渐近方法-—函数的展开省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,光学中数学方法,之,（渐近方法）,主讲教师：白璐,联络电话：,15291456996,Email:bluxidian.edu.c,n,渐近方法,本章渐进方法着重介绍数学物理中近似方法，内容包含积分渐近展开分析与常微分方程渐进解法两大部分。经过本章学习目标是为提升数学分析能力和将理论应用于处理实际问题本事。该方法在力学、大气科学、物理海洋、光学、声学等研究领域含有广泛应用。,渐近计算是数学计算近似方法之一，它是解析方法在一定条件下发展，其与数值方法相结合能够提升计算准确程度及计算速度，尤其在非线性问题处理中渐近方法含有主要地位。,2/51,1,、量级符号；,2,、渐近展开；,3,、渐近展开式运算；,4,、积分渐近展开式；,5,、最陡下降法；,6,、驻定相位法；,7,、常微分方程渐近解；,第二章 渐近方法,3/51,因为一些特殊函数含有积分表示式，假如这些函数是微分方程解，就能够得到一个以它们拉普拉斯变换或傅立叶变换积分表示式表示解。所以求解积分渐近展开式问题在解析函数理论中就起尤其主要作用，它能够使我们得到积分解另一个表示，称此为渐近方法。,比较函数趋于某个极限时性质常定义：,例：,2,渐近方法,2.1,量级符号,1)同量级,4/51,例：,称函数,f,(,x,),至多与,g,(,x,),同阶。,2,渐近方法,2.1,量级符号,2),量级最多为,也能够说若存在某个常数,A,，使对定义域,D,某个内点,x,0,邻域,V,内全部,x,，满足,5/51,例：,2,渐近方法,2.1,量级符号,3),量级小于,也能够说若存在任一 ，定义域,D,内点,x,0,总有一邻域,存在，使得全部 ，满足,称函数,f,(,x,),是函数,g,(,x,),高阶小量。,意义是说,f,(,x,),有界，而 意义是说,f,(,x,),趋于零。,6/51,2.2,渐近展开,下面给出渐近展开定义和它一些性质，讨论在扩充复平面上进行。,一、渐近序列,设 ，是定义在区间,D,上连续函数序列，,是,D,中一固定点，若对每一个固定,n,，有,则称 为 点渐进序列。渐近序列能够是有限项也能够是无限项。,比如：,是对零点渐近序列。,2,渐近方法,是对于无穷渐近序列。,7/51,二、渐近展式,设 是一个给定函数，而 是 点一个渐近序列，假如对每个固定整数,n,，有,那么称此为 在 点渐近展式。记为,注意：渐近展式与函数级数展式不一样：对确定,z,值，渐近展式项数无限增多时，所得级数普通是发散，但若满足渐近展式定义式，则当 时，取确定项数,n,会得到对函数非常好近似。,2.2,渐近展开,2,渐近方法,8/51,例,1,：求 当 时积分值。,即求 时 渐近展式。,解,：,余项：,2.2,渐近展开,2,渐近方法,9/51,所以，取展开式前,n,项，略去余项，当 时，其误差量级小于所取最终一项，符合渐近展式定义，可记为,2.2,渐近展开,2,渐近方法,注意：这个级数对于有限,x,值均不收敛。不过，取确定项数，会得到对函数很好近似。假如仅用一项，给出相对误差为,1/,x,结果粗略一些，但已经足够用了。,10/51,三、展开式系数：,当 时，渐近展式 系数为,证实略,2.2,渐近展开,2,渐近方法,四、展开式组成,设 在区域,D,中有定义，若,有定义且不为零，则 是 时，,一个直到,N,项渐近展开式。,当 时，渐近展式 系数为,四、展开式组成当 时，渐近展式 系数为,四、展开式组成,当 时，渐近展式 系数为,四、展开式组成,11/51,证实：首先证实 是一个渐近序列。由 定义得,2.2,渐近展开,2,渐近方法,所以：,又因为：,故存在一个 邻域使,z,在其中时：,12/51,所以 。由此，各个 都由这种方式定义得,2.2,渐近展开,2,渐近方法,五、唯一性,设 是在,D,中，一个已知渐近序列，若,是当 时，直到,N,项一个渐近展式，则此展式是唯一。