朱静杭 高等教育出版社,复变函数郭洪芝等 天津大学出版社,复变函数（第四版）西安交通大学 高等教育出版社,复变函数经典习题龚东保,西安交通,出版社,复变函数李庆忠,科学,出版社,第5页,复数发展,复数是十六世纪人们在解代数方程时引进,。为使负数开有意义，需要再一次扩大数,系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪,以前，因为对复数概念及性质了解得不清,楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所,以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受“虚数”。,第6页,直到十八世纪，J.DAlembert(1717-,1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步说明,了复数几何意义和物理意义，澄清了复数,概念，而且应用复数和复变函数研究了流,体力学等方面一些问题。复数才被人们广,泛认可接收，复变函数论才能顺利建立和发,展。,第7页,尤其地,在十九世纪,有三位代表性人物,即,Cauchy,（17891857）、,Weierstrass,（18151897）、,Rieman,（18261866）.,这三位数学家从完全不一样路径来研,究复变函数理论而得到殊途同归效果：,第8页,Cauchy,定义解析函数 是指其在区域内存在,连续导数 ；,Weierstrass,定义解析函数是指其在区域每一点邻域内能够展为收敛幂级数；,Rieman,则把复变函数分成实部和虚部来研究,即 在区域解析是指 在此区域内存在一阶连续偏导数,而且,和 满足现在称之为,Cauchy-Rieman,方程,第9页,而实际上这三种定义都是彼此等价,也就是说，其中任一个定义都能够推,出其它两种定义当初他们三人并不都称,他们定义函数为解析函数而是各有各,名字，因而还有正则(Reguler)函数和,全纯(Holomorphic)函数称谓因为其,等价性，因而解析、正则和全纯是同一事,物三种不一样称呼而己以上是指其殊,途同归,第10页,Cauchy,建立了复变函数,积分理论,；,Weierstrass,建立了复变函数,级数理论,；,Rieman,建立了复变函数,几何理论,这三部,分组成了,复变函数理论基础,至今国内外,高等院校复变函数论基础课程教材都是,以这三部分为中心来编写,不过，这三个人各成系统，各有特色，各自形成其学派：,第11页,本册书主要内容,第一章、复数及复平面,第二章、,复变函数,第三章、复变函数积分,第四章、级数,第五章、留数,第12页,第一章 复数及复平面,第一节 复数及其几何表示,1、,复数域,2、,复平面,3、,复球面与无穷大,第13页,一、复数域,对虚数单位要求:,1.1 虚单位:,第14页,虚数单位特征:,第15页,i-虚单位,满足：,i,2,=-1,虚部,记做：,Im,z=x,实部,记做：,Rez=x,1.2 复数定义:,第16页,例1,解,令,第17页,两复数相等,当且仅当,它们实部和虚部分别相等.,复数,z,等于0,当且仅当,它实部和虚部同时等于0.,说明,两个数假如都是实数,能够比较它们大小,假如不全是实数,就不能比较大小,也就是说:,设：,z,1,=,x,1,+,i,y,1,z,2,=,x,2,+,i,y,2,复数不能比较大小!,第18页,1.两复数和:,2.两复数积:,3.两复数商:,全体复数关于上述运算(对加、减、乘、除运算封闭），做成一个数域.称为复数域，用C表示.,定理:,1.3 复数代数运算:第19页,第20页,例3,解,第21页,实部相同而虚部绝对值相等符号相反两个复数称为共轭复数.,例,解,1.3共轭复数:,第22页,共轭复数性质:,以上各式证实略.,第23页,1.,点表示,2.,向量表示法,3.三角表示法,4.指数表示法,二、复平面:,2.1复数几何表示,第24页,(1),点表示,点表示：,数,z,与点,z,同义.,o,x,y,(,z,),P(x,y),x,y,第25页,(2),向量表示法,o,x,y,(,z,),P(x,y),x,y,称向量长度为复数,z=x+iy,模,或,绝对值,；,以正实轴 为始边,以 为终边角,弧度数 称为复数,z=x+iy,辐角,.