高等数学(上)重要知识点归纳-(1).pdf

.高等数学（上）重要知识点归纳高等数学（上）重要知识点归纳第第 1 章章 函数、极限与连续函数、极限与连续1、极限的定义与性质极限的定义与性质1、定义（以数列为例）定义（以数列为例）当当时，时，,0limNaxnnNn|axn2、性质性质(1)，其中，其中为某一个无穷小。为某一个无穷小。)()()(lim0 xAxfAxfxx)(x(2)(保号性）若保号性）若，则，则当当时，时，0)(lim0Axfxx,0),(0 xUxo。0)(xf(3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。无穷小乘以有界函数仍为无穷小。2、求极限的主要方法与工具求极限的主要方法与工具1、*两个重要极限公式两个重要极限公式 (1)(2)1sinlim0e)11(lim2、两个准则两个准则 (1)*夹逼准则夹逼准则 (2)单调有界准则单调有界准则3、*等价无穷小替换法等价无穷小替换法常用替换：当常用替换：当时时0（1)（2）sin tan（3）（4)arcsin arctan（5）（6）)1ln(1e（7）（8）221cos1nn11.4、分子或分母有理化法分子或分母有理化法 5、分解因式法、分解因式法 6 用定积分定用定积分定义义3、无穷小阶的比较无穷小阶的比较*高阶、同阶、等价高阶、同阶、等价4、连续与间断点的分类连续与间断点的分类1、连续的定义连续的定义*在在 点连续点连续)(xfa)()()()()(lim0lim0afafafafxfyaxx2、间断点的分类间断点的分类其他震荡型（来回波动）无穷型（极限为无穷大第二类但不相等）跳跃型（左右极限存在可去型（极限存在）第一类3、曲线的渐近线曲线的渐近线*axxfAyAxfaxx则存在渐近线：铅直渐近线：若则存在渐近线：水平渐近线：若,)(lim)2(,)(lim)1(5、闭区间连续函数性质闭区间连续函数性质1、最大值与最小值定理最大值与最小值定理2、介值定理和零点定理介值定理和零点定理.第第 2 章章 导数与微分导数与微分1、导数的概念导数的概念1、导数的定义导数的定义*axafxfxafxafxydxdyafyaxxxaxax)()(lim)()(limlim|)(|002、左右导数、左右导数 左导数左导数axafxfxyafaxx)()(limlim)(0右导数右导数axafxfxyafaxx)()(limlim)(03、导数的几何意义导数的几何意义*kafaxfyax处的切线斜率在点（曲线)(,)(|4、导数的物理意义导数的物理意义加速度）速度）则若运动方程：()()()(,)()()(tatvtstvtstss 5、可导与连续的关系可导与连续的关系:连续，反之不然。可导2、导数的运算导数的运算1、四则运算四则运算 vuvu)(vuvuuv)(2)(vvuvuvu2、复合函数求导复合函数求导 设设，一定条件下，一定条件下)(xfyxuuydxdududydxdy3、反函数求导反函数求导 设设互为反函数，一定条件互为反函数，一定条件)()(1yfxxfy和下：下：yxxy1.4、求导基本公式求导基本公式*（要熟记）（要熟记）5、隐函数求导隐函数求导*方法：在方法：在两端同时对两端同时对 求导，其求导，其0),(yxFx中要注意到：中要注意到：是中间变量，然后再解出是中间变量，然后再解出yy6、参数方程确定函数的求导参数方程确定函数的求导*，一定条件下，一定条件下)()(tyytxx设（可以不记）（可以不记）3)()(,tttttttttxxttxxxyxyxxydxydyxydxdyy 7、常用的高阶导数公式常用的高阶导数公式（1）.)2,1,0(),2sin(sin)(nnxxn（2）.)2,1,0(),2cos(cos)(nnxxn（3）.)12(,)1()!1()1()1(ln1)(nxnxnnn（4）.)2,1,0(,)1(!)1()11(1nxnxnnn（5）（莱布尼茨公式）（莱布尼茨公式）nkkknknnvuCuv0)()()()(3、微分的概念与运算微分的概念与运算1、微分定义微分定义*若若，则，则可微，记可微，记)(xoxAy)(xfy AdxxAdy2、公式：公式：dxxfxxfdy)()(3、可微与可导的关系可微与可导的关系*两者等价两者等价4、近似计算近似计算 当当，较小时，|xdyy xxfxxfxf)()()(.