,注意：,这个定理只表示用同一个已知渐近序列表示展开式唯一性。不过可能有多个不一样渐近序列对应同一个函数渐近展式，它们能够不一样，而且能够是收敛也可是发散。反过来，一个已知渐近展式能够表示不止一个函数。,13/51,一个,渐近,幂级数展式,，记为,六、幂函数展式,2.2,渐近展开,2,渐近方法,则：,是,D,中，时，,其中一个主要特殊情形是在,D,中，当 时，假如,则在,D,中，当 时,14/51,2.3,渐近展式运算,若在,D,中，当 时，直到,N,项有,则：,和,1.,加法：,2.,乘法：,2,渐近方法,本节讨论渐近展开式普通运算，因为实际应用中，展式多用,幂函数，以下均以幂函数作为渐近序列。,15/51,3.,除法：,即除法为两个函数渐近展开式分别保留到,N,项相除。,推论：,2.3,渐近展式运算,2,渐近方法,16/51,4.,积分,:,当 时，若 则：,其中积分沿从 到 一条直线路径。,推论,:,当 时，若 则：,2.3,渐近展式运算,2,渐近方法,5.,求导,:,当 时，若 ，且当,时，在,D,中 存在并有,17/51,则在,D,中渐近展开式满足可逐项积分条件时，有,推论,1,：在,D,中，当 有,且在,D,中,2.3,渐近展式运算,2,渐近方法,存在并有,若在,D,中，渐近幂级数满足逐项积分条件，则,18/51,推论,2,：对 ，当 时有,且 存在于相同区域，当 时，有,则,对于解析函数 ，若在区域,当 时有,则在 中，当,有,2.3,渐近展式运算,2,渐近方法,依据渐近展式定义和相关运算法则，就能够讨论在解析函数理论中惯用积分渐近展式。,19/51,取得积分渐近展式方法有两种,把被积函数一部分展开为级数，然后形式上逐项积分；,重复地进行分部积分。,一、逐项积分法：,瓦特森引理：设,2.4,积分渐近展式,2,渐近方法,20/51,式 对,Re(z)0,成立，因为在此定义域两边都解析且在实轴上它们一致。可应用瓦特森引理得到其积分渐近展开式。做变量代换，令,解：令 则,例：求当 ，,函数,渐近展式。,2,渐近方法,则对给定值 上述变换给出两个解,s,(,u,),和,(,u,),，其中,2.4,积分渐近展式,即,且,21/51,两个解分别位于最大值,s=1,两边其中,于是,2,渐近方法,2.4,积分渐近展式,能够证实,且因当 时，故 在 有界22/51,2,渐近方法,2.4,积分渐近展式,则可得 与,关系：,剩下要证实是 其中 对小 有一个,麦克劳林展开式。再做代换，令,。它在 处是解析。因为当,时，有,即,与 邻域有两个分支。,依据复变函数理论：若,解析，且,则 在,邻域存在解析反函数,现在,在,邻域解析，且,在,点不等于零，故在,23/51,2,渐近方法,2.4,积分渐近展式,另一支是,注意到,则对足够小 有,故,令,邻域存在解析反函数,式中,是 处 留数，轻易算出 等。,将最终表示式带入被积式，并在形式上逐项积分，则由瓦特森引理，在 时，有,24/51,23,渐近方法,2.4,积分渐近展式,式中,二、分部积分法：,对,形式进行分部积分。在 ，且当 时,条件下得,。能够看出，,所得积分与原来积分形式相同,，,故可,重复同一过程,。,25/51,2,渐近方法,2.4,积分渐近展式,在 和,一定假设条件下，式中第一项是,积分渐近形式。,条件,:,（,1,）对 ，,连续且有界：，同时,（,2,）对 ，,为实函数且连续；,存在，且,（,3,）,（,4,）对全部正 ，且当 时，,（,5,）对 ，存在，则对,当 时,26/51,2,渐近方法,2.4,积分渐近展式,例：在 ，,条件下，求,误差函数,渐近展开式。,令,现在积分,和定理假设相符，重复地应用此,定理，对于,可得,27/51,2,渐近方法,2.4,积分渐近展式,假如 则应将方法修改。但对这种情形，能够采取,下面两节方法，这里不再赘述。,以上只把分部积分法用于上限为,积分，现在考虑,a,和,b,有限，,且,情形，即,设 ，而当 ，时,28/51,2,渐近方法,2.4,积分渐近展式,当 ，时，因为,故,29/51,最徒下降法思绪：,首先令：,则：,2,渐近方法,2.5,最陡下降法,积分,其中,C,是复平面,Z,上路径，在其中假定,缓变，且,f,和,g,均含有适当正则性。