(,z,0时),第26页,辐角无穷多：Arg,z,=,=,0,+2k，kZ,，,把其中满足,0,称为辐角Arg,z,主值，,记作,0,=,arg,z,。,z=0时，辐角不确定。,计算,arg,z,(,z,0),公式,o,x,y,(,z,),P(x,y),x,y,第27页,当z落于一,四象限时，,不变,。,当z落于第二象限时，加,。,当z落于第三象限时，减,。,第28页,o,x,y,(,z,),z,1,z,2,z,1,+,z,2,z,2,-,z,1,由向量表示法知,(3),三角表示法,(4),指数表示法,第29页,注意.,复数各种表示法能够相互转化,以适应,不一样问题需要.,第30页,引进复数几何表示，可将平面图形用复数方程,（或不等式）表示；反之，也可由给定复数方,程（或不等式）来确定它所表示平面图形。,第31页,x,y,(,z,),O,(0,-1),2,解,例3,用复数方程表示:中心在点,(0,-1),半径为,2,圆。,例4,方程 表示,什么图形？,第32页,1.,复数,乘积与商,2.复数,乘幂,3.复数,方根,2.2 复数,乘幂,与,方根,第33页,定理1,两个复数乘积模等于它们模相乘，,两个复数乘积辐角等于它们辐角相加。,证实,设,z,1,=,r,1,(cos,1,+,i,sin,1,)=,r,1,e,i,1,z,2,=,r,2,(cos,2,+,i,sin,2,)=,r,2,e,i,2,则z,1,z,2,=,r,1,r,2,(cos,1,+,i,sin,1,)(cos,2,+,i,sin,2,),=,r,1,r,2,cos(,1,+,2,)+,i,sin(,1,+,2,),=,r,1,r,2,e,i,(,1+,2),(1),乘积与商,所以|,z,1,z,2,|=,r,1,r,2,，Arg(,z,1,z,2,)=Arg,z,1,+Arg,z,2,第34页,几何意义,将复数,z,1,按,逆时针,方向旋转一个角度,Arg,z,2，,再将其伸缩到|,z,2,|倍。,定理1可推广到,n,个复数乘积。,o,x,y,(z,),z,1,z,2,z,2,第35页,定理2,两个复数商模等于它们模商，,两个复数商辐角等于被除数与除,数辐角之差。,证实,Arg,z,=Arg,z,2,-Arg,z,1,即：,由复数除法定义,z,=,z,2,/,z,1,，即,z,1,z,=,z,2,|,z,|,z,1,|=|,z,2,|及Arg,z,1,+Arg,z,=Arg,z,2,（,z,1,0）,第36页,设,z=re,i,，由复数乘法定理和数学归纳法可证,明,z,n,=r,n,(cos,n+i,sin,n,),=r,n,e,in,。,(2)复数,乘幂,定义,n,个相同复数,z,乘积，称为,z n,次幂，,记作,z,n,，即,z,n,=z,zz,（,共,n,个）。,定义,尤其：当|,z,|=1时，即：z,n,=,cos,n+i,sin n,，则有,(cos,+i,sin,),n,=,cos,n+i,sin,n,一棣模佛(De Moivre)公式。,第37页,问题,给定复数,z,=,re,i,，求全部满足,n,=z,复数。,(3)复数,方根,（开方）乘方逆运算,当,z,0时，有,n,个不一样值与 相对应，每一,个这么,值都称为,z n,次方根，,第38页,当,k,=0，1，,n,-1时，可得,n,个不一样根，,而,k,取其它整数时，这些根又会重复出现。,几何上,，,n,个值是,以原点为中心，为半,径圆周上,n,个等分点，,即它们是内接于该圆周,正,n,边形,n,个顶点。,x,y,o,第39页,例1,求全部值：,解:，所以,从而，复数四个根为,几何解释是：这四个根是内接于中心在原点半径为 圆正方形四个顶点，而且,几何解释是：这四个根是内接于中心在原点半径为 圆正方形四个顶点，而且,第40页,第41页,三、小结与思索,本课学习了复数相关概念、性质及其运,算.重点复数相关概念、表示方法及复数运算,它是本节课重点.,第42页,思索题,复数为何不能比较大小？,第43页,思索题答案,由此可见,在复数中,无法定义大小关系,.,第44页,作业：,P13页,1（1）（3），4，5（1），11,放映结束，按Esc退出.,第45页,