第第 3 章章 导数的应用导数的应用1、微分中值定理微分中值定理*1、柯西中值定理柯西中值定理*)()()()()()(),0)(3),()()()2(,)()()1(agbgafbfgfbaxgbaxgxfbaxgxf使得：（则：）（内可导在、上连续在、当取当取时，定理演变成：时，定理演变成：xxg)(2、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理*)()()()()()(),abfafbfabafbffba使得：（当加上条件当加上条件则演变成：则演变成：)()(bfaf3、罗尔定理罗尔定理*0)(),fba使得：（4、泰勒中值定理、泰勒中值定理在一定条件下：在一定条件下：)()(!)(.)()()(00)(000 xRxxnxfxxxfxfxfnnn其中其中介于介于之间之间.),)()()!1()()(010)1(nnnnxxoxxnfxRxx、0当公式中当公式中 n=0 时，定理演变成拉格朗日定理时，定理演变成拉格朗日定理.当当时，公式变成时，公式变成:00 x5、麦克劳林公式麦克劳林公式)(!)0(.)0()0()()(xRxnfxffxfnnn.6、常用麦克劳林展开式、常用麦克劳林展开式（1）)(!1.!212nnxxoxnxxe（2）)()!12()1(.!5!3sin212153nnnxoxnxxxx（3）)()!2()1(.!4!21cos12242nnnxoxnxxx（4）)()1(.32)1ln(132nnnxoxnxxxx2、罗比达法则罗比达法则*记住：法则仅能对记住：法则仅能对型直接用，对于型直接用，对于转转,00,0,1,000化后用化后用.幂指函数恒等式幂指函数恒等式*fggefln3、单调性判别单调性判别*1、,0yyyy02、单调区间分界点：驻点和不可导点单调区间分界点：驻点和不可导点.4、极值求法极值求法*1、极值点来自：驻点或不可导点（可疑点）极值点来自：驻点或不可导点（可疑点）.2、求出可疑点后再加以判别求出可疑点后再加以判别.3、第一判别法：左右导数要异号，由正变负为极大，由负第一判别法：左右导数要异号，由正变负为极大，由负变正为极小变正为极小.4、第二判别法：一阶导等于第二判别法：一阶导等于 0，二阶导不为，二阶导不为 0 时，是极值时，是极值点点.正为极小，负为极大正为极小，负为极大.5、闭区间最值求法闭区间最值求法*.找出区间内所有驻点、不可导点、区间端点，比较大小找出区间内所有驻点、不可导点、区间端点，比较大小.6、凹凸性与拐点凹凸性与拐点*1、,0 yy yy02、拐点：曲线上凹凸分界点拐点：曲线上凹凸分界点.),(00yx横坐标横坐标不外乎不外乎，找到后再加以判别，找到后再加以判别0 x不存在或)(,0)(00 xfxf 附近的二阶导数是否变号附近的二阶导数是否变号.0 x7、曲率与曲率半径曲率与曲率半径1、曲率公式曲率公式232)1(|yyK 2、曲率半径曲率半径KR1.第第 4 章章 不定积分不定积分1、不定积分的概念不定积分的概念*若在区间若在区间 上，上，IdxxfxdFxfxF)()(),()(亦则称则称.)