,其中,u,和,v,是实函数。,当,S,很大时，沿积分路径微小位移所引发,微小改变会引发,注意到：,30/51,2.5,最陡下降法,也就是说，,最徒下降法本质就是尽可能利用这么积分路径：使被积函数在这个路径上,u,为最大，而,等于常数。,这么能够确保被积函数改变最速下降，也就确保积分值只与,u,为最大点（鞍点）附近邻域相关，从而能够渐近计算。,实际上，,使,等于常数路径也就是,u,改变最快路径,。以下对此证实：,2,渐近方法,中复数项快速震荡。,但如选择积分路径使在其上,为常数，,则震荡就会快速消失，,于是被积函数改变最速部分将为,，而,显然其主要贡献部分未来自,u,为最大点邻域。因而此方法本,质是尽可能地改变积分路径循着经过,u,为最大点，而,等于常数,路线进行。,31/51,2.5,最陡下降法,2,渐近方法,证实,:,令,是在,邻近一点，于是由,得：,当,等于常数时,，应有,，即,注意到,柯西黎曼,关系,:,可得,此式表明,所以，由极值条件，在,点，,等于常数方向也正是,u,最大,改变方向。,32/51,2.5,最陡下降法,2,渐近方法,为寻找,最大点，令,，因而,故当且仅当在该点,，,时，取得极值，这么点称为,驻点,。,曲面,有极大极小值条件为,而现在有,，即,，故,，因而,因为,u,是解析函数满足拉普拉斯方程,表明,这里驻点不是极值点,而是,鞍点,，它连接曲面“,山谷”,和“,山脊”,沿山脊上升和山谷下降均是,u,最大改变方向,。,对我们有意义是,山谷下降路径，即最徒下降路径,，因为只有这一路径上在鞍点附近对积分有显著贡献，所以这种渐近计算方法称为：,最徒下降法33/51,2.5,最陡下降法,2,渐近方法,鞍点,若,点为,鞍点,，即,此点,等于常数曲线方程为,，则,经过,，或,其中,t,是实数，,t,为,正,代表下降路径，,t,为,负,代表上升路径。,由,在,点,Tailor,展开式,现在,，若,(A,为正实数,),，靠近,处,，则,，（略去高阶项）,34/51,2.5,最陡下降法,2,渐近方法,因为：,还可得：,由此能够画出,实部,虚部,时等高线如图所表示。假如,，则图形将更复杂，,可能有三个或更多山谷在,鞍点相会。,35/51,2.5,最陡下降法,2,渐近方法,现在能够假定,起止于无限远积分路径能变形到起点和终点都在山谷路径,，,这是积分收敛要求,。,积分路径要尽可能地变形到最陡下降路径上沿着山谷底在鞍点处越过一个山谷进入下一个山谷。,普通说来，这种路径由一系列曲线组成，每一个是从鞍点到无穷或到某个奇点。,以下假定,来计算一个这种路径对积分贡献。,为此，设,其中,。于是,最陡下降路径,由下式给出,或,(,t,为正实数）,其中,取主值。计及,，故得,36/51,2.5,最陡下降法,2,渐近方法,上式不一样符号对应于自鞍点出发两条最陡下降路径。若,“+”,号与第三象限路径相关，“,-”,与第一象限路径,。,相关,考虑,负号,时所代表路径如图所表示，所得积分是,负号所对应路径,其中,是上式中取,负号,z,值。另一路径积分,其中,是上式中取,正号,z,值。,37/51,完整级数太繁，我们将只导出首项。于是，假如把,C,变形到经过鞍点，其方向如右图，则能够得到,2.5,最陡下降法,2,渐近方法,因为 和,都可用,t,表示,，其中函数,f,已假定是缓变，故,和,均可用,代替。令,引理渐近计算积分式。,，则能够得到用,瓦特森,负号所对应路径,此式即利用最徒下降法得到积分渐近展开,。假如,C,经过鞍点方向与前图示相反话，结果反号即可。,38/51,例：求阶乘斯特林（,Stirling),公式。（即阶乘渐近展式）,解：已知阶乘积分表示式,符合前边积分形式，其中,而积分路径,C,为实轴。,2.5,最陡下降法,2,渐近方法,它在,时成立，现在我们只考虑,s,此积分形式不适适用最陡下降法，但如用,sz,来代替,z,就得出,是实数情形。