()(的原函数为xfxF称全体原函数称全体原函数 F(x)+c 为为 f(x)的不定积分，记为的不定积分，记为.dxxf)(2、微分与积分的互逆关系微分与积分的互逆关系1、dxxfdxxfdxfdxxf)()()()(2、cxfxdfcxfdxxf)()()()(3、积分法积分法*1、凑微分法凑微分法*2、第二类换元法第二类换元法3、分部积分法分部积分法*duvuvudv4、常用的基本积分公式常用的基本积分公式(要熟记要熟记).第第 5 章章 定积分定积分1、定积分的定义定积分的定义 niiixbaxfdxxf10)(lim)(2、可积的必要条件可积的必要条件 有界有界.3、可积的充分条件可积的充分条件 连续或只有有限个第一类间断点或单连续或只有有限个第一类间断点或单调调.4、几何意义几何意义 定积分等于面积的代数和定积分等于面积的代数和.5、主要性质主要性质*1、可加性可加性 babcca2、估值估值 在在a,b上，上，baabMdxxfabm)()()(3、积分中值定理积分中值定理*当当 f(x)在在a,b上连续时：上连续时：babaabfdxxf,),)()(4、函数平均值：函数平均值：abdxxfba)(6、变上限积分函数变上限积分函数*1、)()()()(,)(xfdttfdttfxFbaxfxaxa可导，且连续，则在若2、)()()()(,)(xxfdttfxbaxfxa）（可导，则：连续，在若7、牛牛-莱公式莱公式*)()(|)()(,)(aFbFdxxfdxxfbaxfbbaa连续，则在若8、定积分的积分法定积分的积分法*1、换元法换元法 牢记：换元同时要换限牢记：换元同时要换限2、分部积分法分部积分法 bababavduuvudv|3、特殊积分特殊积分（1）aaaxfdxxfxfdxxf0)(,)(2)(,0)(为偶函数时当为奇函数时当（2）当当 f(x)为周期为为周期为 T 的周期函数时：的周期函数时：TnTaaZndxxfndxxf0,)()(（3）一定条件下一定条件下:00)(sin2)(sindxxfdxxxf.（4）是正偶数时，！是正奇数时，nnnnnnxdxxdxnn2!)!1(!)!1(cossin2020（5）200sin2sinxdxxdxnn9、反常积分反常积分*1、无穷区间上无穷区间上 其他类似其他类似)()(|)()(lim)(aFFxFdttfdxxfaaxax2、p 积分积分：apppadxx时发散时收敛11:)0(13、瑕积分：若瑕积分：若 a 为瑕点：为瑕点：则则 其他类似处理其他类似处理 )()(|)()(lim)(aFbFxFdttfdxxfbababxax 第六章第六章 定积分应用定积分应用1、几何应用几何应用1、面积面积（1）dyxxAdxyyAbaba）（）（左右下上-（2）则则),(,)()(:ttyytxxCdttxtyA|)()(|（3）dC）（围成图形面积，（，与221A),(:2、体积体积*（1）旋转体体积旋转体体积*或或baxdxyV2dcydyxV2baydxxyV2（2）截面面积为）截面面积为的立体体积为的立体体积为)(xAAbadxxAV)(.3、弧长、弧长（1）)(12bxadxysba（2）)(,)()(22tdttytxs（3）)(,22ds二、物理应用二、物理应用1、变力作功、变力作功一般地：先求功元素：一般地：先求功元素：，再积分，再积分,)(baxdxxFdwbadxxFw)(克服重力作功的功元素克服重力作功的功元素 dw=体积体积位移位移 g2、水压力、水压力dP=水深水深 面积面积g 第七章第七章 微分方程微分方程1、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程形式：形式：)()(ygxfdxdy二二、一阶线性微分方程、一阶线性微分方程*1、线性齐次：、线性齐次：0)(yxpy通解公式通解公式*：dxxpCey)(2、线性非齐次线性非齐次 )()(xqyxpy通解公式通解公式*：)()()(Cdxxqeeydxxpdxxp