,注意到,有一鞍点，且在该处,39/51,在 时：,所以积分路径应该是 和 （零点为奇点）两部分,依据公式：,2.5,最陡下降法,2,渐近方法,这就是斯特林公式。,40/51,2.6,驻定相位法,积分：,2,渐近方法,当参量,k,很大时能够用驻定相位法求解。从被积函数 形,式,上看，可看成波相位。,当,k,很大时，它表示一个快速振荡。,在积分过程中，这种振荡正负相消，而只有在,部分，,处有平坦,因而对积分主要贡献来自于,点附近。,使,点称为,驻定相位点,，所以这种用相位驻定邻近积分,结果来近似代表整个区间准确结果方法称为,驻定相位法,。,为证实对积分主要贡献来自驻定相位点附近，先看变量,z,为实变量,x,情形。函数,驻点,是使,点，如,，而,则称,为,N,级驻点。,41/51,考查积分：,2.6,驻定相位法,2,渐近方法,假如积分区间,(,a,b,),内,f,(,x,),没有驻点,，,g,(,x,),在,(,a,b,),内可微，则,可作积分变量代换，而上面积分可记为,由,f,(,x,),反演,x,能够表示为,f,函数，故 在积分区间是,可微。由,分部积分,，得,42/51,2.6,驻定相位法,2,渐近方法,等号右边,第一项,在,时趋于零，其量级为 ；右边,第,二项,形式上与原积分一样，可微能对它再进行分部积分，,积分后量级也是 ，但其前面已经有系数 ，故上式等,号右边第二项量级为,，再继续进行分部积分，可见整个,在,k,很大时量级最多为,1/,k,小量。,假如,在积分区间内,有一个,一级驻点,，则因为,而使,在 处失去可微性，因而不能直接进行分部积分。,43/51,则：,后一个积分中把,f,作为积分变量，则,其中：,令,2.6,驻定相位法,2,渐近方法,它在,驻点,处,(,为 型,),极限,为 ，从而,也在积分区间内可微。,由此，上面后一个积分量级也是,现在来考虑前一个积分，将,按,Taylor,级数展开，则,44/51,2.6,驻定相位法,2,渐近方法,略去后面高阶项，计及g,(x),在区间内是,x,缓变函数，于是上述,积分整个地可写为,令,，则,再令,，同时考虑到,时积分限,，则得,45/51,2.6,驻定相位法,2,渐近方法,因为,，得,当,时，第一项量级为,积分贡献。所以，与不包含驻点区间相比较，当 时，,，也就是包含驻点区间对,含驻点区间对积分贡献要主要多。,计及,可能为正或者负，通常把上述结果表示为,假如区间内有多个一级驻点，可分为若干个子区间，使各个驻点,都在其中，然后逐一用上式计算，再将结果加起来得到所需结果。,46/51,对于,复变量,情形，积分可写成：,于是,(,即鞍点,),2.6,驻定相位法,2,渐近方法,其中,是给定积分路径。由,其中,C马上得出在 点,从前面讨论可知对积分主要贡献来自相位,稳定区域，,即应来自,极值点附近。所以希望在经过,选出一个特定方向，沿此方向，相位 能最快速地改变而在,点全部方向中,点取极值。,47/51,2.6,驻定相位法,2,渐近方法,由,最陡下降法,分析可知，如,取,为常数路径,必为,改变最激烈路径。可见，在复变函数情形下驻相法实际,上是上节最陡下降法取共轭路径结果。,在此路径上，因为,为常数，故,为纯虚数。再将,在,邻域展开为,Taylor,级数，略去,高阶小量，则,48/51,2.6,驻定相位法,2,渐近方法,故 也应是纯虚数。若令,这里,只能取 。,当,，则,在积分路径上令,，因为只沿微小路径进行，可认为,是直线段，,不变，因而,原积分渐近结果为,。应用驻相法，,49/51,即：,令,2.6,驻定相位法,2,渐近方法,，则当,时，对应积分限可取,，这么,因为,故式中,同理，若取,，也得相同算式。,50/51,2,.6,驻定相位法,2,渐近方法,例：,求,n,阶第一类贝塞尔函数渐近展开，,n,为整数。,解：已知贝塞尔函数积分表示式,这里,得驻相点为,，且,，故当,时有,所以，取实部并乘以,，得第一类贝塞尔函数渐近展开为,51/51,